考研数学高等数学公式总汇手册

考研高等数学公式手册补充完整版

一些初等函数：两个重要极限:

X_-X「sinx1

双曲正弦:shx=---------hm-----=I

2

双曲余弦:chx=lim(l+-Y=e=2Jl8281828459045...

2*T8X

双曲正切：如=四=史士

chxe+e

arshx=ln(x+Vx2+1)

archx-±ln(x+Vx2-1)

三角函数公式:

•诱导公式：

、^数

sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

l80°-asina-cosa-tga-ctga

l80°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

3600-a-sinacosa-tga-ctga

3600+asinacosatgactga

•和差角公式：•和差化积公式：

aa

sin(a±j0)=sinacos(3±cosasin(3sina+sin(3=2sin^^cos

cos(a±77)=cosacos〃干sinasinJ3

•.々c

sina—sinI=2cos-a--+-P-s-in.a...-..B-

22

l+tga-tgj3々ca+0a-p

cosa+cosp=2cos-cos―

,,0、ctga-ctgB+\

ctg(a±/3)=6c—

ctg/3±ctga.OL-\-B.a—B

cosa-cosB=2sin-------sin-------

"22

•倍角公式:

sin2。=2sinacosa

cos2a=2cos2a-\=l-2sin2a=cos2a-sm1asin3a=3sina-4sin3a

3

ctg~a-1cos3a=4cosa-3cosa

ctgla

letga*二3tga-tg3a

tg3a=------°—

2tga\-3tg2a

tg2a

l-fg2a

sina

1-COS6Z

•余弦定理：c2=a2+h2-2ahcosC

sinAsinBsinC

71

•反三角函数性质sarcsinx=-----arccosxarctgx=y-arcctgx

导数公式：

基本积分表：

(tgx)f=sec2x(arcsin犬)'—―/.

Vl-x2

(ctgx\=-esc2x

1

(secxy=secx-tgx(arccosx),

(escx)'=-escx•etgx

1

(arctgxY

(axy=axlna1+x2

(log“x)'=-/—1

(arcctgxY2

xma'~l+x

^tgxdx=-ln|cosx|+C*=[sec2xdx=tgx+C

cosx'

^ctgxdx=ln|sinx|+C

1

dxf2」「

——；-=escxdx=-etgx+C

jsecxdx=ln|secx+fgx|+Csinx」

Jsecx-ZgAz/x=

Jcscxdx=ln|cscx-cfgx|+Cseex+C

rdx1X

122=—arctg—+C

JQ+厂aaa*dx=^—+C

dx1,\x-a\》\na

-T——7=—In----+C

x-a2a\x+a\shxdx=chx+C

dx1.a+x-

-3——r=——In----+Cchxdx=shx+C

a-x2aa-x

=ln(x4-Vx2±a2)+C

~2

,lxdx=Jeos"xdx

一ln-2

0n

2_________

jVP-+a2dx=3dx2+力+]ln(x+J/+〃2)+Q

j7x2-a2dx-yyjx2-a2-1nx+^x2-a2+C

___________2

[yla2-x2dx=--x2+—arcsin—+C

J22a

三角函数的有理式积分:

2〃1—u~X2du

sinx=----5,cosx=----rdx=

1+〃~1+W~1+〃2

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式:

n

出严=之。”1)心)

k=0

M

=uv+nw(w-1)v,+“(〃T)”("-2)/+…+〃(〃l)...(〃J+l)“("d)y“)+…+/”)

2!k\

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f'^)(b-a)

以b)-f(a)

柯西中值定理:/w

F(b)-F(a)FC)

当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds=J1+其中y'=tga

平均曲率去=A4.Aa:从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；As：MAT弧长。

△s

〃1.Nada

M点的曲率:K=lim---l/l

加T。NSds7(i+/2)3

直线：K=O;

半径为a的圆：K=—.

a

定积分的近似计算:

b,_

矩形法:]7(x)b—^(%+弘+…+)

a

梯形法：j/(x)X匕，*0+y“)+必+...+y“J

a〃2

b卜_

抛物线法:]/(x)a--^[(y0+y„)+2(为+%+…+y„_2)+4(必+%+…+y,,.,)]

J3〃

定积分应用相关公式:

功：W=Fs

水压力：F=p-A

引力：F=k号,k为引力系数

r

函数的平均值:y=」一\f(x)dx

b-aJ

均方根:

1土1产⑴出

空间解析几何和向量代数:

空间2点的距离：d=W1M2I=/（》2一4）2+（乃一）\）2+口2—71）2

向量在轴上的投影:Pr/“而=|祠・cos。,混通与〃轴的夹角。

Prj“(4+方2)=Pr网+Prja2

a-b=\a\-\b\cos0=ab+ab+ab,是一个数量,

II||人人/tx)44

ab4-ab+生久

两向量之间的夹角:COS。=xxyy

』a：+a；+a；•旧+b、2+b；

iJk

c=axb=axax&,同=|司卡卜皿夕例：线速度：v=wxr.

么hbz

axay%

向量的混合积:[G词=mxB）]=瓦bya=,x斗同cosa,a为锐角时,

%J%

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式：A(x—x0)+8(y-y°)+C(z—z0)=0,其中而={4,8«},“。(与,先,2。)

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0

3、截距世方程—+工+三=1

abc

平面外任意一点到该平面的距离：JAX+为。+02。+。|

^A2+B2+C2

x=xQ+mt

空间直线的方程:士E==三包=/,其中<={加,〃,p};参数方程:>=%+〃，

mnp

[z=zn+pt

二次曲面：

222

1、椭球面:「+=+、=1

a2b2c2

22

2、抛物面:工+2-=z,（p,q同号）

2P2q

3、双曲面：

222

单叶双曲面:三+3=1

a~b~c

222

双叶双曲面:与-2+0=1（马鞍面）

ab~c

多元函数微分法及应用

全微分：dz=­dx+—dydu=-dx+—dy+—dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：AzQdz=/v(x,y)Ax+fy(x,>)△),

多元复合函数的求导法：

dzdudzdv

z=f[u(t),v(t)]

~dtdtdvdt

dzdu+dzdv

z=f[u(x,y),v(x,y)]

dudxdvdx

当〃="(x,y),n=n(x,y)时,

,du,du,dv=^dx^dy

du=——ax+—dy+

dxdydxdy

隐函数的求导公式:

隐函数F(x,y)=0,2=—里,吗=e(一区)+4一里)也

dxFydx~dxFydyFydx

次_Fy

隐函数尸(x,y,z)=0，寸一E

dxFz

dFdF

F(x,y,u,v)^0r_3(尸,G)_Q®

隐函数方程组:U

G(x,y,M,v)=05(w,v)3GdG

dudv

包

Ld(F,G)型ia(F,c)

&--

Ta(x,v)&Jd(u,x)

aw¥1d(F,G)1d(F,G)

-av¥---

\J3\

^

a(z7

微分法在几何上的应用：

x=(p(t)

空间曲线y=Hf)在点M(x°,y°,z。)处的切线方程:汽与夬=与至

(,、94)〃&)口&)

z=co(t)

在点M处的法平面方程:)(x-x0)+y//(t0)(y-%)+a)'(t0)(z-zo)=O

若空间曲线方程为:则切向量了={+。/F,4A

G*'G、

G(x,y,z)=OG.v(J,GG,

曲面尸(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：

1、过此点的法向量：万={产、.(%,%,20)，4(》0，儿)，70)，工(乙,为〃0)}

2、过此点的切平面方程:Fr(Xo，yo，Zo)(x—x())+f'v(x(),y(),Zo)(y-yo)+FN(x(),yo，Zo)(z-Zo)=0

z-z()

3、过此点的法线方程:・“一飞y-y。

工(Xo，yo，z。)工(/，打，。)Fz(x0,y0,z0)

方向导数与梯度：

函数z=/(x,y)在…点p(x,y)沿任一方向/的方向导数为：g=gcos°+gsin夕

dloxdy

其中夕为x轴到方向/的转角。

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gra"(x,y)=gi+

oxdy

它与方向导数的关系是:更=grad/(x,))。，其中O=cosei+sine•亍，为/方向上的

dl

单位向量。

更是gra(V'(x,y)在/上的投影。

dl

多元函数的极值及其求法：

设/式/,%)=/(%0，〉0)=0,令:人(/，%)==/£/，%)==fyy(x0,y0)=C

AC-l>o时，A<°"。,九)鳖鬻

A>0,(%,y0)为极小值

则：<AC-1<0时，无极值

AC-82=0时，不确定

重积分及其应用:

[x,y)dxdy=^f(rcos0,rsin0)rdrd0

DD'

\\xp(x,y)da\\yp{x,y)dcy

平面薄片的重心：5="=47---------,D________________

M^p(x,y)dcyMJJo(x,y)db

DD

平面薄片的转动惯量：对于x轴/<=Jb2P(x,y)d(T,对于y轴/v=JkpGyMb

DD

平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点用(0。“),3>0)的引力：F={F,,Fy,FJ,其中:

Fp(x,y)xdajJJ-WR,理=_%卜巫必告

2222222D2222

D(x+y+a)°(x+y+ay(x+y+a)

柱面坐标和球面坐标:

x=rcosd

柱面坐标:vy=rsin。,y,z)dxdydz=川产(厂,仇z)rdrdOdz,

z=z

其中：dz)=/(rcosarsine,z)

x=rsin^cos^

球面坐标:vy=rsin0sin6,dv=rd(p-rsin(p-dO-dr=r2sm(pdrd(pdO

z=rcos(p

2乃Kr®8)

||j/(x,y,z)dxdydz=^F(r,(p,0)r'sm(pdrd(pd0=^dO^d(p^F(r,(p,0)r2smqxlr

CC000

重心：元啊血其中M=x=\\\pdv

Q

222

转动惯量：ix=\\\{y+z)pdv,Iy=川(/+z)pdv,L=川，+/)心

CQc

曲线积分:

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

町（x,y）在L上连续，L的参数方程为\X=9（2则:

J=/«）

『(X,y)ds=]7[夕。)”(加夕"。)+，2。)武(a</3)特殊情况:，、

LaU=叭t）

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：

设L的参数方程为r=“")，则：

y="(f)

P

Jp(x,y)dx+Q(x,y)dy=J{P[p(f),"«)]夕'(。+。[9(f),“(，)]/«)}小

La

两类曲线积分之间的关系:]Pdx+Q/y=J(Pcosa+Qcos〃)ds,其中仁和£分别为

LL

L上积分起止点处切向量的方向角。

格林公式:--^)dxdy=JPdx+Qdy格林公式:JJ(肾-^-)dxdy=寸Pdx+Qdy

当尸=—)，,Q=x,即:义_2=2时，得到。的面积：AJJdxdy=，jxdy-ydx

dxdyD2£

•平面上曲线积分与路径无关的条件：

1、G是一个单连通区域；

且义=2。注意奇点，如(0,0),应

2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,

dxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

・二元函数的全微分求积:

在学="时，Pdx+0dy才是二元函数〃(x,y)的全微分，其中:

dxdy

(x,y)

M(x,y)=|P(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设/=知=0。

(而,九)

曲面积分：

对面积的曲面积分：jjy(x,y,z)ds=JJf[x,y,z(x,y)]Jl+z：(x,y)+z；(x,y)dxdy

工D„

对坐标的曲面积分:JJp(x,y,z)d_ydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

JJR(X,y,z)dxdy=土JJ&x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号；

E%.

||p(x,y,z)dydz=±y,z),y,zydydz，取曲面的前侧时取正号；

xo,：

\\Qkx,y,z)dzdx=±J]。0,y(Z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。

%

两类曲面积分之间的关系：JJpdydz+Qdzdx+Rdxdy-JJ(Pcosa+Qcos/7+Rcosy'ds

£

高斯公式:

+=^Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=可(Pcosa+Qcos/3+Rcosy)ds

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度…丘啜+十||班单位体积内所产生的流体质量，

若div丘＜0,则为消失…

通量：，口•五ds=JJA〃"S=jj(Pcosa+2cos(3+Rcosy)ds,

zzs

因此，高斯公式又可写成:JJJdivXdn=gA,ds

Z

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:

ff/RdQ.»,,dPdR、」,,dQdP、」,r,»

)dydz+(---------}dzdx+(----------)dxdy=dPndx+Qdy+RndJz

J

!临一莅dzdxdxdyr

dydzdzdxdxdycosacospcos/

上式左端又可写成〒£ddddd

dzSydz

PQRQR

空间曲线积分与路径无关的条件:等=绘,dRdQdP

dydzdxdxdy

ijk

esA

旋

一

一-&

力

apxQR

向量场X沿有向闭曲线「的环流量:寸Pdx+Qdy+/?〃=0，•tds

rr

常数项级数：

等比数列：l+q+/+…+/i=~

i-q

等差数列：1+2+3+…+”=如也

2

调和级数:1+1+!■!--b,是发散的

23n

级数审敛法:

1、正项级数的审敛法—根植审敛法(柯西判别法)：

2<1时，级数收敛

设：/7=1117157，则<P>1时，级数发散

2=1时，不确定

2、比值审敛法：

「<1时，级数收敛

设：p=贝小夕〉1时，级数发散

“f8U

"[0=1时，不确定

3、定义法：

s“="1+〃2+…+”“；lims”存在，则收敛；否则发散。

“f8

交错级数〃I-“2+%-孙+…(或-/+W2-M3+•••,«„>0)的审敛法----莱布尼兹定理：

如果交错级数满足]10,那么级数收敛且其和s4%,其余项，“的绝对值匕区％铲

>00

绝对收敛与条件收敛：

(1)«)+W24---l-MnH--,其中〃“为任意实数；

(2)|W1|+|M2|+|W3|+--+|W„|+--

如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数;

如果(2)发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。

调和级数:发散，而2野1攵敛；

级数》3收敛;

n

〃级数：2十P41时发散

p>1时收敛

幕级数:

23„/凶<1时，收敛于」一

1+尤+X~+%+•••+•¥+•••(1—X

\|x|N1时，发散

对于级数(3)劭+…+a.x"+…，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

/|x|<R时收敛

数轴上都收敛，则必存在R,使(|x|>R时发散，其中R称为收敛半径。

\凶=R时不定

Ip丰0时，/?=—

求收敛半径的方法：设1皿色出=P，其中。“，a.是(3)的系数，则(2=0时，R=+8

〃\P=+°°时，R=0

函数展开成幕级数：

2

函数展开成泰勒级数：〃x)=f(x0Xx-x0)+^^(x-x0)+---+^^(x-x0y+■■-

2!〃！

余项：&=223。一元0)向J(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim&=0

5+1)!28

x0=0时即为麦克劳林公式：/(x)=/(0)+/(0)x+/也/+…+/221/，+…

2!n\

一些函数展开成幕级数：

△、机1机(加一1)团(团一1>・・(加一〃+1)〃/in

(1+x)=l+mx+-----x-2+•••+-----------------%+・・・(-1<X<1)

2!〃！

-v5产-1

sinx=x---+------+(-1)“7-------+(-co<x<+00)

3!5!(2/1-1)!

欧拉公式:

cosx=

elx=cosx+zsinx或，

sinx=

三角级数:

00

于。)=A)+ZA.sin(〃初+。“)+Z(%cosnx+bsinnx)

一2n

M=l〃=i

其中,a0=aA0,an=Ansin(pn,bn=Ancos/,cot=x。

正交性：l,sinx,cosx,sin2x,cos2x--sinnx,cos〃x…任意两个不同项的乘积在［-肛左］

上的积分=0。

傅立叶级数:

/(x)=—+(aflcosnx+bnsinnxy周期=21

2n=l

万2

=相加）

6

=片（相减）

12

n=1,2,3,--/(x)=X".sin〃x是奇函数

〃=0,1,2…/(x)="^+WXcos〃工是偶函数

周期为2/的周期函数的傅立叶级数:

/(x)=++£3,cos竿+hnsin竿)，周期=2/

2〃=iII

an=-^f(x)cos^^-dx(n-0,1,2•••)

其中；I

2=7J7(x)sin早dx(〃=1,2,3…)

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y'=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy=/(x)dx的形式，解法：

Jg(y)dy=J/(x)dx得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分方程可以写成立=/(x,y)=o(x,y),即写成上的函数，解法：

dxx

设“=),则包="+x@，〃+@£=夕(“),...@=~_分离变量，积分后将工代替”,

xdxdxdxx(p(u)-ux

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程:

1、一阶线性微分方程:生+P(x)y=Q(x)

dx

/当。(x)=0时,为齐次方程,y=Ce4'""

［当。(X)H0时，为非齐次方程，y=(jQ(x)J°"dx+C)e」w

2、贝努力方程:包+1(x)y=Q(x)y",(〃#0,l)

ax

全微分方程：

如果尸(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程,即：

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中:*=P(x,y)金=0(x,y)

dxdy

：.u(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

/(X)三0时为齐次

小+Q(x)y=/(x),「

dx“/(X)H0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y"+py'+qy=0,其中p,q为常数；

求解步骤：

1、写出特征方程:(4)产+〃r+4=0,其中/"2,厂的系数及常数项恰好是(*)式中的系数;

2、求出(A)式的两个根八

3、根据乙,，2的不同情况，按下表写出(*)式的通解:

(*)式的通解

八，々的形式

rxr2X

两个不相等实根(p2—4q>0)y=c[e'+c2e

rx

两个相等实根(p2—4q=0)y=(q+c2x)e'

ax

对共朝复根(p2—4q<0)y=e(cicos/?r+c2sinJ3x)

r、=a+i/3,r2=a-i/3

P”14q_p2

22

二阶常系数非齐次线性微分方程

y"+py'+qy=f(x),为常数

/(x)=e*,(x)型，4为常数；

f(x)=(x)cosa>x+Pn(x)sin5］型

多元函数的极值及其求法：，

设A(工0、了0)=力(工°、尢)=6令：加(X0、尢)=4型(工0,1yo)=B,fyj)(x0,.y0)=C

AC-52：，0时」40,(林兀)为极大值

|/>0、(~.兀)为极小值

贝小［2。一］<0时，无极值

月。-召2=0时不确定

7.多维随机变量及其分布，

二维随机变量(X,?)的分布函数〃

F(x,y)=『血血，

边域分布函数与边^密度函数。

取(幻=「C73,y)的或一

♦-8—-8

A(x)=「f(x,v)dv^

.-<0

耳。)=:「f@y)du*

C-8J-8

RO

重积分及其应用：C

<•«<•<•

Hf(x.y)dxdy=11f(rcos6.rsiii&)rdrd6

••♦♦

DQ'

曲面z=/(x、y)的面税4=||J1+—+—dxdy

%Vl眦\^)

•«>•<•

“X"(x、y)dbM||y"(xu)db

平面薄片的重心：元=旦='----------、==i---------------

M11p(x.y)d<jM||p(x.y)db

♦♦•♦

DD

平面薄片的转动惯量：对于5c轴I*=||y2"(x.y)dcr、对于y轴=||/"(匕7)修<7

6*0

平面薄片(位于My平面)对z轴上质点M(00、。(&>0)的引力：F=(F*耳黑》其中:

玛=川_上至吗，fjjp(")"bF=-fajj-(x,，)xdb

?(x"+a>D(x2+y2+a2yD(x2+72+a2)2

S.连续型二维随机变量，

(1)区域G上的均匀分布，U(Gy

/3,了)=仁，~

0,其他

(2)二维正态分布。

柱面坐标和球面坐标：P

\x=rcosS

柱面坐标jy=rsine,jjjf(x.y、z心力龙=jjj尸(r&z)rdrd曲、

[z=zQQ

其中:尸(r*az)=f(rcos8*rsin8、z)

lx=rsiiicos

球面坐标=rsiiisiiidv=rd(p-rsin(p-dd-dr=r2siii(pdrd(pd6

[z=rcos^p

2万ir,9夕)

I\\f(^.-y^z)dx,dydz=111F{r,(p,6)rsh\(jxlrd(jcd&=|d&\dtp|F(r**、6)r，in//r

k»*****•>•>

GG000

2=2

重心：工=上/卜8叭y=3HTy胸'??\\\^其中=x=用加

••♦

M・《MRMRG

转动惯量：<=HI(/+z2)Q?V,Z=III(x2+z2'jpdv,4=HlV+/)^v

♦•♦*JJJ

QG

9.二维随机变量的条件分布"

y）=87z

人n。恸fx3>0

fx(x)=|f(x,y)dy=\f\(x|7)A

.—CO.-8ImxY

=

f^Cf(x,y)dx=Qf^x(y\c)fx(^)dx

/(3)

后式力）

人。）方。）

_5力)网)

iA(x)

fx8

曲线积分：，

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

X=g?(t)、r“

匆他丁）在E上连续，£的参数方程为qX(&£££产)、贝1」：

lr=w©

£___________x=t

jf(x、y)ds=|*/{尹0)、必力)]也/2(1)+“20)成(a<£)特殊情况

£；^J=*R)

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):

设£的参数方程为卜=0⑹，则：

IP(x.y)dx+Q(x,y)dy=|｛尸[00#0)如0)+090),30)[“0)9

♦♦

La

两类曲线积分之间的关系：|在么+20=|(户cosa+0cos0ds,其中°和产分别为

£1

E上积分起止点处切向量的方向角。

格林公式：||(吆_竺)必0=,尸心+2分格林公式：||(型_氏)由；0=f+Q^y

3at必Lw&妙i

当尸=-y、Q=x,即:一竺=2时，得到D的面积：幺=11£&:的=Ljx。一产自

私勿721

平面上曲线积分与路包关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、P(x.y),0(x,y)在G内具有一阶连续偏导物且眩=竺。注意奇点，姐00),应

dxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

•二元函数的全微分求积：

在孚=当时，加+。0才是二元函飙(AX)的全微分，其中：

oteay

(")

w(x，7)=I2(x、/心+Q(x,y)dy,通常设x。=汽=0。

aJ)

曲面积分：~

对面积的曲面积分：||f(x、y,z)ds=||、z(x,y)m+z；(x、y)+z；(x、y)dxdy

*£D'

对坐标的曲面积分：||P(x,y.z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

♦♦

z

||R(x,y、z)必c办=±||A(x、『,z(X"了)心力>取曲面的上侧时取正号；

♦♦♦♦

z4

||P(x.y.z)dydz=±||I\x(y,z}iydz>取曲面的前侧时取正号；

♦，»*

Z%

IIQ(x,y,z)dzdx=±||0[x,y(z,x)、zHzaM取曲面的右侧时取正号。

»***

Z，，

两类曲面积分之间的关系：||Pdydz+Qdzdx+Rdxdy(Pcosa+Qcos^+Rcosy)ds

••=•1»1

zz

10.随机变量的数字特征P

数学期望，

+00

队X)=£AP”

Jt-1

E(X)=JI-8xf(x)dx^

随机变量函数的数学期望。

X的方阶原点矩"

EQX一

X的方阶绝对原点矩，

跃X|，》

天的上阶中心矩"

£((X-

X的方差，

E《X-E(X4)=MX”

X：Y的k-1阶混合原点矩，

£(x'y”

X,Y的k-1阶混合中心矩p

时X-E(xy)k(x-E(yyf।

不，『的二阶混合原点矩

队XY)

X,Y的二阶混合中心矩X.F的协方差

E^X-E(xy)(x-E(yy)\

x,y的相关系数

」(X-£(X)XF-%)))_c

X的方差

D(JQ=£((^-£(A))2)

D{X')=E(X2')-E\X')

协方差

c瓯x,y)=®(x-£(z))(r-£(y))i

=£(灯)-£(X)£(F)

=±；IZ)(X±y)-D(X)-£»(F)I

相关系数

co。,一

Pw={D而扁)

线性代数部分

梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。

沟通：突出各部分内容间的联系。

充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。

大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。

但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。

基本运算

①/+8=8+4

③+C=2+归+CI

④A+B\=cA+cB^c+d^A=cA+dA

⑤ci必i=icdu4

⑥c?l=00c=0或工=0。

⑷『=a

M士=Ar+Br

ycA-=c\Ar*o

i湎r=8rH

Ti附।附一1)・“21l=C：=""1'

x2

口=%/H+。2242■*^a2n-^ln

转置值不变，卜M|

逆11国卜自

盟