高数第七章一阶线性微分方程

高数第七章一阶线性微分方程一阶线性微分方程第四节一、一阶线性微分方程二、伯努利方程第2页,共29页，2024年2月25日，星期天一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一、线性方程例如线性的;非线性的.第3页,共29页，2024年2月25日，星期天性质1：性质2：性质3：第4页,共29页，2024年2月25日，星期天性质4：性质5：第5页,共29页，2024年2月25日，星期天齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)第6页,共29页，2024年2月25日，星期天例第7页,共29页，2024年2月25日，星期天2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:第8页,共29页，2024年2月25日，星期天常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:

未知函数的变量代换.作变换第9页,共29页，2024年2月25日，星期天对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动目录上页下页返回结束第10页,共29页，2024年2月25日，星期天第11页,共29页，2024年2月25日，星期天例1.解方程

解:先解即积分得即用常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束第12页,共29页，2024年2月25日，星期天解代入原式分离变量法得所求通解为另解第13页,共29页，2024年2月25日，星期天例2.

求方程的通解.解:注意x,y

同号,由一阶线性方程通解公式

,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量,

y为

自变量的一阶线性方程机动目录上页下页返回结束第14页,共29页，2024年2月25日，星期天解例第15页,共29页，2024年2月25日，星期天例求方程例求方程第16页,共29页，2024年2月25日，星期天这是线性方程吗？是关于函数x=x(y)的一阶线性方程！[解]变形为：第一步:先求解齐次方程齐次方程通解是第17页,共29页，2024年2月25日，星期天第二步:用常数变异法解非齐次方程假设非齐次方程的解为代入方程并计算化简积分得通解第18页,共29页，2024年2月25日，星期天伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.二、伯努利方程解法:

需经过变量代换化为线性微分方程。第19页,共29页，2024年2月25日，星期天求出通解后，将代入即得代入上式第20页,共29页，2024年2月25日，星期天例第21页,共29页，2024年2月25日，星期天例.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:第22页,共29页，2024年2月25日，星期天解例第23页,共29页，2024年2月25日，星期天例

用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为第24页,共29页，2024年2月25日，星期天解分离变量法得所求通解为第25页,共29页，2024年2月25日，星期天思考与练习判别下列方程类型:提示:

可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程第26页,共29页，2024年2月25日，星期天内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程求解.2.伯努利方程第27页,共29页，2024年2月25日，星期天P315