2021-2022学年广东省佛山市高一（下）期末数学试卷-解析版

2021-2022学年广东省佛山市高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（5分）设4=1+i,z2=2—2z,则三=（）

4

A.-2zB.2iC.-2D.2

2.（5分）已知向量〃=（-L2）,h=（2x,3）,若4//。，则x=（）

33

A.-3B.--C.二D.3

44

3.（5分）为了得到函数y=cos5x的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）

A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变

B.横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变

5

C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变

D.纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变

5

4.（5分）若tan6=g则tan2，=（）

9244

A.-B.-C.-D.-

5353

5.（5分）2020年，我国进行了第七次全国人口普查，根据普查结果，2020年11月1日零

时佛山市常住人口为9498863人，其中禅城区、南海区、顺德区、三水区、高明区常住人口

比重分别为：14%、38.61%、33.99%、8.46%、4.94%,则这组数据的上四分位数（即第

75百分位数）是（）

A.8.46%B.14%C.33.99%D.38.61%

6.（5分）如图，在RtAABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，h,c（a>b>c）,分

别以边AB,AC,8c所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其

体积分别为匕，匕，匕，则（）

AH

A.aV}=bV2=cV；B.aV2=bVt=cV<,C.aV,=bV2=cV,D.aVt=bV3=cV2

7.（5分）已知|n|=l,6=（1,6），al（a+b）,则向量a在向量匕上的投影向量为（）

A.（-1,-V3）B.（-6,-1）C.D.

2244

8.（5分）如图，在直角坐标系内，角a的终边与单位圆交于点片（H）,逆时针旋转？

得0£,04逆时针旋转工得....。匕।逆时针旋转？得O£,,则点£o22的横坐标为（

A3-4^03+4604-3>/3n4+36

10101010

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分.有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.（5分）设复数z='+且i,则下列命题中正确的是（）

22

A.彳的虚部是-且i

2

B.z+N=|z|

C.复平面内z与彳分别对应的两点之间的距离为1

D.z2+z=0

10.（5分）广东某高校为传承粤语文化，举办了主题为“粤唱粤美好”的校园粤语歌手比

赛在比赛中，由A,3两个评委小组（各9人）给参赛选手打分.根据两个评委小组对同

一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（）

A.A组打分的众数为47

B.3组打分的中位数为75

C.A组的意见相对一致

D.5组打分的均值小于A组打分的均值

11.（5分）一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4N,水平拉力片的大小为3N,

另一力人未知，则（）

A.当该物体处于平衡状态时，|g|=5N

B.当人与巴方向相反，且|g|=5N时，物体所受合力大小为0

C.当物体所受合力为七时，|f；|=4N

D.当|E|=2N时，3N领jfJ+E+GI7N

12.（5分）在正方体ABCO-A8CA中，必是A4的中点，点N在该正方体的棱上运动,

则下列说法正确的是（）

A.当N为棱"中点时，MNHB、D

B.当N为棱明中点时，MN与平面A8GR所成角为30。

C.有且仅有三个点N,使得B|N//平面AMR

D.有且仅有四个点N,使得MN与8c所成角为60。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.其中16题第一空2分.第二空3分.

13.（5分）2022年2月20日晚，备受瞩目的第24届冬季奥运会在北京圆满落幕.这是一

场疫情肆虐下的体育盛会，是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会，是一场充分体现中华民

族文化自信的盛会.筹备期间，某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从

大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者参与冬奥会的志愿服务工作.已知大一至大三的

青年志愿者人数分别为50,40,30,则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派

人.

14.（5分）若函数y=sin（x+$的图像在［0,"“上恰好有一个点的纵坐标为1,则实数"，

的值可以是—.（写出一个满足题意的机的值即可）

15.（5分）已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2,所有顶点都在球O的球面上，

若球O的表面积为8万，则此正四棱台的侧棱长为.

16.（5分）已知b是单位向量，且设向量c=+当工=丁=1时，vc,

a>=；当x+y=3时，的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）己知函数/（x）=sin2x+cos2x,xeR.

（1）求函数/（x）的最小正周期和单调递减区间；

（2）求函数f（x）在［0,自上的最大值及相应自变量的值.

18.（12分）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，此三棱柱的高为4.若侧面叫48水平放

置时，水面恰好过AC,BC,B£，AG的中点E，F,G,H.

（1）直接写出直线尸G与直线AH的位置关系;

（2）有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确，为什么？

（3）已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面A4BC相同，若将这些水全部倒入此三棱锥形的

容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高.

19.(12分)在AABC中，sin2A-sin2B=sinC(sinC-sinB).

(1)求A；

(2)若点。在BC边上，从下面两个条件中选一个，求AABC的面积.

①BD=CD=6，AD=B

@ZBAD=ZCAD,8c=26，AD=—.

3

20.(12分)如图，四棱锥P-A8CD中，AB//CD,ZBAD=90°,PA=AD=AB=-CD,

2

侧面皿＞1.底面ABCD,E为PC的中点.

(1)求证：平面PC£＞；

(2)若%=P£),求二面角P-8C—D的余弦值.

21.(12分)5月11日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6~17

岁的儿童青少年肥胖率接近20%,肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目

前，国际上常用身体质量指数(8。力欣zss/〃dex,而以)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我

国成人的创〃数值标准为：创〃<18.5为偏瘦；18.5,,比"<24为正常；24,,8A“<28为偏

胖；BM/..28为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，

采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通

过计算得到男女员工的阴〃值并将女员工的阴〃值绘制成如图所示的频率分布直方图：

（1）求图中。的值，并估计样本中女员工值的中位数；

（2）已知样本中男员工mff值的平均数为22,试估计该公司员工创〃值的平均数.

22.（12分）2021年7月20日，佛山正式印发了《城市“畅通工程”两年行动方案》（以下

简称《方案》），聚焦人民群众反映强烈的城市交通拥堵问题，通过微改造、微调整，为市

民出行创造更加畅通有序的交通环境.现某医院附近有条长500米，宽6米的道路（如图1

所示的矩形ABCD）,改造前，路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG）,

按《方案》，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁

边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度40（米），停车位

（1）求d关于e的函数表达式d（e）；

（2）若4=3,求该路段改造后的停车位比改造前增加的个数.

2021-2022学年广东省佛山市高一(下)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

7

1.(5分)设4=1+，，Z2=2-2Z,则上=()

马

A.-2iB.2iC.-2D.2

【考点】复数的运算

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算

【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解，

【解答】解：Zj=1+Z,z2=2—2Z>

,z2-2/2(一)2

,_—2=______=____________=_71

"z,-1+/-(l+z)(l-z)--

故选：A.

【点评】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题.

2.(5分)已知向量4=(-1,2),6=(2x,3),若a"b,则x=()

33

A.-3B.--C.-D.3

44

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示

【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算

【分析】根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解.

【解答］解:。=(—1,2),b=(2x,3),a!lb,

a

贝!J—lx3=2x2x,解得x=—

4

故选：B.

【点评】本题主要考查向量平行的性质，属于基础题.

3.(5分)为了得到函数y=cos5x的图象，只需把余弦曲线上所有的点()

A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变

B.横坐标缩短到原来的！倍，纵坐标不变

5

C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变

D.纵坐标缩短到原来的，倍，横坐标不变

【考点】函数y=Asin（a）x+e）的图象变换

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑推理；数学运算

【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出结果.

【解答】解：为了得到函数y=cos5x的图象，只需把余弦曲线上所有的点的横坐标缩短到

原来的！倍，纵坐标不变即可.

故选：B.

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的图象的变换，主要考查学生的运算能力和数学思

维能力，属于基础题.

2

3

【考点】二倍角的三角函数

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑推理；数学运算

【分析】直接利用倍角三角函数的关系式的应用求出三角函数的值.

【解答】解：由于tan6=』，

2

故选：D.

【点评】本题考查的知识要点：倍角公式，三角函数的值的求法，主要考查学生的运算能力

和数学思维能力，属于基础题.

5.（5分）2020年，我国进行了第七次全国人口普查，根据普查结果，2020年11月1日零

时佛山市常住人口为9498863人，其中禅城区、南海区、顺德区、三水区、高明区常住人口

比重分别为：14%、38.61%、33.99%、8.46%、4.94%,则这组数据的上四分位数（即第

75百分位数）是（）

A.8.46%B.14%C.33.99%D.38.61%

【考点】归纳推理

【专题】方程思想；定义法；推理和证明；数学运算

【分析】将数据由小到大排列，然后根据百分位数的定义直接计算能求出结果.

【解答】解：这组数据由小到大排列为:

4.94%,8.46%,14%,33.99%,38.61%,

5x75%=3.75.

四分位数为33.99%.

故选：C.

【点评】本题考查四分位数的定义、算法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6.（5分）如图，在RtAABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c（a>b>c）,分

别以边45,AC,所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其

体积分别为K，匕，匕，贝1（）

A.aV,=bV2=c%B.aV2=bVt=<,%C.aV^bV^cV,D.aVt=bV3=cV2

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积

【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算

【分析】由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得

到两个共用同一底面的圆锥的组合体，绕三边旋转一周分别形成三个几何体的形状，求出它

们的体积，即可得答案.

【解答】解：当绕。边旋转时，其体积％=Lx〃X（竺）2、。=巴上乃；

3a3a

当绕b边旋转时，体积匕J/rxc-b」/7c2乃；

33

当绕C边旋转时，体积V；=」乃乂/XcJ^CTT.

33

:.aV3=bV2=cVt.

故选：C.

【点评】本题考查了圆锥的体积计算，属于中档题.

7.（5分）已知|a|=l,b=Q,®,a_L（“+b）,则向量a在向量b上的投影向量为（）

A.(-1,-拘B.(-73,-1)C.D.

2244

【考点】平面向量数量积的含义与物理意义

【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用；数学运算

【分析】由题意得a-a+a/=0,从而求得。力==-1,再求向量。在向量6上的投

影向量为即可.

【解答】解：aY(a+b),

a-a+a-b=0»

a-b=-a-a=-\a^=-\,

故向量a在向量8上的投影向量为

abb_-1(1,\/3)

闻闻心+(扬2"+(石)2

=(4-%

故选：D.

【点评】本题考查了投影向量的求法及向量垂直的应用，属于基础题.

8.(5分)如图，在直角坐标系内，角a的终边与单位圆交于点耳(|1),O［逆时针旋转?

得。鸟，逆时针旋转(得。《，…，。吃|逆时针旋转(得。匕，则点/22的横坐标为(

)

人3-47303+4石门4-3括64+3。

A.----------B-----------C.----------D.----------

10101010

【考点】任意角的三角函数的定义

【专题】函数思想；定义法；三角函数的求值：数学运算

【分析】由已知求得sina,cosa的值，再由点以0的横坐标为cos(a+2021x。)，利用诱

导公式求解.

43

【解答】解：由己知可得，sina=—,cosa=—.

55

逆时针旋转(得0g,逆时针旋转(得。勺，…，。么］逆时针旋转(得

可得点8()22的横坐标为cos(a+2021x。)=cos(a+674乃一

，冗、71.4314G3+4右

=cos(a---)=cosacos——Fsinasin—=—x—+—x——=-------.

333525210

故选：B.

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分.有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.（5分）设复数z=1+走i,则下列命题中正确的是（）

22

A.彳的虚部是-正i

2

B.z+z=^z\

C.复平面内Z与彳分别对应的两点之间的距离为1

D.z2+z=0

【考点】复数的模

【专题】计算题；对应思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算

【分析】对于选项A,直接写出5=1-3i,从而确定虚部即可；

22

对于选项3,计算可得Z+芝=1,|z|=j（g）2+（曰）2=1,从而判断；

对于选项C,利用两点间的距离公式化简即可判断；

对于选项D,利用复数代数形式的乘除运算化简即可判断.

【解答】VZ=-+—/.

22

_16.

••Z=------1，

22

故彳的虚部是-且，

2

故选项A错误;

z+z=1»Iz|=4-=1,

/.z+Z=1z|,

即选项3正确;

复平面内z与Z分别对应的两点之间的距离为弓-夕+弓+争S

故选项C错误;

2_/5、2173.

Z+z=(—H-----1)+----------1

2222

1后.31G八

42422

故选项O正确;

故选：BD.

【点评】本题综合考查了复数的概念及其几何意义的应用，考查了复数的运算，属于基础题.

10.（5分）广东某高校为传承粤语文化，举办了主题为“粤唱粤美好”的校园粤语歌手比

赛在比赛中，由A,3两个评委小组（各9人）给参赛选手打分.根据两个评委小组对同

一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（）

A.A组打分的众数为47

B.3组打分的中位数为75

C.A组的意见相对一致

D.8组打分的均值小于A组打分的均值

【考点】频率分布折线图、密度曲线

【专题】对应思想；转化法；概率与统计；数据分析

【分析】根据折线图一一判断即可.

【解答】解：由折线图可知，小组A打分的分值为：42,47,45,46,50,47,50,47,

则小组A打分的分值的众数为47,故选项A正确；

小组3打分的分值按照从小到大排列为：36,55,58,62,66,68,68,70,75中间数为

66,故中位数为66,故选项8错误；

小组A的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确；

小组A的打分分值的均值(42+47+45+46+50+47+50+47)xg=46.7,而小组8的打分

分值的均值(55+36+70+66+75+68+68+62+58)x^=62,

所以小组B打分的分值的均值大于小组A打分的分值的均值，故选项。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查频率分布折线图的应用，属于基础题.

11.(5分)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4N,水平拉力E的大小为3N,

另一力心未知，贝lj()

A.当该物体处于平衡状态时，|§|=5N

B.当心与匕方向相反，且|g|=5N时，物体所受合力大小为0

C.当物体所受合力为《时，|行|=4N

D.当|EJ=2N时，3N领］氏+且+G|7N

【考点】向量的概念与向量的模；向量在物理中的应用

【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；数学运算

【分析】选项A中，根据物体处于平衡状态时合力为0求出K的大小；

选项B中，根据F,与方向相反且I名|=5N时求出物体所受合力大小；

选项C中，物体所受合力为巴时巴与重力互为反作用力；

选项D中，根据月与G的合力大小求出\Ft+F2+G\的取值范围.

22

【解答】解：对于A,当该物体处于平衡状态时.，\F2\=\F,+G\=yl3+4=5(2V),选项A正

确;

对于8,当心与匕方向相反，且|与|=5N时，物体所受合力大小为加5^377^=2岔（N）,

选项8错误；

对于C,当物体所受合力为月时，死的方向竖直向上，且|工|=4",选项C正确；

对于。，当生|=2N时，因为耳与G的合力大小为|R+G|=5N,所以

3N领！IK+g+G|7N,选项。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了平面向量的几何意义与应用问题，是基础题.

12.（5分）在正方体A8CD-A4GA中，M是aq的中点，点N在该正方体的棱上运动,

则下列说法正确的是（）

A.当N为棱A4，中点时，MNHB.D

B.当N为棱9中点时，与平面ABGR所成角为30。

C.有且仅有三个点N,使得耳N//平面AM。

D.有且仅有四个点N,使得MN与8c所成角为60。

【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行；直

线与平面所成的角

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算

【分析】根据异面直线判定定理可判断A；利用向量法求线面角可判断8；过点3作与平

面AMR平行平面，观察平面与正方体棱的交点个数可判断C；先判断哪些面对角线与与C

的夹角为60。，然后过点“作这些面对角线的平行线，可找到满足题意的点N,可判断D.

【解答】解：对于A,平面4向84=用，MNu平面4片区4,且餐右叔7,

.•.当N为棱例中点时.，MN与BQ异面,故A错误；

对于8,如图，以£＞为坐标原点，建立空间直角坐标系,

设AB=2,则A(2,0,0),BQ,2,0),£>,(0,0,2),N(2,0,1),M(2,1,2),

AB=(0,2,0),AD,=(-2,0,2),NM=(0,1,1),

设”=(x,y,z)为平面A8CQ的法向量,

2y=0

则取元=1,得〃=(1,0,1),

-2x+2z=0

记MN与平面ABCyD｝所成角为。,

\NM-n\1I

贝(lsin0=

\NM\-\n\~42X>/2~2

6>e[0,—],:.0=—,故8正确；

26

对于C,记GA中点为N,/归中点为P,连接gN,B、P,ND,DP,

由正方体性质得DN/!PBX//AD,,MDt/1DP11NB、,

又B\N「'\DN=N,MD,QAD,=Dt,B"u平面,ONu平面

平面B、NDP11平面AMD,,

当点N为GA中点或AB中点或与。重合时满足题意，故c正确;

对于。，如图，CR,BR,AC,A4与qC的夹角都是60。,

.,.当MN与cq,BR,AC,Ag之一平行时，满足题意,

即N为A4,,AQ,隹£中点时，满足题意，故。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，

考查运算求解能力，是中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.其中16题第一空2分.第二空3分.

13.（5分）2022年2月20日晚，备受瞩目的第24届冬季奥运会在北京圆满落幕.这是一

场疫情肆虐下的体育盛会，是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会，是一场充分体现中华民

族文化自信的盛会.筹备期间，某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从

大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者参与冬奥会的志愿服务工作.已知大一至大三的

青年志愿者人数分别为50,40,30,则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派10

人.

【考点】分层抽样方法

【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算

【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解.

【解答】解：由题意可得，按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派

故答案为：10.

【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

14.（5分）若函数y=sin（x+0）的图像在［0,，"］上恰好有一个点的纵坐标为1,则实数机

的值可以是-.（写出一个满足题意的，"的值即可）

-6-

【考点】正弦函数的图象

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑推理;

数学运算

【分析】直接利用函数的图象和性质的应用求出〃，的值.

【解答】解：函数y=sin（x+§的图像在［0,网上恰好有一个点的纵坐标为1,

当〃?=巳时，满足条件.

故答案为：--

6

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，

属于基础题.

15.（5分）已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2,所有顶点都在球。的球面上，

若球O的表面积为8万，则此正四棱台的侧棱长为_3_.

【考点】棱台的结构特征

【专题】对应思想；数形结合法；立体几何；数学抽象

【分析】根据题意可得球O的半径，结合外接球的性质可得外接球心在底面的中心，再根

据几何关系求解侧棱长即可.

【解答】解：设上下底面互相平行的两对角线分别为DC,AB,则由球。的表面积为8万，

可得球O的半径足=夜，

又正四棱台的上下底面边长分别是1和2,故OC=应，AB=2四,

所以球O的球心正好在中点，故O4=O8=OC=OO=0,所以AOZX7是正三角形，

故N8C=NDOC=60。，所以AOD4是正三角形，

故此正四棱台的侧棱长A。=OA=夜.

故答案为：血.

【点评】本题考查棱台的结构特征和棱台的外接球，属于基础题.

16.（5分）已知a,6是单位向量，且a,b=O,设向量c=xa+y。，当x=y=l时，<c,

a>=_—_；当x+y=3时，|c-a|的最小值为____.

-4-

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【专题】计算题；方程思想；综合法：平面向量及应用：逻辑推理：数学运算

【分析】（1）根据平面向量夹角公式计算即可；

（2）建立平面直角坐标系，再根据|c-a|的几何意义求解即可.

【解答】解：（1）由题意，因为a,b是单位向量，且a2=0,c=a+b,数形结合可得

(2)不妨设a=(1,0),b=(0,1),故c=xa+yb=(x,y),

将Ac移至坐标原点建立平面直角坐标系.

则当x+y=3时，c的终点在直线x+y=3上」c-a|的几何意义为（1,0）到直线x+y=3上的

点的距离.

故|c-a|的最小值为（1,0）到直线x+y-3=0的距离即里昌=夜.

VI2+12

【点评】本题主要考查平面向量夹角的计算，向量的模的计算等知识，属于中等题.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知函数/(x)=sin2x+cos2x,xwR.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)求函数f(x)在［(),§上的最大值及相应自变量的值.

【考点】三角函数的周期性；三角函数的最值

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑推理;

数学运算

【分析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进

一步求出函数的最小正周期和函数的单调递减区间；

(2)利用函数的定义域求出函数的值域.

【解答】解：(1)函数/(x)=sin2x+cos2x=&sin(2x+巴)；

4

故函数的最小正周期为红=万；

2

令2+2%通©x+工2%乃+网(RGZ),

242

整理得：工+&超乐k;r+—(kGZ),

88

故函数的单调递减区间为g+版■次乃+弓］伏£Z).

（2）由于太£[0,5）,

所以+功],

444

故夜sin（2x+匹）e[-l,>/2J；

4

即当x=（时函数f（x）取得最大值&,当x=]时，函数取得最小值为-1.

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主

要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

18.（12分）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，此三棱柱的高为4.若侧面例水平放

置时，水面恰好过AC,BC,B£,AC的中点E，F,G,H.

（1）直接写出直线FG与直线A"的位置关系；

（2）有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确，为什么？

（3）已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面A4BC相同，若将这些水全部倒入此三棱锥形的

容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高.

【考点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算

【分析】（1）根据三角形中位线定理，异面直线的定义进行判断即可；

（2）根据棱台的定义进行判断即可；

（3）根据棱锥和棱柱的体积公式进行求解即可.

【解答】解：（1）水面恰好过AC,BC,B£,AG的中点E，F,G,H.

:.HG"AB',EFIIAB,HG=^A]Bt,EF=；AB,而48〃AA，A8=A与，

.-.GH//EF,/7G=£F,.•.四边形EFG”是平行四边形，

:.FG//EH,而=二直线FG与直线4月不可能平行，

而面EFGHC平面A4G=HG,所以直线FG与直线不可能相交,

故直线FG与直线A"是异面直线，

（2）因为棱台侧棱交于一点，所以该几何体事不是棱台;

（3）设此三棱锥的高为九，设AABC的面积为S,

所以有4・3s=』•S•〃，所以/z=9.

43

【点评】本题考查异面直线的判定，棱台的判定，柱体的高的求法，属中档题.

19.（12分）在AABC中，sin2A-sin2B=sinC（sinC-sinB）.

（1）求A；

（2）若点。在5。边上，从下面两个条件中选一个，求AABC的面积.

①BD=CD=>5,AD=y/7；

4A

®ZBAD=ZCAD,BC=2y/3,AD=—.

3

【考点】正弦定理；余弦定理

【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算

【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理，即可解出；

（2）①利用余弦定理以及中线的向量表示，即可解出；

②利用余弦定理以及等面积法，即可解出.

【解答】解：（1）5m2/4-$指28=5指。（5后。一$访8）由正弦定理可得，

2222

a-b=cr-be,BPb-a=bcf

.b1+c2-a21

cosA=---------------=—,

2bc2

Aw(0㈤,

n

A=—；

3

(2)设三角形ABC,角A,B,C的对边分别为a,b,c,

选①，由题意知。为5c中点，故A£)=L(A3+AC),

2

7=；(c2+h2+2Z?ccosA),即28=〃+c2+2bccosA,

由余弦定理得a2=b2+c2-2Z?ccosA,BP\2=b2+c2-2bccosA,

，be=8,

।j/o

=—bcciinA=-x8x—=2\/3；

若选②，由余弦定理得/=护+/-2bccosA,即12=加+c2-2bccosA,

日n1人.A1473.万J4G71

ccc+Xsin

SMBC=SMBD+5MCDU|J-bcsm^=~x—^-csm^，

.,.4(〃+c)=3bc,

99fC»

「.12=(/?+C)2-3/?C=—(/?C)2-3bc,

二.be=8,

SNARC=-beciinA——x8x—=2^/3；

222

【点评】本题考查了解三角形，正余弦定理.，学生的数学运算能力，属于基础题.

20.(12分)如图，四棱锥P-A8CD中，AB//CD,ZBAD=90°,PA=AD=AB=-CD,

2

侧面皿＞1.底面ABCD,E为PC的中点.

(1)求证：平面PC£＞；

(2)若%=P£),求二面角P-8C—D的余弦值.

【考点】直线与平面垂直；二面角的平面角及求法

【专题】综合题；数形结合；综合法：空间角；数学运算

【分析】（1）取PD中点M,通过证明四边形43EM为平行四边形，得出AM//BE,再

证明4W_LCD和AM_LPD得出AW_L平面PCD即可证明；

（2）取4）中点O,过。作O〃_LBC,可得NPbO为二面角P-3C-。的平面角，设4）=2

即可求出.

【解答】（1）证明：取PD中点M,连接A",ME,

因为E为PC中点，所以A/E//CD且"E=LCO,

2

又A8//CD且A8=，CO,所以ME//A3且ME=A8,

2

所以四边形为平行四边形，所以4W//3E,

因为平面皿）1_平面钻8,交线AD,CDVAD,Su平面ABC£>,

所以CD_L平面PAD,又AA/u平面皿>,所以A"_L8,

又E4=A£>,M为PD中点,所以AM_LP£),

又PQp|C£）=3,PD、C£>u平面PC。，所以4W_L平面PCD,

所以BE平面PC。；

解：（2）取AO中点O,在平面A8CE）内过O作O"J_8c交C8延长线于“，连接PO,PH,

因为B4=PD,所以PO_LA£）,

又平面丛DJL平面/1BCZ）,交线为AD,POu平面RAD,

所以POJ■平面ABC£）,

因为PO0|OH=O,所以8cJ>平面「O”，

因为P"u平面PO〃，所以8C_LP〃，

所以NP〃O为二面角P-BC-D的平面角，

设/V）=2,则2。=百，。"=还，tanZPHO=—=—,cosZPHO=—,

2OH35

【点评】本题主要考查直线与平面垂直的判定、直线与平面垂直的性质等基础知识，二面角

的求法，考查运算求解能力，考查空间想象力.属于中档题.

21.（12分）5月11日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6~17

岁的儿童青少年肥胖率接近20%,肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目

前，国际上常用身体质量指数｛BodyMassIndex,BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我

国成人的国W7数值标准为：<18.5为偏瘦；18.5”8W/<24为正常；24,,<28为偏

胖；阴〃..28为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，

采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通

过计算得到男女员工的3M7值并将女员工的创〃值绘制成如图所示的频率分布直方图：

(1)求图中。的值，并估计样本中女员工BM7值的中位数；

(2)已知样本中男员工的〃值的平均数为22,试估计该公司员工身1〃值的平均数.

【考点】频率分布直方图

【专题】对应思想；转化法；概率与统计；数据分析

【分析】(1)根据频率直方图的矩形面积之和为1求解。的值，再根据中位数左边的频率和

为0.5,求解中位数即可；

(2)先根据频率分布直方图计算女员工的平均阴〃值，再求解该公司员工阴〃值的平均

数即可.

【解答】解：由题意,2x(0.08+0.13+a+0.06+0.07+0.02+0.01+0,03)=1,解得a=0.10,

S2x(0.08+0.13)=0.42<0.5,2x(0.08+0.13+0.10)=0.62>0.5,故中位数在［20,22)之

间，

设为x,J?IJ0.42+0.10x(x-20)=0.5,解得x=20.8.

故估计样本中女员工值的中位数为20.8；

(2)由题意，样本中女员工BA〃值的平均数为

2x(17x0.08+19x0.13+21x0.10+23x0.06+25x0.07+27x0.02+29x0.01+31x0.03)=21,64

故估计该公司员工8卬值的平均数x=」一x(22x60+21.64x40)=21.856.

【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.

22.(12分)2021年7月20日，佛山正式印发了《城市“畅通工程”两年行动方案》(以下

简称《方案》)，聚焦人民群众反映强烈的城市交通拥堵问题，通过微改造、微调整，为市

民出行创造更加畅通有序的交通环境.现某医院附近有条长500米，宽6米的道路（如图1

所示的矩形ABCD）,改造前，路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG）,

按《方案》，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁

边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度=d（米），停车位

（2）若d=3,求该路段改造后的停车位比改造前增加的个数.

【考点】根据实际问题选择函数类型

【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的图象与性质；逻辑推

理；数学运算

【分析】（1）依题意可得EM=AEsin，=2.5sin，，EE=EF'cosZEE"F'=5cos6,据此

整理计算可得d（e）=5cose+*sine-（生，鸟.

2263

（2）由（1）中函数的解析式可得5cose+°sine=U,设改造后的停车位有n个，则

22

5-l）x士25-+4M+E?麴£00,（〃-l）x竽25+2+3500,据此求解不等式可得改造后的停车

cos。4

5

位增加了59个.

【解答】解：（1）依题意，ZE^M=e.AE=2.5,所以EM=AEsin，=2.5sin，，

又NEE尸=9,NEE产=90。，所以EE=EFcosZEEF=5cos6,

又£E+EM=E4+AM=2.5+4,BP5cos0+2.5sin=J+2.5,

所以d（6）=5cose+qsine—（菅，多.

（2）由（1）可知d（e）=5cose+2sin。一*,

22

当d=3时，5cos9+*sin，-*=3,即5cos6+*sin6=U,

2222

结合sin?8+cos26=1,得125sin2。-1lOsin。+21=0,

73

即(25sine—7)(5sin6-3)=0,解得sin。=，或sin8二巳，

255

又(乙，马，所以,<sin6<且，所以sin6=。，即cos8=3,

632255

543

故AM=2.5cos9=—x—=2,EF=EFsin9=5x—=3,

255

25

设改造后的停车位有〃个，则5-1)x+A!M+律啜1500,5-1)x

cos。

7Q?

解得办有一+1=159.4,所以〃=159,

即停车位增加了159-100=59个，

所以改造后的停车位增加了59个.

【点评】本题主要考查三角函数模型及其应用，数学建模的方法等知识，属于中等题.

考点卡片

1.任意角的三角函数的定义

【知识点的认识】

任意