2020-2021学年湖南省湘西州高一（下）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年湖南省湘西州高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.复数1-J方的虚部为（）

A.聪B.1C.弧D.-A/3

2.设。为△ABC所在平面内一点，BC=3DC＞贝1I（）

A.AD=--yAB+'^ACB--77AC

C.AD=3-AB+g-ACD.AD=--yAB-yAC

3.”幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用

区间［0,10］内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取20位某地

的村民，他们的幸福感指数为（）

5.5,6.5,6.6,7.5,7.7,7.9,8.2,8.5,8.6,8.7,

8.7,8.8,9.0,9.1,9.4,9.6,9.7,9.8,9.8,9.9,

则这组数据的上四分位数是（）

A.7.8B.9.5C.7.7D.9.4

4.某学校为加强学生新冠肺炎防控意识，组织防控知识问卷测试，共50道题.已知甲，乙,

丙，丁，戊五位同学在这次测试中答对的题数分别是48,50,50,48,49,则这五位同

学答对题数的标准差是（）

A.1B.C.—D.—

555

5.已知|a||b［（a+b）■（a-2b）则a与b的夹角为（）

6.已知圆锥的底面半径为如，其侧面展开图是一个半圆，则与该圆锥同底等高的圆柱的侧

面积为（）

A.4V371B.8nC.47271D.47r

7.某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得

到的，如图所示加里一张石凳的体积是0.35加，那么原正方体石料的体积是（

A.0.25优3B.0.216:4C.0.36帆3D.0.42/n3

8.从1,2,3,4中取随机选出一个数字，记事件4="取出的数字是1或2"，A2="取

出的数字是1或3"，4="取出的数字是1或4"，命题“①4与4相互独立；②4

与4相互独立；③4与4相互独立中真命题”的个数是（）

A.1B.2C.3D.0

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分共20分。在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.下列说法中正确的是（）

A.若a“b，b//c，则a//c

B.两个非零向量z，b-若|ZG|=|Z|+|EI，则之与E共线且反向

C.若Z//E，则存在唯一实数）使得之=入芯

D.若P是三角形ABC的重心，则还+而+我=6

10.为了测量8,C之间的距离，在河的南岸A,C处测量（测量工具：量角器、卷尺），

如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有（）

B

A.c与aB.c与bC.b,c与0D.b,a与丫

11.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件”取出

的两球同色"，N="取出的2球中至少有一个黄球"，S="取出的2球至少有一个白

球"，T="取出的两球不同色"，》="取出的2球中至多有一个白球”则（）

A.M与T互为对立B.N与S互斥

C.S与X互斥D.N与H不互斥

12.在直三棱柱ABC-AiSCi中，。是中点.A4i=6,AC=8,BC=4,ZACB=60°.则

下列结论正确的是（）

A.点A到平面BCCiBi的距离是V3

B.异面直线。G与A8的角的余弦值是告

5

C.若尸为侧面A41GC（含边界）上一点，满足BP〃平面AOG,则线段BP长的最小

值是5

D.过A,D,G的截面是钝角三角形

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知z=2-iM是虚数单位），在复平面上，z&+i）对应的点在第象限.

14.已知△ABC的外接圆圆心为。，半径为1,且向量2菽i=7g+正，|赢|=屈|,则向量就

在向量前方向上的投影长度是.

15.在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.羽毛球的比赛规则是

3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,利用计算机模拟试

验，估计甲获得冠军的概率.为此，用计算机产生1〜5之间的随机数，当出现随机数1,

2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为06由于要比赛三局，所以每3个随机数为

一组.例如，产生了20组随机数：

423231423344114453525323152342

345443512541125342334252324254

相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为.

16.正方形A2CD的边长是4,点£、尸分别是A3、BC的中点，现将△AOE,AEBF,△

砥力分别沿。E,EF,FD折起，使得A、B、C三点重合于一点若四面体AEED的

四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.平面向量；=(1,2)，b=(-l,1).

([)若|c|=3&且(a-c)//(b-a)1求c的坐标；

(II)若3满足(I)且《的横坐标为正，试求使(Z+kc)1(a+2石)成立的实数k的值.

4

18.若△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c、，且。=2,cosB=,.

0

(I)若6=4,求sinA的值；

(II)若△ABC的面积S=6,求b、c的值.

19.在四棱锥尸-ABC。中，底面A8C。为正方形，PAL平面ABC。，E为尸。的中点.

(I)证明：PB〃平面AEC；

(II)若尸A=2,AD=4,求直线CE与平面A8C£)所成的角正切值.

20.矮寨大桥飞越在湘西德夯峡谷之巅，是世界跨峡谷跨径最大的钢桁梁悬牵索桥，是连接

湘渝的重要交通设施、更是湘西的标志性景点.大桥跨径1176米，桥面距离谷底355米,

2012年3月建成通车.为了解矮寨大桥所在地的实际通行所需时间，随机抽取了"台车

辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间(单位：分钟)都在[35,50]内，按通行时间

分为[35,38),[38,41),[41,44),[44,47),[47,50]五组,其中通行时间在[38,

47)的车辆有315台，频率分布直方图如图所示.

(I)求实数相、〃的值，并估计样本数据的平均数；

(II)为了进一步了解车辆的通行状况，按第一组和第五组进行分层，用分层随机抽样

的方法从中抽取5辆汽车，再从这5辆汽车中随机抽取2辆汽车(司机)进行问卷调查,

求抽取的这2辆汽车(司机)恰好来自同一组的概率.

21.已知相，入，e是实数，，是虚数单位.

(I)若zi=cos28+isin28,Z2=cos0+zsin0,sRz—z\-

(II)若zi=〃z+(4-m2)i,Z2=2cos0+(X+3sin0)z•且zi=Z2,试求)的取值范围.

22.如图，在三棱锥A-BCD中，平面AB。_L平面BCD,AB^AD,。为的中点.

(I)证明：OALBC-

(II)若△OC。是边长为3的等边三角形，点E在棱上，血=2而且三棱锥A-8C。

的体积是2g,试求二面角E-BC-D的大小.

2

参考答案

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.复数1-正》的虚部为()

A.遍B.1C.MD.-73

解：复数1一向的虚部为-V3.

故选：D.

2.设。为△ABC所在平面内一-点，BC=3DC，贝;1()

一1—.2一一1—.2一

A.AD=--3AB+yACB-AD=-gAB-yAC

—►1—.2——■]—■2—

CAD=-j-AB+yACD-AD=--^AB-yAC

解：•.•它=3灰，六。为线段BC靠近C点的三等分点

—»0aO»0»

ABD专BC=^AC*AB，

Oou

—►—►—*1—►2-*

AD=AB+BD=^AB+5AC

oo

故选：c.

3.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用

区间［0,10］内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取20位某地

的村民，他们的幸福感指数为（）

5.5,6.5,6.6,7.5,7.7,7.9,8.2,8.5,8.6,8.7,

8.7,8.8,9.0,9.1,9.4,9.6,9.7,9.8,9.8,9.9,

则这组数据的上四分位数是（）

A.7.8B.9.5C.7.7D.9.4

Q4+q©

解：：20X0.75=15,；.上四分位数是J-=9.5.

故选：B.

4.某学校为加强学生新冠肺炎防控意识，组织防控知识问卷测试，共50道题.己知甲，乙,

丙，丁，戊五位同学在这次测试中答对的题数分别是48,50,50,48,49,则这五位同

学答对题数的标准差是()

A.1B.C.—D.—

555

解：由题意可知，甲，乙，丙，丁，戊五位同学在这次测试中答对的题数分别是48,50,

50,48,49,

所以该组数据的平均数为《"X(48+50+50+48+49)=49,

5

则该组数据的方差为(1+1+1+1+0)

所以这五位同学答对题数的标准差是挛.

5

故选：B.

5.已知|aIb|=A/2,(a+b)•(a-2b)则a与b的夹角为()

Kn2九3冗

A.—B.——C.--D.--

3434

解：由已知|a|=7^，|b|=V2>(a+b)'(a-2b)=V3-b

故a‘2b2-a即><V22-a,b=V3-l,

_a,b__V3_V2

解得所以cos〈a，

|I||brV3><V2=^2-，

又O.0,兀］，所―T

故选：D.

6.已知圆锥的底面半径为、历，其侧面展开图是一个半圆，则与该圆锥同底等高的圆柱的侧

面积为()

A.如他兀B.8TTC.去历FD.4it

解：设圆锥的底面半径为r,母线长为/,高为加

则有2m•=2V2兀，

所以］苦上=2a，

故圆锥的高为^=V（2V2）2-（V2）2=V6-

所以与该圆锥同底等高的圆柱的底面半径为血，高为2a,

故圆柱的侧面积为S=2冗•、历"2&=8兀.

故选：B.

7.某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得

到的，如图所示加里一张石凳的体积是0.35祖3,那么原正方体石料的体积是（）

A.0.25%3B.0.216m3C.0.36m3D.0.42m3

解：设原正方体石料的棱长为am,

则原正方体石料的体积为

1123

截去的八个四面体的体积为8X高X号X（且）X春a=且一〃，

32226

3c

则a3-----=—a3=0.35,得a3=0.42m3,

66

即原正方体石料的体积为0.42机3,

故选：D.

8.从1,2,3,4中取随机选出一个数字，记事件4="取出的数字是1或2"，A2="取

出的数字是1或3"，4="取出的数字是1或4"，命题“①4与4相互独立；②4

与4相互独立；③4与4相互独立中真命题”的个数是（）

A.1B.2C.3D.0

解：从1,2,3,4中取随机选出一个数字，

记事件4="取出的数字是1或2"，人2="取出的数字是1或3"，&="取出的数字

是1或4”，

91P12111

P(Ai),P(人2)——>P(A)——,P(A1A2)=7，P(A2A3)-,

42424244

P(A1A3)

4

对于命题①，P（AIA）=P（Ai）P（A）与&2相互独立，故①是

22224

真命题;

对于命题②，P(A2A3)—P(A2)P(A3)=《X《==，；.A2与As相互独立，故②是

224

真命题；

对于③，P(A1A3)=尸(Ai)P(A3)与4相互独立，故③是真命

224

题.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分共20分。在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的是()

A.若a//b，bRc，则a//c

B.两个非零向量二fe,若G-E|=|Z|+|EI，贝曙与E共线且反向

C.若；I)fe,则存在唯一实数A使得；=X

D.若P是三角形ABC的重心，则荏+m+玩=3

【解答】若E=元可满足%雇，b/屋”，但;底不一定成立，错；

根据向量减法几何意义可知B对；

若芯=节可满足总但不满足存在唯一实数人使得之=入京•"错；

如图所示：

小；

PA+PB+PC=-f<AD+BE+CF)=-5弓AB+yAC+^BA+-1-BC+-1-CB+-1-CA)=0

；.£)对.

故选：BD.

10.为了测量2,C之间的距离，在河的南岸A,C处测量(测量工具：量角器、卷尺)，

如图所示.下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有()

B

A.c与aB.c与bC.b,c与0D.b,a与y

解：根据正余弦定理可知，要想解三角形，需已知三角形中三边、三角六个量中的其中

三个（除去已知三角解三角形之类型），才能解三角形，故42选项显然不合理，对于

C,。两项，根据现有测量工具，是可以测出6,a与丫的，可先利用内角和定理求出0,

再用正弦定理求出8C长度，而C选项中的c边是测不出来的（从A处无法到达8处），

故不合理选项为A,B,C.

故选：ABC.

11.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件”取出

的两球同色"，N="取出的2球中至少有一个黄球"，S="取出的2球至少有一个白

球"，7=”取出的两球不同色"，H="取出的2球中至多有一个白球”则（）

A.M与T互为对立B.N与S互斥

C.S与X互斥D.N与H不互斥

解：对于选项A,事件"取出的两球同色"，T="取出的两球不同色”，显然不可

能同时发生，且也不可能都不发生，所以/和T是对立事件，故选项A正确；

对于选项B,如果“取出的2个球为1个白球和一个黄球”，则N和S同时发生，所以

N和S不是互斥事件，故3选项错误；

对于选项C,如果“取出的2个球为1个白球和一个黄球”，则S和H同时发生，所以

S和H不是互斥事件，故C选项错误；

对于选项。，如果“取出的2个球为1个白球和一个黄球”，则N和H同时发生，所以

N和X不是互斥事件，故。选项正确.

故选：AD.

12.在直三棱柱ABC-A1SC1中，。是221中点.A4i=6,AC=8,2C=4,ZACB=60°.则

下列结论正确的是（)

A.点A到平面BCC由i的距离是小回

B.异面直线DCi与48的角的余弦值是告

C.若尸为侧面A4CC(含边界)上一点，满足BP〃平面ADG,则线段BP长的最小

值是5

D.过A,D,G的截面是钝角三角形

解：在△ACB中，因为AC=4,BC=8,ZACB=6Q°,由余弦定理可得48=共后，所

以NABC=90°.

即A8_LBC,又因为平面AC8_L平面8CC1S,所以A8_L平面BCCiBi,

故AB为点A到平面BCCiBi的距离，A选项说法正确.

因为平面8CCB1,所以A8J_OCi,所以异面直线。G与AB所成角为90°,故余

弦值为0,2选项错误.

如图，取CG中点E,AC中点孔连接BE,EF,BF.因为BE〃CiD,EF〃ACi,

所以平面2所〃平面AG。，所以尸点在线段跖上.

在△BEF中，BF=4,EF=5,BE=DCx=5,所以8尸的最大值为5,C选项错误.

在△AG。中，ACi=10,0cl=5,AD=y](473)2+32=VS7'

因为Ci^+AD2-GA2=57+25-100<0,所以NAOCi为钝角，。选项正确.

故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知z=2-iM是虚数单位），在复平面上，N（三+：）对应的点在第一象限.

解：zG+i）=（2-z）（2+20=6+2/,其对应点坐标为（6,2）,在第一象限•

故答案为：一.

14.已知△ABC的外接圆圆心为。，半径为1,且向量2菽1=标+正，|赢|=|标|,则向量菽

在向量前方向上的投影长度是一1一.

解：由2代=屈+正知，。为BC的中点，如图所示.

A

又为AABC外接圆的圆心，半径为1,

冗

...BC为直径，且BC=2,。4=42=1,/.ZABC=-.

0

向量AB在向量BC方向上的投影为|ABlcos（兀-工-）

O4

故答案为：

15.在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.羽毛球的比赛规则是

3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,利用计算机模拟试

验，估计甲获得冠军的概率.为此，用计算机产生1〜5之间的随机数，当出现随机数1,

2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.由于要比赛三局，所以每3个随机数为

一组.例如，产生了20组随机数：

423231423344114453525323152342

345443512541125342334252324254

相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为

解：由题意知模拟打3局比赛甲恰好获胜2局的结果，经随机模拟产生了如下20组随机

数，

在20组随机数中表示打3局比赛甲恰好获胜2局的有：432,231,423,114,323,152,

342,512,125,342,334,252,324共13组随机数，

1Q

所求概率为制=0.65,

故答案为：0.65.

16.正方形A8CD的边长是4,点E、F分别是AB、BC的中点，现将△AOE,AEBF,△

尸8分别沿。E，EF,即折起，使得A、B、C三点重合于一点A.若四面体AEED的

四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为24n

解：由图可知，二棱锥4'-"DE/的二条侧棱两两垂直，

且A'0=4,A'E=A'F=2,

把该三棱锥放置在过一个顶点的棱长分别为2、2、4的一个长方体中，

则长方体的外接球即为该三棱锥的外接球，

其半径为点/西洱N=V6，

则外接球的表面积为钿义(泥)2=24兀.

故答案为：247T.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.平面向量之二(1,2)，b=(-l,1).

(I)若|c|二3&且(a-c)“(b-a)，求c的坐标；

(II)若与满足(I)且3的横坐标为正，试求使G+k3)l(Z+2E)成立的实数%的值•

【解答】(I)设《=(x,y),

(1-冗，2->),b-a=(-2,-1)，

；(W)xJ-l)-(2-y)X(-2)=C解得

，c的坐标为⑶3)或(-高1，-；

DD

(II)根据题意取《=(3,3),

则)+&3=(1+3%,2+34),，+21=(-1,4),

又•・•G+k3)l(工+2石)，(1+3%)X(-1)+(2+3%)X4=0,

解得：k=/

y

4

18.若△ABC的三个内角A、B、。所对的边分别是〃、b、c、，且〃=2,cosB二菖.

5

(I)若b=4,求sinA的值；

(II)若△ABC的面积S=6,求b、c的值.

4

解：(I)由于cosB=m，

b

所以sinB=V1-COS2B4,

o

a_b

利用正弦定理:

sinAsinB

整理得si小蚪坦二13

10

(II)利用S2®cH"acsinB=6,解得c=10,

4，

所以b2=a2+c2-2accosB=4+100-2X2XIQX--=72,

5

解得匕=d/^.

19.在四棱锥P-4BCD中，底面ABC。为正方形，PA±WABCD,E为的中点.

(I)证明：尸2〃平面AEC；

(II)若PA=2,AD=4,求直线CE与平面A3CD所成的角正切值.

连接2。交AC于连

:E,M分别为PD,8。中点.'EM

：尸2,平面AEC,EMu平面AEC,〃平面AEC；

（2）如图,

取AD中点为N,连结EN,CN,

,:E,N分别为PD,中点，：.EN//PA,EN=^PA=l,

：PA_L平面ABC。，，EN_L平面A8CZ）,直线EC与平面ABC。成角9=/ECM

NC^yj42+22=V20=2^5-EN=1,

0NE1娓

NC27510

20.矮寨大桥飞越在湘西德夯峡谷之巅，是世界跨峡谷跨径最大的钢桁梁悬牵索桥，是连接

湘渝的重要交通设施、更是湘西的标志性景点.大桥跨径1176米，桥面距离谷底355米,

2012年3月建成通车.为了解矮寨大桥所在地的实际通行所需时间，随机抽取了〃台车

辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在［35,50］内，按通行时间

分为［35,38）,［38,41）,［41,44）,［44,47）,［47,50］五组，其中通行时间在［38,

47）的车辆有315台，频率分布直方图如图所示.

（I）求实数机、〃的值，并估计样本数据的平均数；

（II）为了进一步了解车辆的通行状况，按第一组和第五组进行分层，用分层随机抽样

的方法从中抽取5辆汽车，再从这5辆汽车中随机抽取2辆汽车（司机）进行问卷调查,

求抽取的这2辆汽车（司机）恰好来自同一组的概率.

解：（1）由频率分布直方图得:

(0.04+0.07+机+0.08+0.06)X3=l,

解得

由频率分布直方图得通行时间在［38,47)的频率为:

(0.07-F-i-+0.08)X3=0.7,

12

:通行时间在［38,47)的车辆有315台,

样本数据的平均数为：

彳=36.5X0.04X3+39.5X0.07X3+42.5X上X3+45.5X0.08X3+48.5X0.06X3=42.95.

x12

(2)按第一组和第五组进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5辆汽车，

则从第一组抽取5X,£尸0°=2辆，从第五组抽取5义制野a=3辆，

0.04+0.060.04+0.06

再从这5辆汽车中随机抽取2辆汽车(司机)进行问卷调查，

基本事件总数〃=cW=i。，

抽取的这2辆汽车(司机)恰好来自同一组包含的基本事件个数机=C；+C［=4,

...抽取的这2辆汽车(司机)恰好来自同一组的概率尸=也=之路.

n105

21.已知加，入，。是实数，i是虚数单位.

(I)若zi=cos28+isin28,Z2=cos0+zsin0,求2=21-222的模.

(II)若zi=/n+(4-m2)i,Z2=2COS0+(入+3sin6)，且zi=Z2,试求人的取值范围.

解：(I)根据题意，Z2=cos0+zsin0,

则Z2?=(cos6+zsin0)2=cos26+zsin20,

则z=zi-Z22—0,则|z|=0；

m=2cos0

{4-mz=入+3sin0

3Q

变形可得：入=4-4cos20-3sin0=4sin20-3sin0=4(sinQ--)2--

816

3g

又一IWsinBWl,则sin0=-1时，Am办=7,sinS=G•时，储加=--rr;

8