(概率论与数理统计 茆诗松) 第5章 统计量及其分布

第5章统计量及其分布本章将全面介绍统计量及其分布的基本概念和计算方法。从数据收集、描述性统计、到推断性统计，系统地讨论各种常见的统计量及其在实际分析中的应用。同时阐述这些统计量的理论分布及其性质，为后续的假设检验和区间估计打下基础。byJerryTurnersnull5.1统计量的概念定义统计量是基于样本数据计算得出的一个数值,用于描述总体的特征。重要性统计量为我们提供了对总体的了解,为后续的统计推断和决策提供依据。特点统计量本身也是一个随机变量,具有概率分布和抽样性质。5.1.1统计量的定义统计量是用于描述样本或总体特征的量化指标。统计量可以是单一数值,如样本平均值或标准差,也可以是一组数值,如频数分布表。统计量能反映某些总体特征,如位置、散布、偏斜等,是开展统计分析的基础。它们具有可测量、可比较的性质,为数据分析奠定了数量基础。统计量的定义必须明确其描述的总体特征,以及如何从观测数据中计算得到。定义清晰准确的统计量是后续分析的前提条件。5.1.2统计量的性质统计量是基于样本数据计算得到的量。它具有一些常见的性质,如无偏性、相合性、有效性等。统计量的无偏性是指统计量的期望等于总体参数。相合性是指统计量在样本容量无限大时收敛于总体参数。有效性是指在所有无偏估计量中,某一估计量的方差最小。此外,统计量还应该具有稳定性和效率等特性。统计量的分布在统计学中,了解统计量的分布特性至关重要。统计量的分布反映了该统计量的概率特性,为估计和检验提供理论基础。本节将探讨统计量的分布函数以及常见统计量的分布情况。5.2.1统计量的分布函数统计量的分布函数是描述统计量取值的概率分布的函数。它反映了统计量在取值范围内的概率分布情况。通过分析统计量的分布函数,我们可以了解统计量的特性,为后续的统计推断奠定基础。分布函数可以是离散型的,也可以是连续型的。常见的分布函数包括正态分布、t分布、卡方分布和F分布等。这些分布函数有各自的特点和应用场景,是统计分析中不可或缺的重要工具。5.2.2统计量的期望和方差统计量的期望和方差反映了统计量自身的特性,是评判一个统计量好坏的重要指标。期望表示统计量的平均值,方差则表示统计量离其期望值的离散程度。了解统计量的期望和方差有助于更好地理解和运用统计量,从而做出更精准的统计推断。常见统计量的分布统计量的分布是概率论和数理统计中的核心内容。常见的统计量包括样本均值、样本方差、t分布、卡方分布和F分布。了解这些统计量的分布特性有助于进行点估计、区间估计和假设检验等统计推断。5.3.1样本均值的分布样本均值的分布是一个基础性的统计量分布问题。当总体满足某些条件时，样本均值的分布将趋近于正态分布。这是中心极限定理所揭示的基本规律。通过研究样本均值的分布特性，可以为后续的点估计和区间估计提供重要理论支撑。5.3.2样本方差的分布样本方差是一个重要的统计量,用于衡量样本数据的离散程度。样本方差服从卡方分布,其自由度等于样本量减1。样本方差的分布特性使得我们可以构建置信区间或进行假设检验,了解总体方差的情况。5.3.3t分布t分布是一种重要的概率分布,在统计推断中有广泛的应用。它描述了样本均值在总体均值附近的分布情况,特别适用于小样本推断。t分布有一个自由度参数,反映了样本容量的大小,自由度越大,t分布越接近于正态分布。t分布的密度函数具有"钟形"特征,中心集中,两侧渐渐降低。它可以用于构建置信区间和进行假设检验,尤其适用于样本容量较小的情况。5.3.4卡方分布卡方分布是一种重要的概率分布模型，广泛应用于概率统计推断中。该分布描述了标准正态分布的平方和的分布特征。它具有单峰对称的形态，并且与自由度有关。自由度越大，分布越接近正态分布。5.3.5F分布F分布是由卡方分布派生而来的连续概率分布。F分布主要应用于方差分析和检验假设，比如比较两个独立总体的方差是否相等。F分布的概率密度函数和累积分布函数都有复杂的数学表达式。统计量的渐近分布统计量的渐近分布是指当样本容量足够大时,某些常见统计量的分布将逐渐趋于某些已知分布,如正态分布。这为利用已知分布性质对未知参数进行估计与检验提供了重要理论基础。5.4.1大样本理论大样本理论是指当样本容量n足够大时,可以使用正态分布来近似描述样本统计量的分布。这为统计推断提供了理论基础,使得我们可以利用中心极限定理等结果对总体参数进行估计和检验。大样本理论主要包括两个方面:一是大样本理论中的强大数定律,二是大样本理论中的中心极限定理。这些理论保证了在样本量足够大的情况下,样本统计量能够很好地反映总体参数的特征。5.4.2中心极限定理中心极限定理是一个非常重要的统计理论定理。它表明，无论总体分布如何，当样本量足够大时，样本平均值的分布都会趋近于正态分布。这为许多统计推断提供了理论基础，如t检验、卡方检验等。这一定理的本质是说，随机变量的和或平均值都会趋向正态分布，这为我们在实际应用中使用正态分布做近似计算提供了依据。掌握好中心极限定理对于更深入理解随机变量的分布特性很重要。5.4.3大数定律大数定律是概率论中一个重要定理,描述了大量独立随机事件出现频率的收敛性。大数定律说明,当样本容量足够大时,样本平均值将趋近于总体的期望。这一定律为统计推论奠定了理论基础,在实际中得到广泛应用,是极为重要的统计量分析工具。大样本理论大样本理论是统计学中一个重要的理论分支,研究了当样本容量足够大时,统计量的分布特性。这一理论为许多统计推断提供了理论基础,为我们利用样本信息进行参数估计和假设检验奠定了坚实的基础。5.5.1点估计的概念点估计是一种利用样本数据推断总体参数的统计方法。它通过计算样本统计量来估算未知的总体参数值。例如,使用样本平均值来估算总体平均值,或者使用样本标准差来估算总体标准差。点估计提供了一种简洁直观的方式来推断总体特征。点估计的核心在于选择合适的样本统计量作为总体参数的估计量。一个好的点估计量应该具有无偏性、有效性和充分性等优良性质,能够尽可能准确地描述总体特征。5.5.2区间估计的概念区间估计是统计中一种重要的估计方法。它不仅可以给出点估计的值，还可以给出一个包含未知参数的区间,从而更加全面地反映未知参数的取值范围。通过建立置信区间,我们可以更准确地掌握未知参数的取值情况。这不仅能够更好地描述总体特征,还为假设检验等方法奠定了基础。5.5.3置信区间的构造置信区间是对未知参数进行区间估计的方法之一。通过选取合适的统计量和抽样分布，可以构造出包含未知参数的真实值的区间。构造置信区间一般遵循以下步骤：确定合适的统计量、确定统计量的抽样分布、根据显著性水平计算临界值、利用统计量计算区间估计值。置信区间的长度反映了估计的精度，置信度越高估计精度越低。选择合适的置信度水平和样本量可以得到最优的置信区间。假设检验的基本概念假设检验是统计推断的一种重要方法,它允许我们根据有限的样本数据,对总体的未知参数做出判断。它包括定义待检验的假设、选择合适的检验统计量、计算临界值并做出决策等步骤。5.6.1假设检验的定义假设检验是一种统计推断方法,用于评估一个样本数据是否能够支持某个关于总体参数的假设。它通过构建检验统计量,并计算该统计量的概率值,进而得出是否拒绝原假设的结论。假设检验的过程包括提出原假设和备择假设、选择合适的检验统计量、计算p值以及做出判断。5.6.2检验统计量和临界值检验统计量是用于评估假设检验的数值指标。它根据样本数据计算得出,遵循某种已知的概率分布。临界值是用于判断检验统计量是否落在拒绝域内的临界点。临界值由显著性水平和分布类型确定。比较检验统计量和临界值可以决定是否拒绝原假设。如果检验统计量落在拒绝域内,则拒绝原假设;否则接受原假设。I类错误和II类错误I类错误：也称拒真错误，即在原假设为真的情况下,错误地拒绝原假设。这种错误的概率被称为显著性水平α。II类错误：也称取假错误，即在原假设为假的情况下,错误地接受原假设。这种错误的概率被称为功效β。I类错误和II类错误是相互矛盾的,降低一种错误通常会增加另一种错误的概率。因此在实际中需要权衡两种错误的代价来确定最合适的显著性水平和样本量。5.6.4假设检验的步骤明确需要检验的统计假设，包括原假设和备择假设。确定检验统计量并计算其数值。根据检验统计量的分布确定临界值或p值。比较检验统计量与临界值，或计算p值与显著性水平，作出检验结论。常见假设检验问题统计学中常见的假设检验问题包括均值检验、方差检验和比例检验等。这些检验帮助我们判断样本数据是否符合某些假设条件,为决策提供依据。不同检验遵循不同的统计分布,如正态分布、卡方分布和F分布。5.7.1均值检验均值检验是统计学中常见的假设检验之一，它用于检验总体均值是否等于某个预设值。通过抽取样本数据计算样本均值，并利用统计量的分布理论对总体均值进行推断。常见的均值检验包括单总体均值检验和两总体均值差检验，分别适用于不同的研究情况。方差检验方差检验是用于检验两个或多个总体方差是否相等的统计推断方法。常用的方差检验方法包括F检验和Bartlett检验。F检验适用于检验两个