山东省青岛市第十五中学高三数学文上学期期末试卷含解析

山东省青岛市第十五中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是所在平面内一点，为边中点，且，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.已知是不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：设两条直线之间的夹角为，分析区域知为锐角，则，∴由弧长公式，∴，答案B3.设0≤α＜2π，若sinα＞cosα，则α的取值范围是()A．(，)

B．(，π)C．(，)

D．(，)参考答案：C4.设实数满足,则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.若，则a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.已知命题p：△ABC中，若A＞B，则cosA＞cosB，则下列命题为真命题的是（）A．p的逆命题 B．p的否命题 C．p的逆否命题 D．p的否定参考答案：D【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】判断命题p是假命题，得出它的否定是真命题．【解答】解：命题p：△ABC中，若A＞B，则cosA＞cosB，是假命题，所以它的否定是真命题，逆否命题是假命题，∴D正确、C错误；命题p的否命题是：△ABC中，若A≤B，则cosA≤cosB，是假命题，所以它的逆命题也是假命题，A、B错误．故选：D．【点评】本题考查了四种命题之间的关系与应用问题，是基础题．7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（

）

A．2

B．1

C．

D．参考答案：C略8.若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48

B．30C．24

D．16参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=5y﹣x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点B（8，0）时的最小值，过点A（4，4）时，5y﹣x最大，从而得到a﹣b的值．【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域，平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．故选C．9.对于函数，使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做函数的上确界．则函数的上确界是

（

）A．0 B． C．1 D．2参考答案：C在是单调递增的，在是单调递减的，所以在R上的最大值是，

故选C．10.要得到函数y=2sin2x的图象，只需将的图象（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先利用二倍角公式以及两角和与差的公式将化简，再根据左加右减的原则进行平移从而可得到答案．【解答】解：=cos2x+sin2x=2sin（2x+）根据左加右减的原则，要得到函数y=2sin2x的图象只要将y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是这7个数据的中位数，且这四个数据的平均数为1，则的最小值为

▲

．参考答案：略12.函数，，在R上的部分图像如图所示，则

．参考答案：13.已知的值为

参考答案：略14.已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为________.参考答案：15.若函数在R上是减函数，则实数取值集合是

参考答案：16.点A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积的最大值为．参考答案：【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，球的半径为r，因为球的表面积为，所以4πr2=所以r=，四面体ABCD的体积的最大值，底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，就是D到底面ABC距离最大值时，h=r+=2．四面体ABCD体积的最大值为×S△ABC×h==，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．17.已知cos（α﹣）=，α∈（0，），则=．参考答案：﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式和二倍角公式进行化简求值．【解答】解：∵α∈（0，），∴α﹣∈（﹣，0），∵cos（α﹣）=，∴sin（α﹣）=﹣=，==﹣=﹣2sin（）=﹣．故答案是：﹣．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知ΔABC的三个内角分别为A、B、C，向量与向量夹角为的余弦值为.

（1）求角B的大小；（2）求SinA+SinC的取值范围.参考答案：解：（1）

…..2分

…..2分

由得，即

……2分（2）：

….4分

又

…….2分

…….1分

故的取值范围是

.…….1分略19.设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣3}，求a的值．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为：{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得：|x﹣a|+3x≤0，此不等式化为不等式组或，即或，因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣}，由题设可得﹣=﹣3，故a=6．【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．20.（本小题满分12分）

某工厂去年的某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元，今年，工厂第一次投入100万元，并计划以后每年比上一年多投入100万元，预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为万元．

（1）求k的值，并求出的表达式；

（2）若今年是第1年，则第几年年利润最高？最高利润为多少万元？参考答案：略21.（本小题共13分）

已知椭圆：的两个焦点分别为，，离心率为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ），，，是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点，，且这两条直线互相垂直，求证：为定值.参考答案：（Ⅰ）解：由已知，所以.所以.所以：，即.因为椭圆过点，得，.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆的焦点坐标为，.根据题意，可设直线的方程为，由于直线与直线互相垂直，则直线的方程为.设，.由方程组消得.则.所以=.同理可得.所以.

略22.已知等比数列{an}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，又数列{bn}满足bn=2log2an+1，Sn是数列{bn}的前n项和（1）求Sn；（2）若对任意n∈N+，都有成立，求正整数k的值．参考答案：【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的性质．【分析】（1）运用等比数列的性质和通项，可得数列{an}的通项公式，再由对数的运算性质，可得数列{bn}的通项公式，运用等差数列的求和公式，可得Sn；（2）令，通过相邻两项的差