湖南省益阳市烟溪镇中学高三数学文上学期摸底试题含解析

湖南省益阳市烟溪镇中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图甲所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A—B—C—M运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是图乙中的

()

图甲

图乙参考答案：A略2.直线

将圆平分，则直线的方向向量是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略3.（

）A． B． C． D．参考答案：B试题分析：,故选B.考点：定积分运算.4.设的最小值是（

）

A．

B．

C．－3

D．参考答案：C

解析：令5.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数，求比值即可．【解答】解：从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，选择方法有C64=15种，它们作为顶点的四边形是矩形的方法种数为3，由古典概型可知，它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于故选D．6.对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（

）

A．如果、n是异面直线，那么

B．如果、n是异面直线，那么相交

C．如果、n共面，那么

D．如果、n共面，那么参考答案：答案：C7.是的（

）充分不必要条件

必要不充分条件充分必要条件

既不充分也不必要条件参考答案：A8.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若=x+y，其中x，y∈R，则4x﹣y的最大值为（）A．3－ B．3+ C．2 D．3+参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程；设出P的坐标，求出三个向量的坐标，将P的坐标代入圆内方程求出4x﹣y范围．【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（2，0），直线BD的方程为x+2y﹣2=0，C到BD的距离d=∴圆弧以点C为圆心的圆方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=，设P（m，n）则=（m，n），=（0，1），=（2，0），=（﹣1，1）若，∴（m，n）=（2x﹣y，y）∴m=2x﹣y，n=y∵P在圆内或圆上∴（2x﹣y﹣1）2+（y﹣1）2≤，设4x﹣y=t，则y=4x﹣t，代入上式整理得80x2﹣（48t+32）x+8t2+7≤0，设f（x）=80x2﹣（48t+32）x+8t2+7≤0，x∈[，]，则，解得2≤t≤3+，故4x﹣y的最大值为3+，故选：B【点评】本题考通过建立直角坐标系将问题代数化、考查直线与圆相切的条件、考查向量的坐标公式，属于中档题9.设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（）A．存在唯一平面α，使得a?α，且b∥αB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bD．存在唯一平面α，使得a?α，且b⊥α参考答案：A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面位置关系的判定与性质判断，或举出反例．【解答】解：对于A，在a上任取一点A，过A作b′∥b，设a，b′确定的平面为α，显然α是唯一的，且a?α，且b∥α．故A正确．对于B，假设存在直线l使得l∥a，且l⊥b，则a⊥b，与已知矛盾，故B错误．对于C，设a，b的公垂线为AB，则所有与AB垂直的直线与a，b都垂直，故C错误．对于D，若存在平面α，使得a?α，且b⊥α，则b⊥a，与已知矛盾，故D错误．故选：A．10.已知集合，且有4个子集，则a的取值范围是

A．(0，1)

B．(0，2)

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，则共有

种结果；其概率为

．参考答案：24，12.设函数，则=__________；若，则x的取值范围是___________参考答案：，

13.若变量．满足条件，则的最大值为

。参考答案：本题考查线性规划问题，难度中等.作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分，由图可知，当目标函数经过直线的交点，即图中时取得最大值.14.设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则______．参考答案：6设公比为，因为，所以，则，所以，又，即，所以。15.在斜三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为,若，则=

.参考答案：316.在ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=1350，若AC=AB，则BD=

.参考答案：作AH⊥BC于H,则则.又,所以，即,，，所以，即，整理得，即，解得或（舍去）.17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，c=4，则a=．参考答案：【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，sinC的值，进而利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA，进而利用正弦定理可求a的值．【解答】解：∵，，c=4，∴由题意可得：，，∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设函数在点处的切线方程为．（自然对数的底数（Ⅰ）求值，并求的单调区间；（Ⅱ）证明：当时，．参考答案：见解析考点：导数的综合运用解：（Ⅰ），

由已知，，，故，，

，当时，，当时，，

故在单调递减，在单调递增；

（Ⅱ）方法1：不等式，即，

设，，

时，，时，，

所以在递增，在递减，

当时，有最大值，

因此当时，．

方法2：设，

在单调递减，在单调递增，

因为，，，

所以在只有一个零点，且，，

当时，，当时，，

在单调递减，在单调递增，

当时，，

因此当时，．19.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足．（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知对于，不等式恒成立，求实数M的最小值；参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）利用可得关于的递推关系，整理得到，从而为等差数列，利用公式可求其通项.（2）利用等差数列的前项和的公式得到，故，利用裂项相消法可求的前项和后可求其该和的范围为，从而可求的最小值.【详解】（1）时，，又，所以，当时，，作差整理得：，因为，故，所以，故数列为等差数列，所以．

（2）由（1）知，所以，从而．所以，故的最小值为．【点睛】数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20.设a∈R，函数f（x）=ax3﹣3x2．（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若函数g（x）=exf（x）在上是单调减函数，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（1）由条件“x=2是函数y=f（x）的极值点”可知f'（2）=0，解出a，需要验证在x=2处附近的导数符号有无改变；（2）由在上是单调减函数可转化成在上导函数恒小于零，再借助参数分离法分离出参数a，再利用导数法求出另一侧的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）．因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f'（2）=0，即6（2a﹣2）=0，所以a=1．经检验，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．即a=1．（Ⅱ）由题设，g′（x）=ex（ax3﹣3x2+3ax2﹣6x），又ex＞0，所以，?x∈（0，2]，ax3﹣3x2+3ax2﹣6x≤0，这等价于，不等式对x∈（0，2]恒成立．令（x∈（0，2]），则，所以h（x）在区间（0，2]上是减函数，所以h（x）的最小值为．所以．即实数a的取值范围为．（13分）【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．21.

已知

的展开式前三项中的x的系数成等差数列．①求展开式里所有的x的有理项；②求展开式中二项式系数最大的项．

参考答案：(1)

n=8,

r=0,4,8时，即第一、五、八项为有理项，分别为

(5分)

（2）二项式系数最大的项为第五项：

22.（本小题满分12分）设函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．

参考答案：解：（1）函数的定义域为，∵，

∵，则使的的取值范围为，Ks5u故函数的单调递增区间