广西壮族自治区南宁市市江南区苏圩中学高三数学文上学期摸底试题含解析

广西壮族自治区南宁市市江南区苏圩中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不透明袋子中放有大小相同的5个球，球上分别标有号码1,2,3,4,5，若从袋中任取三个球，则这三个球号码之和为5的倍数的概率为

A.

B.

C.

D.参考答案：B列举基本事件：，，，，，，，，，；查找满足要求的基本事件：，；统计基本事件数，根据古典概型概率计算公式得解.选B.2.函数的零点个数为A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B3.若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D考点：几何概型；简单线性规划．专题：应用题；概率与统计．分析：利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N，再计算事件函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值时包含的基本事件数n，最后即可求出事件发生的概率．解答：解：画出不等式组表示的平面区域，∵函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值，∴直线z=2ax+by的斜率k=﹣≤﹣1，即2a≥b．∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个其中2a≥b的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30个则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为=．故选：D．点评：本题考查了古典概型概率的计算方法，乘法计数原理，分类计数原理，属于基础题4.设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．2B．C．1D．参考答案：D考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意易得向量的夹角，进而由二次函数可得|﹣t|2的最小值，开方可得．解答：解：设向量，的夹角为θ，∵||=||=|+|=1，∴=1+1+2×1×1×cosθ=1，解得cosθ=，∴θ=，∴|﹣t|2=+t2=t2+t+1=（t+）2+，当t=时，上式取到最小值，∴|﹣t|的最小值为故选：D点评：本题考查平面向量的模长公式，涉及二次函数的最值，属基础题．5.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（

）A．2 B． C． D．

参考答案：略6.如图，已知=，=，=3，用，表示，则等于（）A．+B．+C．+D．+参考答案：B7.一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是

（

）A．米/秒

B．米/秒

C．米/秒

D．米/秒参考答案：C8.右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图,其俯视图是面积为8的矩形,则该几何体的表面积是（

）A．20+8 B．24+8C．8 D．16参考答案：A【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2此几何体是一个三棱柱，且其高为，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2=2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为，（2+2+2）×4=16+8，表面积为：2×2+16+8=20+8．【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可．9.的内角的对边分别是，若，，，则(A)

(B)2

(C)

(D)1参考答案：B10.函数的零点所在的一个区间是（）A.B.C.D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽出样本容量的的样本，样本中型产品有16件，那么样本容量为

________.参考答案：8012.设集合，，若，则实数取值范围是

.参考答案：13.若任意满足的实数，不等式恒成立，则实数的最大值是

。

.参考答案：14.设函数，，则函数的递增区间是

．参考答案：，试题分析：由题意，则，所以的解为或，因此其增区间为和（也可写成和）．考点：导数与函数的单调性．【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性．求函数的单调区间，一般是求出导数，然后解不等式得增区间，解不等式得减区间．本题关键是写出函数的解析式，由题意它是分段函数，因此求导时要分段求导，同样解不等式时，也要分段解不等式，最后单调区间可以包含区间的端点即单调区间可写成闭区间形式（只要函数在此区间上是连续的，象本题结论）．15.定义域为R的函数f(x)同时满足以下两条性质：①存在,使得；②对于任意，有.根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数.（i）若f(x)是增函数，则f(x)=_______；（ⅱ）若f(x)不是单调函数，则f(x)=_______.参考答案：

【分析】先给出上符合条件的函数，再求出其他范围上的解析式，注意验证构造出的函数是否满足单调性的要求.【详解】由①可知为非零函数，由②可知，只要确定了在上的函数值，就确定了在其余点处的函数值，若是增函数，令在上的解析式为，则当时，则，故.故，此时为上的增函数.若不是单调函数，令在上的解析式为，它不是单调函数，又当时，则，故.故.故答案为：.【点睛】本题考查函数的性质，该性质和函数的周期性类似，因此可采取类似周期函数的处理方法即先确定主区间上满足已知性质的函数，再根据类周期性可求其他范围上的解析式，本题属于难题.16.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，则此球的表面积等于__________.参考答案：【知识点】空间几何体的表面积与体积解：因为，

，取中点，则球心为中点，

所以外接球半径

故答案为：17.圆和圆的极坐标方程分别为，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设{an}是首项为1，公差为2的等差数列，{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．记cn=an+bn，n=1，2，3，…．（1）若{cn}是等差数列，求q的值；（2）求数列{cn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）分别运用等差数列和等比数列的通项公式，可得an，bn，再由等差数列中项的性质，解方程可得q的值；（2）求出cn=an+bn=2n﹣1+qn﹣1．（n=1，2，…），运用数列的求和方法：分组求和，讨论公比q为1与不为1，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，{bn}是首项为1，公比为q的等比数列，所以bn=qn﹣1．所以cn=an+bn=2n﹣1+qn﹣1．因为{cn}是等差数列，所以2c2=c1+c3，即2（3+q）=2+5+q2，解得q=1．经检验，q=1时，cn=2n，所以{cn}是等差数列．（2）由（1）知cn=an+bn=2n﹣1+qn﹣1．（n=1，2，…）所以数列{cn}的前n项和Sn=（1+3+5+…+2n﹣1）+（1+q+q2+…qn﹣1），当q=1时，Sn=n（1+2n﹣1）+n=n2+n；当q≠1时，Sn=n2+．19.已知函数f（x）＝x2+2﹣alnx﹣bx（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，b＝3，求函数y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x1）＝f（x2）＝0，且x1≠x2，证明：f′（）＞0．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）求f（x）的导数，可得切线的斜率，以及切点，由点斜式方程可得切线方程；（Ⅱ）由函数零点定义，两方程相减可得两个零点之间的关系，用变量集中的方法，把两个零点集中为一个变量，求导数，判断单调性，即可得证..【详解】解：（Ⅰ）若a＝1，b＝3，f（x）＝x2+2﹣lnx﹣3x，导数为f′（x）＝2x﹣﹣3，可得在x＝1处切线的斜率为﹣2，f（1）＝0，可得切线方程为y＝﹣2（x﹣1），即为2x+y﹣2＝0；（Ⅱ）证明：若f（x1）＝f（x2）＝0，且x1≠x2，可得x12+2﹣alnx1﹣bx1＝0，x22+2﹣alnx2﹣bx2＝0，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）﹣a（lnx1﹣lnx2）﹣b（x1﹣x2）＝0，即有x1+x2﹣b＝a?，可设x0＝，由f′（x0）＝2x0﹣﹣b＝（x1+x2﹣b）﹣＝a?﹣＝[ln﹣]＝[ln﹣]，令t＝，t＞1，可得f′（x0）＝[lnt﹣]，设u（t）＝lnt﹣，t＞1，导数为u′（t）＝﹣＝＞0，可得u（t）在t＞1递增，且u（1）＝0，可得u（t）＞u（1）＝0，即lnt﹣＞0，又a＞0，x2﹣x1＞0，可得f′（x0）＞0，综上可得f′（）＞0．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查转化思想、方程思想和构造函数法，以及化简变形能力，综合性较强．20.（本小题满分13分）已知函数的图像过坐标原点，且在点处的切线斜率为。(1)求实数的值；(2)求函数在区间上的最小值；(3)若函数的图像上存在两点，使得对于任意给定的正实数都满足是以为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在轴上，求点的横坐标的取值范围。参考答案：（1）当时，，依题意，又

故

...............3分（2）当时，令有，故在单调递减；在单调递增；在单调递减。又f(1)=0

,

所以当时，

……6分（3）设，因为中点在轴上，所以又

①（ⅰ）当时，，当时，。故①不成立……7分

（ⅱ）当时，代人①得：，

无解

………8分（ⅲ）当时，代人①得：

②设，则是增函数。的值域是。………10分所以对于任意给定的正实数，②恒有解，故满足条件。（ⅳ）由横坐标的对称性同理可得，当时，，代人①得：③设，得，则是减函数，又因为的值域为。所以对于任意给定的正实数，③恒有解，故满足条件。………………12分综上所述，满足条件的点的横坐标的取值范围为..........13分21.已知定义域为R的函数是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．参考答案：考点：指数函数单调性的应用；奇函数．专题：压轴题．分析：（Ⅰ）利用奇函数定义，在f（﹣x）=﹣f（x）中的运用特殊值求a，b的值；（Ⅱ）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即又由f（1）=﹣f（﹣1）知．所以a=2，b=1．经检验a=2，b=1时，是奇函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．又因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2