高等数学教案第三章

高等数学教学教案第三章一元函数积分学及其应用授课序号01教学基本指标教学课题第三章第一节不定积分的概念与性质课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点原函数，不定积分概念，不定积分性质教学难点原函数存在性参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式。教学基本内容一、基本概念：1、原函数已知是定义在某区间内的函数，若存在函数，使得或者,，则称为区间上的原函数.2、不定积分在区间上,函数的带有任意常数项的原函数称为在区间上的不定积分,记作，即，其中符号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，是的一个原函数.二、定理与性质：基本积分公式(1)；(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12);(13);(14).性质1(积分与微分关系)设函数及的原函数存在，则（1）；（2）.性质2（线性运算）设函数及的原函数存在，则，其中为任意常数.三、主要例题：例1设和均连续，问与是否相等?例2求.例3求（即）.例4求.例5设曲线通过点，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的平方，求此曲线的方程.例6求下列不定积分:(1)；(2)；（3）;（4）;（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.例7已知求满足条件的函数.授课序号02教学基本指标教学课题第三章第二节不定积分的换元法与分部法课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点不定积分第一换元法，分部积分法教学难点第二换元法参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求掌握不定积分的换元法和分部积分法。教学基本内容一、基本概念：1、第一类换元法的关键是：在求时,如何将化为的形式.其具体作法可按如下步骤进行：（1）变换积分形式（或称凑微分），即；（2）作变量代换，有；（3）利用常用的积分公式求出的原函数，即得,从而；（4）回到原来的变量，将代入即得.2、如果在积分中，令，且可导，，则有若上式右端易求出原函数，则得第二换元积分公式，其中为的反函数，即.其具体作法可按如下步骤进行.(1)变换积分形式，即直接或间接地令，且保证可导及，于是有；（2）求出的原函数，即得，从而；（3）回到原来变量，即由解出，从而得所求的积分3、分部积分法是针对解决某些被积函数是两类不同函数乘积的不定积分，它是由两个函数的乘积的微分运算法则推得的一种求积分的基本方法.若具有连续导数，则，即.两边积分，得，即.也可写作.二、定理与性质：定理1设具有原函数，可导，则是的原函数，有换元公式.定理2设是单调的可导的函数，且，又具有原函数，则是的原函数，即有换元公式.三、主要例题：例1求.例2求不定积分.例3求不定积分：(1);(2).例4求（1）;（2）.例5求下列不定积分:(1);(2)例6求(1)；(2).例7求.例8求不定积分例9求下列不定积分:(1)(2)例10求.例11求不定积分.例12求(1)；(2).例13(1)；(2)；(3)；(4).例14求(1)；(2).例15求(1);(2);例16求.例17求.*例18求.例19求不定积分例20求（1）；（2）.例21求.例22求下列积分（1）；（2）.例23求（1）；（2）.例24求（1）；（2）.例25求.*例26求（1）；（2）.例27求.例28求不定积分.授课序号03教学基本指标教学课题第三章第三节几种特殊类型的不定积分课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点有理函数分解式教学难点有理三角式变换参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求会求简单的有理函数的积分。教学基本内容一、基本概念：1、有理函数：有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下形式的函数：,，.2、真分式：假设多项式之间没有公因子，且的次数小于的次数，这时称该有理函数为真分式，而的次数大于或等于的次数时称该有理函数为假分式.3、最简分式：下列四类分式称为最简分式,其中为大于等于2的正整数,、、、、、均为常数,且为二次质因式.(1)；(2)；(3)；(4).二、定理与性质：三、主要例题：例1把分式分解为最简分式之和.例2把分式分解为最简分式之和.例3分解有理分式.例4求.例5求.例6求.例7求例8求不定积分例9求不定积分.例10求.例11求.例12求.授课序号04教学基本指标教学课题第三章第四节定积分的概念与性质课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点定积分几何意义，定积分性质教学难点定积分定义参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解定积分的概念及性质，了解可积条件。教学基本内容一、基本概念：1、定积分设函数在上有界，在区间上任意插入个点，则有，得到个小区间,,…,,…,，对应的区间长度分别为、、…、、…、，记，在每一个小区间上任取一点，作和，如果不论分法如何，如何选取，总有（为常数），则称为在上的定积分（简称积分），记作.即.其中，称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分区间，，分别称为积分的下限和上限，为被积函数，为被积表达式二、定理与性质：定理1若函数在上连续，则在上可积.（连续可积）定理2若函数在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积.注若函数在上可积，则在上有界.1、上下限性质：在定义中规定，这一限制，对定积分的应用带来不便，因此我们规定：（1）；（2）设，则.2、被积函数性质：（1）若在上可积，则在上也可积；（即存在，则也存在）（2）若在上可积，则在上的任何子区间上也可积。（即存在，则也存在，其中）（3）.3、线性性质：若、均存在，则也存在，且，其中是常数.4、区间的有限可加性：.只要，，均存在，无论、、所对应的位置如何，上式恒成立.5、保序性:设，，且、均存在，则.推论1设，，且均存在，则；推论2.6、估值性质：设，，则.7、积分中值定理：设函数在上连续，则至少存在一点，使.三、主要例题：*例1利用定积分的定义，计算定积分.例2由定积分的几何意义，求*例3利用定积分表示极限例4不计算积分，试比较下面两个积分的大小：与.例5比较积分值和的大小.例6估计积分的值.例7试求在区间上满足积分中值定理的的值.授课序号05教学基本指标教学课题第三章第五节微积分基本定理课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点积分上限函数的导数牛顿莱布尼兹公式教学难点积分上限函数参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理。掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。教学基本内容一、基本概念：1、设函数在区间内连续，为上的任意一点(见图（1）)，则积分存在，故为上变量的函数，称为的积分上限的函数.同理也是的函数，称为的积分下限的函数.二、定理与性质：定理1若函数在上连续，则在上可导，且.定理2若函数在上连续，则是在上的一个原函数,即，.推论若函数在上连续，，，,在上可导，则.定理3（牛顿—莱布尼兹公式）若函数是连续函数在上的一个原函数，则.三、主要例题：例1求.例2求.例3求下列函数的导数：（1）；（2）.例4设是连续函数,试求以下函数的导数：(1);(2).例5设函数由方程所确定.求例6求.例7求定积分.例8求例9设求例10计算例11求定积分.例12求例13计算由曲线在之间及轴所围成的图形的面积.例14汽车以每小时36km速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度刹车.问从开始刹车到停车,汽车驶过了多少距离?*例15求极限.授课序号06教学基本指标教学课题第三章第六节定积分的换元法和分部法课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点定积分的换元法，分部积分法教学难点定积分的换元参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求掌握定积分的换元法和分部积分法。教学基本内容一、基本概念：二、定理与性质：1、定积分换元法：定理1设（1）函数在上连续；（2）在或上单调且具有连续导数且；（3）在或上变化时，在上变化，且，，则.2、定积分分部积分法：设函数在区间上具有连续导数，由于，即，因此，即或.称上式为定积分的分部积分公式.三、主要例题：例1计算.例2求定积分.例3求定积分.例4求定积分.例5求.例6求.例7当在上连续,则（1）若是区间上的连续且为奇函数，则；（2）若是区间上的连续且为偶函数，则;（3）若（即是以为周期的周期函数），则或;（4）;（5）;（6）.例8计算.例9计算例10计算例11求.例12计算.例13求.例14求.例15求.例16计算.*例17导出(为非负整数)的递推公式，并计算授课序号07教学基本指标教学课题第三章第七节定积分的几何与物理应用课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点图形面积，旋转体体积，已知截面积的立体体积教学难点物理应用参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功等)的方法。教学基本内容一、基本概念：1、由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，称为旋转体.2、设为曲线弧上的两个端点，任取分点，并依次连接相邻分点得内接折线（见图（31）），其长度为.当分点无限增多时，和式的极限存在，则称此极限为曲线弧的弧长.二、定理与性质：1、由曲线，直线及轴所围成的平面图形的面积为.2、设由曲线及，围成一图形（简称为曲边扇形），这里在上连续，且.3、面图形由曲线，直线，及轴所围成，为绕轴旋转一周而成的立体，故旋转体体积为.4、定理光滑曲线弧是可求长的.5、设函数具有一阶连续导数，曲线弧由给出，所求弧长为.由，要求.6、设曲线弧由参数方程给出，其中在上具有连续导数.由弧微分可知，因此.注由，要求.7、设曲线弧由极坐标方程给出，其中在上具有连续导数.由弧微分可知，因此.注由，要求.三、主要例题：例1求椭圆的面积.例2求由两条曲线和（）围成的平面图形的面积.例3求抛物线与直线所围成的平面图形的面积.例4计算阿基米德螺线上相应于从到的一段弧与极轴所围成的图形的面积.例5计算心形线所围成的图形的面积.例6计算由双纽线所围成的区域的面积.例7求椭圆分别绕轴与轴旋转而得的旋转体的体积.例8求星行线(见图（24）)绕轴旋构成旋转体的体积.例9求曲线,所围成的图形(见图（25）)绕轴旋转构成旋转体的体积.例10求由摆线的一拱，轴所围的图形(见图（26）)分别绕轴、轴旋转一周而成的旋转体的体积.例11一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心并与底面交成角（见图（29）)，计算这平面截圆柱体所得的立体的体积.例12求，两柱面所围立体的体积.例13求曲线上相应于从到的一段弧的长度.例14求圆的周长.例15求星形线的全长.例16求摆线一拱的弧长.例17计算阿基米德螺线上相应于从到一段的弧长.例18求心形线的全长.例19设40N的力使弹簧从自然长度10cm拉长成15cm,问需要作多大的功才能克服弹性恢复力,将伸长的弹簧从15cm处再拉长3cm?例20设有一直径为20m的半球形水池,池内贮满水,若要把水抽尽,问至少作多少功.例21一个三角形薄板铅直地沉浸在水中，底在上且与水面相接，底边长为，高为，求薄板每侧所受的压力（设水的比重为）.授课序号08教学基本指标教学课题第三章第八节反常积分课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多