易错拔尖：垂线（解析版）

易错拔尖：垂线（解析版）易错点易错点误认为垂足一定要在线段或射线上而导致错误1．（1）在图①中，过AB外一点M作AB的垂线；（2）在图②中，分别过A，B作OB，OA的垂线．思路引领：（1）利用直角三角板，一条直角边与AB重合，沿AB平移，是另一直角边过M，再沿直角边过M画直线即可；（2）利用直角三角板，延长BO，AO进而作出垂线．解：（1）如图1所示；（2）如图2所示．总结提升：此题主要考查了基本作图，关键是掌握利用直角三角板画垂线的方法．误点警示;误认为垂足一定要在线段或射线上而导致错误拔尖角度角度1利用垂直的定义和周角求角1．已知OA⊥OB，OC⊥OD．（1）如图①，若∠BOC＝50°，求∠AOD的度数；（2）如图②，若∠BOC＝60°，求∠AOD的度数；（3）根据（1）（2）结果猜想∠AOD与∠BOC有怎样的关系？并根据图①说明理由；（4）如图②，若∠BOC：∠AOD＝7：29，求∠COB和∠AOD的度数．思路引领：（1）根据垂线的定义，可得∠AOB与∠COD的度数，根据余角的定义，可得∠AOC，根据角的和差，可得答案；（2）根据角的和差，可得答案；（3）根据角的和差，可得答案；（4）根据按比例分配，可得答案．解：（1）由OA⊥OB，OC⊥OD，得∠AOB＝∠COD＝90°．由余角的定义，得∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣50°＝40°，由角的和差，得∠AOD＝∠AOC+∠COD＝40°+90°＝130°；（2）由OA⊥OB，OC⊥OD，得∠AOB＝∠COD＝90°．由角的和差，得∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°；（3）∠AOD+∠BOC＝180°，∠AOD+∠BOC＝130°+50°＝180°；（4）由角的和差，得∠AOD+∠BOC＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝180°，按比例分配，得∠BOC＝180°×77+29∠AOD＝180°×297+29总结提升：本题考查了垂线，利用角的和差得出∠AOD+∠BOC是解题关键，又利用了按比例分配．角度2利用垂直的定义求角(分类讨论思想)2．（2021秋•贵溪市期末）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是．思路引领：先根据题意可得OC分在AB同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据OC⊥OD与∠AOC＝30°，计算∠BOD的度数．解：当OC、OD在直线AB同侧时，如图：∵OC⊥OD，∠AOC＝30°；∴∠BOD＝180°﹣∠COD﹣∠AOC＝180°﹣90°﹣30°＝60°；当OC、OD在直线AB异侧时，如图：∵OC⊥OD，∠AOC＝30°；∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（∠DOC﹣∠AOC）＝180°﹣（90°﹣30°）＝120°．故答案为：60°或120°．总结提升：解答此类问题时，要注意对不同的情况进行讨论，避免出现漏解．角度3利用垂直的定义、对顶角（或邻补角）的性质求角3．（2021秋•下城区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中∠COE的余角是．（请符合条件的角都写出来）；（2）图中除直角外，还有相等的角，请写出三对；①；②；③．（3）若∠AOF＝3∠COE，求∠COE的度数（请写出解答过程）．思路引领：（1）根据图形及余角的定义可得出答案．（2）根据图形可找出三对相等角．（3）观察图形根据∠AOF＝3∠COE，可知∠AOC＝∠EOC＝∠EOF，由此可得出答案．解：（1）图中∠COE的余角是∠AOC，∠EOF，∠BOD．（请符合条件的角都写出来）；（2）图中除直角外，还有相等的角，请写出三对；①∠AOC＝∠EOF；②∠AOC＝∠BOD；③∠EOF＝∠BOD．（3）∵∠AOF＝3∠COE，∠AOC＝∠EOF，∴∠COE＝∠AOC，∵OE⊥AB，∴∠COE+∠AOC＝90°，∴∠COE＝45°．故∠COE的度数是45°．故答案为：∠AOC，∠EOF，∠BOD；∠AOC＝∠EOF；∠AOC＝∠BOD；∠EOF＝∠BOD．总结提升：本题考查余角和补角的知识，有一定难度，关键是仔细地观察图形，注意不要遗漏满足条件的角．4．（2017春•硚口区期中）如图，AB交CD于O，OE⊥AB．（1）若∠EOD＝20°，求∠AOC的度数；（2）若∠AOC：∠BOC＝1：2，求∠EOD的度数．思路引领：（1）利用垂直的定义，∠AOE＝90°，即可得出结果；（2）利用邻补角的定义，解得∠AOC＝60°，有对顶角的定义，得∠BOD＝60°，解得∠EOD．解：（1）∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠EOD＝20°，∴∠AOC＝180°﹣90°﹣20°＝70°；（2）设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴x+2x＝180°，解得：x＝60°，∴∠AOC＝60°，∴∠BOD＝60°，∴∠EOD＝180°﹣90°﹣60°＝30°．总结提升：本题主要考查了垂直的定义，邻补角的定义，对顶角的性质，熟练掌握垂直的定义，邻补角的定义是解决此题的关键．角度4利用垂线的作法探究两角关系（验证法）5．（2014春•普陀区校级期末）（1）在图1中以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．（2）量一量∠P和∠1的度数，它们之间的数量关系是．（3）同样在图2和图3中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直，分别写出图2和图3中∠P和∠1的之间数量关系．（不要求写出理由）图2：图3：（4）由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角．（不要求写出理由）思路引领：（1）过点P作∠1两边的垂线段即可，（2）从图形中得出∠P+∠1＝180°，（3）分别作图得出角的关系．（4）由上面的情况得出结论．解：（1）如图1，（2）∠P+∠1＝180°，故答案为：∠