山西省太原市第四十八中学高三数学理联考试卷含解析

山西省太原市第四十八中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D2.设a，b∈R+，则“a﹣b＞1”是“a2﹣b2＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】首先，将a2﹣b2＞1化简为（a﹣b）（a+b）＞1，然后，结合条件a，b∈R+，做出判断．【解答】解：设命题p：a﹣b＞1；命题q：a2﹣b2＞1∵a2﹣b2＞1化简得（a﹣b）（a+b）＞1又∵a，b∈R+，∴p?q，q推不出p，∴P是q的充分不必要条件，即“a﹣b＞1”是“a2﹣b2＞1”的充分不必要条件．【点评】本题重点考查充分条件、必要条件和充要条件的概念及其应用，属于中档题．3.已知点M（﹣6，5）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，双曲线C的焦距为12，则它的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x参考答案：A考点：双曲线的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过点M（﹣6，5）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上及双曲线C的焦距为12，可得、a2+b2=36，计算即得结论．解答：解：∵点M（﹣6，5）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，∴，①又∵双曲线C的焦距为12，∴12=2，即a2+b2=36，②联立①、②，可得a2=16，b2=20，∴渐近线方程为：y=±x=±x，故选：A．点评：本题考查求双曲线的渐近线，注意解题方法的积累，属于基础题．4.对于数列{}，下列命题

①对任意n∈N﹡，都有＝n2＋2n，则通项＝n2－1，n∈N﹡；

②若通项满足（－n）·（－）＝0，则{}必是等差数列或是等比数列；

③若数列的每一项都适合＝，则a11＝0；

④若＞对任意n∈N﹡恒成立，则{}是递增数列．

其中正确的命题有（

）个A．0

B．1

C．2 D．3参考答案：B5.已知集合，则A∪B＝A．(0,+∞)

B．(1,2)

C．(2,+∞)

D．（－∞，0）参考答案：A【分析】解集合A与集合B，求得集合的交集即可。【详解】解集合A可得集合B为}所以AB＝所以选A

6.已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象大致为(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】指数函数的图像变换；函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；转化思想．【分析】根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=aX+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．【解答】解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）=ax+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．【点评】本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质；解题的关键在于根据二次函数的图象分析出a、b的范围．7.设f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）的奇函数，其导函数为f'（x），且，当x∈（0，π）时，f'（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式的解集为（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】设g（x）=，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，故g（﹣x）===g（x）∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数．∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，π）上单调递减，∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．∵f（）=0，∴g（）==0，∵f（x）＜2f（）sinx，即g（）?sinx＞f（x）；①当sinx＞0时，即x∈（0，π），g（）＞=g（x）；所以x∈（，π）；②当sinx＜0时，即x∈（﹣π，0）时，g（）=g（﹣）＜=g（x）；所以x∈（﹣，0）；不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为解集为（﹣，0）∪（，π）．故选：B．8.对一名学生数学成绩统计了8次，第i次统计得到的数据为ai，具体如下表所示：i12345678ai100101103103104106107108在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是（）

A．9 B．8 C．7 D．6参考答案：C【考点】程序框图．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】由题意及程序框图知，该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，由公式结合题设中的数据计算出方差，选出正确选项．【解答】解：该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，因为这8个数据的平均数==104，故其方差[（100﹣104）2+（101﹣104）2+（103﹣104）2+（103﹣104）2+（104﹣104）2+（106﹣104）2+（107﹣104）2+（108﹣104）2]=7，输出的S的值为7．故选C【点评】本题考查循环结构，理解题意，由框图得出本题所研究问题的算法是解题的关键．9.下列函数中，在上单调递增的偶函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D．试题分析：因在不是单调递增函数，故A错误；是奇函数，故B错误；在是单调递减函数，故C错误；在是单调递增函数的偶函数，故D正确.考点：函数的单调性和奇偶性.10.已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于(

) A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．参考答案：D考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数相等的条件进行化简即可．解答： 解：由=b（1+i）得a+i﹣（1+i）=b（1+i）（1+i）=2bi．即a﹣+i=2bi．则a﹣=0且=2b，解得a=，b=，故选：D．点评：本题主要考查复数的计算，根据复数相等建立方程关系是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则

参考答案：212.在四面体中，，二面角的大小为150°，则四面体外接球的半径为

．参考答案：13.已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程式为______________.参考答案：考点：1、函数的奇偶性及分段函数的解析式；2、利用导数求曲线的切线方程.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及数列的通项问题，属于难题.求曲线切线的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.14.已知、是双曲线的左右两个焦点，若双曲线上存在点满足，，则双曲线的离心率为

.参考答案：15.设满足约束条件，若，则实数的取值范围为

．参考答案：16.若离散型随机变量的分布列为10则常数

，的数学期望

．参考答案：，17.设集合，，，则实数的值为_______.参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足（a2+c2–b2)tanB=(b2+c2–a2)．（1）求角A；（2）设a=2，且2cosAsin2B+sin(B－C)=，求△ABC的面积．参考答案：（1）．（2）．试题分析：（1）对等式进行变换，结合正余弦定理可得，从而得到A.（2）对给定的三角等式化简可得，分和两种情况解三角形即可.试题解析：（1）∵，∴由余弦定理，得，即．由正弦定理与同角三角函数基本关系，得，∴，∴．（2）由条件得，∴，∴．①当时，，不符合题意；②当时，，∴，，∴．19.(本小题满分13分)已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过且与垂直的直线交椭圆于、两点，求证：为定值.参考答案：(Ⅰ)由题意，,故所求的椭圆的方程为.

4分(Ⅱ)由题意直线，中至少有一条存在斜率，不妨设的斜率为，又过，故的方程为,代入得,设,则,所以.

8分(1)当时，因为,所以的斜率为，同上可推得

故=.

11分(2)当时，容易求得同样有=.综合(1),(2)即知为定值.

13分20.已知f（x）=x3+3ax2+bx在x=﹣1时有极值为0．（1）求常数a，b的值；

（2）求f（x）在[﹣2，﹣]的最值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）首先对f（x）求导，由题意可知f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0；（2）利用导数判断出函数f（x）图形的单调性后求极值．【解答】解：（1）∵f（x）=x3+3ax2+bx，∴f'（x）=3x2+6ax+b，又∵f（x）在x=﹣1时有极值0，∴f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0，即3﹣6a+b=0且﹣1+3a﹣b=0，解得：a=，b=1

经检验，合题意．（2）由（1）得f'（x）=3x2+4x+1，令f'（x）=0得x=﹣或x=﹣1，又∵f（﹣2）=﹣2，f（﹣）=﹣，f（﹣1）=0，f（﹣）=﹣，∴f（x）max=0，f（x）min=﹣2．21.(本小题满分14分)如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面是菱形，，E、F分别是、AB的中点．求证：（1）；（2）求三棱锥的体积.参考答案：证明：（1）在平面内，作，O为垂足．因为，所以，即O为AC的中点，所以.……3分因而．因为侧面⊥底面ABC，交线为AC，，所以底面ABC．所以底面ABC.……6分（2）F到平面的距离等于B点到平面距离BO的一半，而BO=.……9分所以.

……14分22.（本小题满分12分）为预防病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于%，则认为测试没有通过），公司选定个流感样本分成三组，测试结果如下表：分组组组组疫苗有效疫苗无效已知在全体样本中随机抽取个，抽到组疫苗有效的概率是．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取个测试结果，问应在组抽取样本多少个？（2）已知，30，求通过测试的概率．参考答案：（I）∵，∴

………………（