专题03 等式与不等式-2024年高考数学母题题源解密（全国）含解析

专题03等式与不等式-2024年高考数学母题题源解密（全国通用）含解析专题03等式与不等式考向一基本不等式的应用【母题来源】2022年新高考全国II卷【母题题文】若x，y满足，则（）A.B.C.D.【答案】BC【试题解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件【得分要点】对原不等式进行化简、变形；符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解；判断等号成立的条件；（4）利用“1”的合理变换是解题.考向二线性规划【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】若x，y满足约束条件则的最大值是（） B.4 C.8 D.12【答案】C【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数为，上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，所以.故选：C.【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力．常见的命题角度有：（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；【得分要点】1.正确画出可行域；2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值一、单选题1．（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A．B．C．D．2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（

）A． B．9 C．4 D．83．（2022·四川达州·高一期末（理））已知实数x，y满足，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知正数m，n满足，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式成立的一个充分不必要条件是（

）A．且 B．C． D．二、填空题9．（2022·四川泸州·三模（理））已知x、，且，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．10．（2022·上海市川沙中学高二期末）若关于x的不等式有解，则实数m的取值范围___________.11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知实数，，则的最小值为___________.12．（2020·云南德宏·高三期末（理））关于函数有下列四个命题：①，使关于轴对称．②，都有关于原点对称．③，使在上为减函数．④若，，使有最大值．其中真命题的序号是____________．三、解答题13．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设：实数满足，：实数满足(1)若，且为真，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．14．（2022·江西抚州·高二期中（文））已知a，b都是正数．(1)若，证明：；(2)当时，证明：．15．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数，的解集为或．(1)求实数、的值；(2)若时，求函数的最小值．16．（2022·浙江舟山·高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？专题03等式与不等式考向一基本不等式的应用【母题来源】2022年新高考全国II卷【母题题文】若x，y满足，则（）A.B.C.D.【答案】BC【试题解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件【得分要点】对原不等式进行化简、变形；符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解；判断等号成立的条件；（4）利用“1”的合理变换是解题.考向二线性规划【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】若x，y满足约束条件则的最大值是（） B.4 C.8 D.12【答案】C【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数为，上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，所以.故选：C.【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力．常见的命题角度有：（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；【得分要点】1.正确画出可行域；2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值。一、单选题1．（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】可以利用特殊值进行排除，以及利用不等式的性质进行判断.【详解】当时，，则A错误；当时，，则B错误；当时，，则C错误；当时，，当时，，当时，，则D正确.故选：D.2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（

）A． B．9 C．4 D．8【答案】B【解析】【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，因此，即，∴，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为9.故选：B.3．（2022·四川达州·高一期末（理））已知实数x，y满足，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最小值.【详解】根据约束条件，画出可行域（如图），可看成可行域内的点与定点的距离，由图可知：当过点的直线与垂直时，距离最小，此时最小距离为：.故选：B4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代换求的最值，注意等号成立条件.【详解】由题设，，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：B5．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知正数m，n满足，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】化简，再利用基本不等式得解.【详解】解：由题得.（当且仅当等号成立）.故选：B6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】讨论和两种情况，即可求解.【详解】当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，等价于．综上，实数的取值范围为．故选：B．7．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先利用偶函数的性质得到在上单调递增，.把原不等式转化为或即可解得.【详解】因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，且，又，所以.由，得或所以或解得或.故x的取值范围是.故选：D.8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式成立的一个充分不必要条件是（

）A．且 B．C． D．【答案】D【解析】【分析】求解已知不等式，从集合的角度，以及充分性和必要性的定义，即可选择.【详解】因为，故不等式的解集为且，故不等式成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是且的真子集，显然，满足题意的只有.故选：D.二、填空题9．（2022·四川泸州·三模（理））已知x、，且，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．【答案】①④【解析】【分析】利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x＝0、y＝3可判断②，取特殊值y＝可判断③．【详解】对于①，∵，∴由得，，即，解得(当且仅当时取等号)，故①一定成立；对于②，当3时，成立，但不成立，故②不一定成立；对于③，当时，由得，则，即，故③不一定成立；④将两边平方得，∴，由①可知：，∴，当且仅当时取等号，因此④一定成立﹒故答案为：①④﹒【点睛】本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于②和③，取特殊值验算即可快速求解﹒10．（2022·上海市川沙中学高二期末）若关于x的不等式有解，则实数m的取值范围___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可得，根据可得，代入求解．【详解】根据题意可得∵∴，即，则或故答案为：．11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知实数，，则的最小值为___________.【答案】##【解析】【分析】依题意利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，，所以当"取等号“综上所述：的最小值为；故答案为：12．（2020·云南德宏·高三期末（理））关于函数有下列四个命题：①，使关于轴对称．②，都有关于原点对称．③，使在上为减函数．④若，，使有最大值．其中真命题的序号是____________．【答案】②③④【解析】【分析】对①②，判断的奇偶性即可；对③④，根据对勾函数的性质判断即可；【详解】由题，因为，且，故为奇函数，①错②对；当时，由对勾函数的性质，在上为减函数，故③正确；又当时，若，则在处取得最大值，故④正确；故答案为：②③④三、解答题13．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设：实数满足，：实数满足(1)若，且为真，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据二次不等式与分式不等式的求解方法求得命题p，q为真时实数x的取值范围，再求交集即可；（2）先求得，再根据是的必要不充分条件可得，再根据集合包含关系，根据区间端点列不等式求解即可(1)当时，，解得，即p为真时，实数x的取值范围为．由，解得，即q为真时，实数x的取值范围为．若为真，则，解得实数x的取值范围为．(2)若p是q的必要不充分条件，则且．设，，则，又．由，得，因为，则，有，解得因此a的取值范围为．14．（2022·江西抚州·高二期中（文））已知a，b都是正数．(1)若，证明：；(2)当时，证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据可得，再结合化简，利用基本不等式证明即可（2）根据证明的不等式逆推即可(1)证明：由，得，即，当且仅当时“=”成立．所以．(2)要证，只需证，即证，即证，因为，所以上式成立，所以成立．15．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数，的解集为或．(1)求实数、的值；(2)若时，求函数的最小值．【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）分析可知、是方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得、的值；（2）求得，利用基本不等式可求得在上的最小值.(1)解：因为关于的不等式的解集为或，所以，、是方程的两个根，所以，，解得.(2)解：由题意知，因为，由基本不等式可得，当且仅当时，即时，等号成立故函数的最小值为.16．（2022·浙江舟山·高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会