北京师大附中八级数学上册期中数学试卷含答案解析

2015-2016学年北京师大附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每题所列选项只有一个最符合题意）1．下图中的轴对称图形有（）A．（1），（2） B．（1），（4） C．（2），（3） D．（3），（4）2．点P（4，5）关于x轴对称点的坐标是（）A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（5，4）3．下列计算正确的是（）A．（x3）3=x6 B．a6•a4=a24C．（﹣mn）4÷（﹣mn）2=m2n2 D．3a+2a=5a24．已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（）A．1 B．13 C．17 D．255．如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB=CE，则∠B的度数是（）A．45° B．60° C．50° D．55°6．已知y（y﹣16）+a=（y﹣8）2，则a的值是（）A．8 B．16 C．32 D．647．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM=50°，则∠AOB=（）A．40° B．45° C．50° D．55°8．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①DF=DN；③AE=CN；③△DMN是等腰三角形；④∠BMD=45°，其中正确的结论个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．已知x+y=1，那么的值为．10．若x2﹣kx+1是完全平方式，则k=．11．已知x2n=2，则（x3n）2﹣（x2）2n的值为．12．若（x2﹣x+3）（x﹣q）的乘积中不含x2项，则q=．13．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E在BC的延长线上，G是AC上一点，且CG=CD，F是GD上一点，且DF=DE，则∠E=度．14．如图，在平面直角坐标系中，点A的横坐标为﹣1，点B在x轴的负半轴上，AB=AO，∠ABO=30°，直线MN经过原点O，点A关于直线MN的对称点A1在x轴的正半轴上，点B关于直线MN的对称点为B1，则∠AOM的度数为；点B1的纵坐标为．三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15．计算（1）（8x2y﹣4x4y3）÷（﹣2x2y）（2）（3x﹣2）（2x+3）﹣（x﹣1）2．16．因式分解（1）y3﹣6xy2+9x2y（2）（a+2）（a﹣2）+3．17．化简求值（1）若a2﹣4a+b2﹣10b+29=0，求a2b+ab2的值（2）先化简，再求值：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x﹣1）2，其中．四、解答题（本大题共2答题，18题4分，19题6分，共10分）18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）作出△ABC关于y轴对称的△ABlCl；（2）点P在x轴上，且点P到点B与点C的距离之和最小，直接写出点P的坐标为．19．已知x≠1，计算（1+x）（1﹣x）=1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3，（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4．（1）观察以上各式并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=（n为正整数）；（2）根据你的猜想计算：①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=；②2+22+23+2n=（n为正整数）；③（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=；（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a﹣b）（a+b）②（a﹣b）（a2+ab+b2）③（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）五、解答题（共3大题，20题5分，21题6分，22题7分，共18分）20．阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠求BC的长．小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．请回答：（1）△BDE是三角形．（2）BC的长为．参考小聪思考问题的方法，解决问题：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD的长．21．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；（3）如图2，若60°＜∠PAB＜120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明．22．如图1，已知A（0，a），B（b，0），且a、b满足a2﹣4a+20=8b﹣b2．（1）求A、B两点的坐标；（2）如图2，连接AB，若D（0，﹣6），DE⊥AB于点E，B、C关于y轴对称，M是线段DE上的一点，且DM=AB，连接AM，试判断线段AC与AM之间的位置和数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，若N是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且DN=AP，连接PN交y轴于点Q，过点N作NH⊥y轴于点H，当N点在线段DM上运动时，△MQH的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．2015-2016学年北京师大附中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每题所列选项只有一个最符合题意）1．下图中的轴对称图形有（）A．（1），（2） B．（1），（4） C．（2），（3） D．（3），（4）【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解，看图形是不是关于直线对称．【解答】解：（1）是轴对称图形；（2）、（3）是中心对称图形；（4）是轴对称图形．故选B．2．点P（4，5）关于x轴对称点的坐标是（）A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（5，4）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．【解答】解：点P（4，5）关于x轴对称点的坐标是：（4，﹣5）．故选：C．3．下列计算正确的是（）A．（x3）3=x6 B．a6•a4=a24C．（﹣mn）4÷（﹣mn）2=m2n2 D．3a+2a=5a2【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；单项式的除法，合并同类项法则对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、（x3）3=x3×3=x9，故本选项错误；B、a6•a4=a6+4=a10，故本选项错误；C、（﹣mn）4÷（﹣mn）2=m2n2，故本选项正确；D、3a+2a=5a，故本选项错误．故选C．4．已知x+y=5，xy=6，则x2+y2的值是（）A．1 B．13 C．17 D．25【考点】完全平方公式．【分析】将x+y=5两边平方，利用完全平方公式化简，把xy的值代入计算，即可求出所求式子的值．【解答】解：将x+y=5两边平方得：（x+y）2=x2+2xy+y2=25，将xy=6代入得：x2+12+y2=25，则x2+y2=13．故选B．5．如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB=CE，则∠B的度数是（）A．45° B．60° C．50° D．55°【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到CA=CE，根据等腰三角形的性质得到∠CAE=∠E，根据三角形的外角的性质得到∠ACB=2∠E，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵MN是AE的垂直平分线，∴CA=CE，∴∠CAE=∠E，∴∠ACB=2∠E，∵AB=CE，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB=2∠E，∵∠A=105°，∴∠B+∠E=75°，∴∠B=50°，故选：C．6．已知y（y﹣16）+a=（y﹣8）2，则a的值是（）A．8 B．16 C．32 D．64【考点】完全平方公式．【分析】根据完全平方公式，即可解答．【解答】解：y（y﹣16）+a=（y﹣8）2，y2﹣16y+a=y2﹣16y+64a=64．故选：D．7．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM=50°，则∠AOB=（）A．40° B．45° C．50° D．55°【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M=50°，∴∠P1OP2=180°﹣2×50°=80°，∴∠AOB=40°，故选A．8．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①DF=DN；③AE=CN；③△DMN是等腰三角形；④∠BMD=45°，其中正确的结论个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰直角三角形；圆内接四边形的性质．【分析】求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，证△DFB≌△DAN，即可判断①，证△ABF≌△CAN，推出CN=AF=AE，即可判断②；根据A、B、D、M四点共圆求出∠ADM=22.5°，即可判断④，根据三角形外角性质求出∠DNM，求出∠MDN=∠DNM，即可判断③．【解答】解：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，∴∠BFD=∠AEB=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE，∵M为EF的中点，∴AM⊥BE，∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°﹣67.5°=22.5°=∠MBN，在△FBD和△NAD中∴△FBD≌△NAD，∴DF=DN，∴①正确；在△AFB和△△CNA中∴△AFB≌△CAN，∴AF=CN，∵AF=AE，∴AE=CN，∴②正确；∵∠ADB=∠AMB=90°，∴A、B、D、M四点共圆，∴∠ABM=∠ADM=22.5°，∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，∴④正确；∵∠DNA=∠C+∠CAN=45°+22.5°=67.5°，∴∠°=∠DNM，∴DM=MN，∴△DMN是等腰三角形，∴③正确；即正确的有4个，故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．已知x+y=1，那么的值为．【考点】完全平方公式．【分析】根据完全平方公式，可知=（x2+2xy+y2）=（x+y）2，再整体代入计算即可．【解答】解：=（x2+2xy+y2）=（x+y）2=×1=．故答案为．10．若x2﹣kx+1是完全平方式，则k=2或﹣2．【考点】完全平方式．【分析】将原式化为x2﹣kx+12，再根据完全平方公式解答．【解答】解：原式可化为知x2﹣kx+12，可见当k=2或k=﹣2时，原式可化为（x+1）2或（x﹣1）2，故答案为2或﹣2．11．已知x2n=2，则（x3n）2﹣（x2）2n的值为4．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】利用幂的乘方变形，把x2n=2看作一个整体，代入求的数值即可．【解答】解：∵x2n=2，∴（x3n）2﹣（x2）2n的=（x2n）3﹣（x2n）2=8﹣4=4．故答案为：4．12．若（x2﹣x+3）（x﹣q）的乘积中不含x2项，则q=﹣1．【考点】多项式乘多项式．【分析】根据多项式的运算法则把括号展开，再合并同类项；找到含有x的二次项并让其系数为0，即可求出n的值．【解答】解：原式=x3﹣qx2﹣x2+qx+3x﹣3q=x3﹣（q+1）x2+（q+3）x﹣3q，∵乘积中不含x2项，∴﹣（q+1）=0，∴q=﹣1．故答案为：﹣1．13．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E在BC的延长线上，G是AC上一点，且CG=CD，F是GD上一点，且DF=DE，则∠E=15度．【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质．【分析】由DF=DE，CG=CD，得出∠E=∠DFE，∠CDG=∠CGD，再由三角形的外角的意义得出∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CDG，从而得出∠ACB=4∠E，进一步求得答案即可．【解答】解：∵DF=DE，CG=CD，∴∠E=∠DFE，∠CDG=∠CGD，∵GDC=∠E+∠DFE，∠ACB=∠CDG+∠CGD，∴GDC=2∠E，∠ACB=2∠CDG，∴∠ACB=4∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠E=60°÷4=15°．故答案为：15．14．如图，在平面直角坐标系中，点A的横坐标为﹣1，点B在x轴的负半轴上，AB=AO，∠ABO=30°，直线MN经过原点O，点A关于直线MN的对称点A1在x轴的正半轴上，点B关于直线MN的对称点为B1，则∠AOM的度数为75°；点B1的纵坐标为﹣1．【考点】几何变换综合题．【分析】根据等边对等角的性质得出∠AOB=∠ABO=30°，利用轴对称性质得出∠AOM=∠AOA1，从而求出∠AOM的度数；过A作AC⊥x轴于C，过B1作B1D⊥x轴于D，根据点A的横坐标为﹣1求出OC=1，根据等腰三角形三线合一的性质得出BO=2OC=2=OB1，根据∠B1DO=90°和∠DOB1=30°求出B1D即可．【解答】解：∵AB=AO，∴∠AOB=∠ABO=30°．∵点A关于直线MN的对称点A1在x轴的正半轴上，∴直线MN垂直平分AA1，∵直线MN经过原点O，∴AO=OA1，∴∠AOM=∠AOA1==×=75°．如图，过A作AC⊥x轴于C，过B1作B1D⊥x轴于D．∵点A的横坐标为﹣1，∴OC=1，∵AB=AO，∴BO=2OC=2=OB1，∵∠B1DO=90°，∠DOB1=∠AOB=30°，∴B1D=OB1=1，∵点B1在第四象限，∴点B1的纵坐标为﹣1，故答案为：75°；﹣1．三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15．计算（1）（8x2y﹣4x4y3）÷（﹣2x2y）（2）（3x﹣2）（2x+3）﹣（x﹣1）2．【考点】整式的混合运算．【分析】（1）根据多项式除以单项式进行计算即可；（2）根据多项式的乘法以及完全平方公式进行计算即可．【解答】解：（1）原式=8x2y÷（﹣2x2y）﹣4x4y3÷（﹣2x2y）=﹣4+2x2y2；（2）原式=6x2+5x﹣6﹣x2+2x﹣1=5x2+7x﹣7．16．因式分解（1）y3﹣6xy2+9x2y（2）（a+2）（a﹣2）+3．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】（1）原式提取y，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用平方差公式化简，合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式=y（y2﹣6xy+9x2）=y（y﹣3x）2；（2）原式=a2﹣4+3=a2﹣1．17．化简求值（1）若a2﹣4a+b2﹣10b+29=0，求a2b+ab2的值（2）先化简，再求值：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x﹣1）2，其中．【考点】整式的混合运算—化简求值；因式分解的应用．【分析】（1）首先把代数式利用完全平方公式因式分解，进一步求得a、b的数值，进一步代入求得答案即可；（2）利用完全平方公式、平方差公式和整式的乘法计算，合并后代入求得数值即可．【解答】解：（1）∵a2﹣4a+b2﹣10b+29=0，∴（a﹣2）2+（b﹣5）2=0，∴a﹣2=0，b﹣5=0，解得：a=2，b=5，a2b+ab2=4×5+2×25=70；（2）原式=9x2﹣4﹣5x2+5x﹣4x2+4x﹣1=9x﹣5，当时，原式=﹣3﹣5=﹣8．四、解答题（本大题共2答题，18题4分，19题6分，共10分）18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）作出△ABC关于y轴对称的△ABlCl；（2）点P在x轴上，且点P到点B与点C的距离之和最小，直接写出点P的坐标为（﹣，0）．【考点】作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题．【分析】（1）根据网格结构找出点B、C关于y轴的对称点Bl、Cl的位置，然后顺次连接即可；（2）找出点C关于x轴的对称点C′，连接BC′与x轴的交点即为所求的点P，根据对称性写出点C′的坐标，再根据点B、C′的坐标求出点P到CC′的距离，然后求出OP的长度，即可得解．【解答】解：（1）△ABC关于y轴对称的△ABlCl如图所示；（2）如图，点P即为所求作的到点B与点C的距离之和最小，点C′的坐标为（﹣1，﹣1），∵点B（﹣2，2），∴点P到CC′的距离为=，∴OP=1+=，点P（﹣，0）．故答案为：（﹣，0）．19．已知x≠1，计算（1+x）（1﹣x）=1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3，（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4．（1）观察以上各式并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1（n为正整数）；（2）根据你的猜想计算：①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=﹣63；②2+22+23+2n=2n+1﹣2（n为正整数）；③（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=x100﹣1；（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a﹣b）（a+b）②（a﹣b）（a2+ab+b2）③（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）【考点】整式的混合运算．【分析】（1）根据题意易得（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1；（2）利用猜想的结论得到①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=1﹣26=1﹣64=﹣63；②先变形2+22+23+24+…+2n=2（1+2+22+23+24+…+2n﹣1）=﹣2（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+2n﹣1），然后利用上述结论写出结果；③先变形得到（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=﹣（1﹣x）（1+x+x2+…+x99），然后利用上述结论写出结果；（3）根据规律易得①（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；②（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；③（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4．【解答】解：（1）（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1；（2）①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=1﹣26=1﹣64=﹣63；②2+22+23+24+…+2n=2（1+2+22+23+24+…+2n﹣1）=﹣2（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+2n﹣1）=﹣2（1﹣2n）=2n+1﹣2；③（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=﹣（1﹣x）（1+x+x2+…+x99）=﹣（1﹣x100）=x100﹣1；（3）①（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；②（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；③（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4．故答案为1﹣xn+1；﹣63；2n+1﹣2；x100﹣1．五、解答题（共3大题，20题5分，21题6分，22题7分，共18分）20．阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠求BC的长．小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．请回答：（1）△BDE是等腰三角形．（2）BC的长为5.8．参考小聪思考问题的方法，解决问题：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD的长．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到AD=DE，∠A=∠DEC，由于∠A=2∠B，推出∠DEC=2∠B，等量代换得到∠B=∠EDB，得到△BDE是等腰三角形；（2）在BA边上取点E，使BE=BC=2，连接DE，得到△DEB≌△DBC，在DA边上取点F，使DF=DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．【解答】解：（1）△BDE是等腰三角形，在△ACD与△ECD中，，∴△ACD≌△ECD，∴AD=DE，∠A=∠DEC，∵∠A=2∠B，∴∠DEC=2∠B，∴∠B=∠EDB，∴△BDE是等腰三角形；（2）BC的长为5.8，∵△ABC中，AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC=∠C=80°，∵BD平分∠B，∴∠1=∠2=40°∠BDC=60°，在BA边上取点E，使BE=BC=2，连接DE，则△DEB≌△DBC，∴∠BED=∠C=80°，∴∠4=60°，∴∠3=60°，在DA边上取点F，使DF=DB，连接FE，则△BDE≌△FDE，∴∠5=∠1=40°，BE=EF=2，∵∠A=20°，∴∠6=20°，∴AF=EF=2，∵BD=DF=2.3，∴AD=BD+BC=4.3．21．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；（3）如图2，若60°＜∠PAB＜120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明．【考点】作图-轴对称变换．【分析】（1）根据题意作出图形；（2）根据题意可得∠DAP=∠BAP=30°，然后根据AB=AC，∠BAC=60°，得出AD=AC，∠DAC=120°，最后根据三角形的内角和公式求解；（3）由线段AB，CE，ED可以构成一个含有60度角的三角形，连接AD，EB，根据对称可得∠EDA=∠EBA，然后证得AD=AC，最后即可得出∠BAC=∠BEC=60°．【解答】解：（1）所作图形如图1所示：（2）连接AD，如图1．∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD=AB，∠DAP=∠BAP=30°，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴AD=AC，∠DAC=12