专题10 渐近线相关（讲义）2024高考总复习压轴题教师版

第第页专题10渐近线相关知识点一、双曲线的渐近线的基本原理1.双曲线的渐近线方程亦为，即，就是.2.双曲线的渐近线方程亦为，故双曲线的渐近线方程为.知识点二、定比点差法（直线与双曲线的两只渐近线都相交）已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.情形1.如下图.若.设，则坐标均满足①，②.又.则由，可得：.给②式乘再相减得：故.由情形2.如下图.若.设，则故得：由于由题型【一】、已知方程求双曲线的渐近线方程例1、（2022·吉林·辽源市第五中学校高二期末）已知双曲线，则（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的焦点到渐近线的距离为C．双曲线的渐近线方程D．双曲线左支上的点到右焦点的最短距离为【答案】ABC【分析】根据双曲线的基本几何量运算即可.【详解】解：双曲线中，，所以，则所以双曲线的离心率为，故A正确；双曲线的焦点为到渐近线的距离为，故B正确，C正确；双曲线左支上的点到右焦点的距离为，故最短距离为，故D不正确.故选：ABC.例2、（2022·江苏·海安高级中学高二开学考试）双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，所以，即，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B例3、（2022·辽宁实验中学高二阶段练习）若三个点，，中恰有两个点在双曲线C：上，则双曲线C的渐近线方程为___________.【答案】【详解】因为三个点，，中恰有两个点在双曲线上，又双曲线的图象关于原点对称,所以点，在双曲线上，所以，解得，所以其渐近线方程为：.故答案为：.1．（2022·湖北·沙市中学高二期末）设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________.【答案】【分析】求双曲线的渐近线方程转化为求，利用和双曲线的两条渐近线关于对称，可得，即可求出答案.【详解】因为，所以是的中点，因为，所以垂直平分，所以，因为双曲线的两条渐近线关于对称，所以，因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：2．（2022·湖北·沙市中学高二阶段练习）设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________.【答案】【详解】因为，所以是的中点，因为，所以垂直平分，所以，因为双曲线的两条渐近线关于对称，所以，因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：3．（2022·北京二中高二阶段练习）已知双曲线经过点，则它的渐近线方程为______，离心率为______.【答案】

【详解】由题知，双曲线经过点，所以，解得，所以双曲线方程为，所以双曲线焦点在轴上，，所以它的渐近线方程为，离心率为，故答案为：；.题型【二】、根据求双曲线的渐近线求标准方程例4、（2022·福建三明·高二期末）已知双曲线C：的渐近线方程是，则m＝（

）A．3 B．6 C．9 D．【答案】C【分析】根据双曲线的渐近线求得的值.【详解】依题意可知，双曲线的渐近线为，所以.故选：C例5、（2022·江西赣州·高三期末（文））已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意设双曲线方程为，则，求出的值，从而可得双曲线方程【详解】由题意设双曲线方程为，因为双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，所以，解得，所以双曲线的标准方程为，故选：C1．（2023·上海·高二专题练习）与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为_________.【答案】【分析】根据给定条件，设出所求双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.【详解】依题意，设双曲线方程为：，于是得，则有，所以双曲线的标准方程为.故答案为：2．（2022·全国·高二期末）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为______．【答案】【分析】由题设得渐近线为，设所求双曲线为，，将已知点代入求参数，即可得双曲线方程.【详解】由题设，渐近线方程为，令所求双曲线方程为，，又在双曲线上，则.所求双曲线方程为故答案为：题型【三】、根据abc的齐次式求双曲线的渐近线例6、（2022·浙江·高二期末）已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】设，分别求出和，即可求出.【详解】设.过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，则，解得：，所以.由双曲线可得渐近线为.由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离，所以.因为，所以，解得：.故选：B例7、（2022·四川省成都市新都一中高二期末（文））已知双曲线的左，右焦点分别为，，若双曲线的左支上存在一点P，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点Q，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】不妨设在第三象限，与渐近线垂直，写出直线方程，与方程联立求得点坐标，再根据得向量的关系，从而得点坐标，点坐标代入双曲线方程变形可得，得渐近线方程．【详解】，不妨设在第三象限，与渐近线垂直，的斜率为，直线方程为，由，得，设，由知，即，所以，，在双曲线上，所以，化简得，，，，所以渐近线方程是．故选：D．例8、已知双曲线的左顶点为，右焦点为，以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于第一象限内的一点．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为______．【解析】，，由题意设，则，解得，即，所以，，，，解得或（舍去）．故答案为：．1．已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．【解析】因为双曲线的离心率为2，则，解得，故双曲线的渐近线方程为.故答案为：.2．（2017·天津市红桥区教师发展中心高三期末（文））已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，为坐标原点，若双曲线的离心率为2，三角形的面积为，则（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】根据双曲线及抛物线的基本性质，求得的坐标，表示出三角形的面积，从而求得参数.【详解】由双曲线的离心率为2知，，渐近线方程为，又抛物线的准线方程为，则设渐近线与准线的交点为，，三角形的面积为，（）解得，故选：C3．（2022·全国·高二期末）已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点，，下列判断正确的是（

）A．， B．C．的离心率等于 D．的渐近线方程为【答案】BCD【分析】根据题意得，，；由知：，又，，求解离心率，根据离心率求解渐近线方程即可判断.【详解】如下图所示，因为，即为中点，为中点，所以，因为，所以，所以，，A错误，B正确；由知：，又，，所以，即，所以，解得：，C正确；所以，所以，所以，所以，所以的渐近线方程为，D正确．故选：BCD．4．（2022·陕西渭南·高一期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为_______.【答案】【分析】由离心率得出，进而写出渐近线方程.【详解】由题意可知，则，解得则它的渐近线方程为故答案为：题型【四】、以求双曲线的渐近线为载体的综合问题例9、（2020·广西·南宁三中高二期末（文））已知双曲线的左，右焦点分别为、，A是双曲线C的左顶点，以、为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根据题意易得圆与渐近线的方程，联立即可求得的坐标，结合图像易得，利用斜率公式即可求得，从而可求得双曲线C的离心率.【详解】依题意，易得以为直径的圆的方程为，设，则，又由双曲线易得双曲线C的渐近线为，如图，联立，解得或，∴，，又∵，∴轴，∴由得，∴，∴，即，∴，∴.故选：D..例10、（2022·安徽滁州·高二期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，设，，由点差法可得，可得，可求，圆表示圆心为，半径为，，计算可求最小值．【详解】由双曲线知渐近线方程为，又双曲线与双曲线有相同的渐近线，，，双曲线方程为，设，，，，，又弦的中点为，，，设，，解得，，解得，所以双曲线的方程为，由圆的方程可得，圆心为，半径为，．当且仅当，，三点共线时取等号．故选：D．1．已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.【解析】设，，，，则，，则，，，则，，点在渐近线上，所以，，由得，所以，又，所以，所以．故答案为：．2．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由抛物线的定义可求出的值，进而确定点的坐标，再结合双曲母的的几何性与两条直线的垂直关系，可求出的值，从而可求出双曲线的方程【详解】设抛物线的焦点为，则抛物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，得，所以，由题意得，双曲线的渐近线方程为，因为离心率为，所以，所以，得，因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，所以，得，所以由，得，所以双曲线的方程为，即，故选：C例11、（2024·全国·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点，且．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)当时，在轴上求一点，使得为定值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据三角形的面积求出，再在中，由余弦定理求得的关系即可得解；（2）直线PQ的方程为，，，，联立方程，利用韦达定理求出，再代入化简即可得解.【详解】（1）由题意，得，所以，在中，由余弦定理，得，所以，所以，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为；（2）当时，双曲线C的方程为，则，因为，所以直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为，联立，消得．则，解得，设，，则，设，则，要使为定值，则，即，所以存在定点，使得．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.例12、（2023上·贵州贵阳·高二统考期末）已知双曲线的两个焦点的坐标分别是，且双曲线经过圆的圆心.(1)求的值；(2)设圆与双曲线的渐近线交于两点，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得，，结合即可得解.（2）由题意得双曲线渐近线方程为或，分类讨论结合圆的弦长公式即可得解.【详解】（1）由题意双曲线的两个焦点的坐标分别是，所以，而圆即圆的圆心坐标为，所以，又注意到，所以解得或（舍去），，所以.（2）由（1）得双曲线方程为，其渐近线方程为或，圆的半径为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，所以.例13、（2024上·四川宜宾·高二统考期末）已知双曲线的渐近线方程为，点在上．(1)求的方程．(2)设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点.试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在定点，或，使得以为直径的圆过点，理由见解析【分析】（1）由渐近线方程与点在双曲线上待定即可得方程；（2）假设存在定点，满足条件.设，，分别表示直线，令，得坐标，将以为直径的圆过点转化为条件，利用韦达定理代入变形为关系式，不受影响，求值即可.【详解】（1）由题意可知：，解得，故双曲线C的方程为：（2）由双曲线的对称性，又点及点均在轴上，若存在定点，满足以为直径的圆过点，则点在轴上.故假设存在定点，使得以为直径的圆过点.双曲线的左顶点，由题意知直线不垂直于轴，故设直线的方程为：，设，，∴，，解得，∴，由直线与双曲线的右支交于两点，则，解得.又直线的方程为，代入，同理，直线的方程为，代入.要使以为直径的圆过点，则.∴，∴，解得，或故存在定点，或，使得以为直径的圆过点.

例14、（2024上·广东河源·高二统考期末）已知双曲线经过点，且的一条渐近线的方程为.(1)求