2021年上半年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》(初级中学)真题

2021年上半年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》(初级中学)

真题

1［单选题］(江南博哥)单选题在空间直角坐标系下，直线

x-2r-11二+1

丁二一1=丁与平面3x-2y-z+15=0的位置关系是()

A.相交且垂直

B.相交不垂直

C.平行

D.直线在平面上

正确答案：D

参考解析：

本题考查空间直线与平面的位置关系。由题可知，直线的方向向量为n=(3,4,1),平面的法向量

为m=(3,-2,-1)E^n.m=3x3+4*(-2)+1*(-1)=0,所源哪方向向量与平面的法向垂直。

、=3+2

x-1v-11:+1［3+11

设鼓靡为，-।，则代入平的程中，可得酸在平面上

故本题选D。

2［单选题］使得函数”一致连续的x取值范围是()

A.(0.1)

B.(0.1］

3jL-

C.

D.(-°0,+8)

正确答案：C

参考解析：

本题考查闭区间上连续函数的性质。根据一致连续性定理,如果函数在闭区间［南上遛娜么

V1U二J

尔)=-［3］［2

它在该区间上一致连续。可知，使得函数,'一致连续的x的取值范围,「故

本艇以

3［单选题］单选题方程+6、-4=0的整数解的个数是()

A.0

B.1

C.2

D.3

正确答案：C

参考解析:

丫"一彳-4-0Y-

本酵H妨瞰锻解对’-两酝聘以得:.

，2

\__=0x+—―3=0「

可得'或'，解得匚川或X=1或x=2。所以琬谶懈有2个。故本

题选Q

4［单选题］

v=/(.v)X)Ar,olAr).

单选题设函数在的自变量的改变量为“A，相应的函数改变量为表示你的

高阶无穷小。若函数‘""”在’可微则下列表述不正确的是()

AAr=/'(.r0)d.r

Bd】=/'(.")&

C/=/'(.”心+o(Nr)

0At,=仃+o(Av)

正确答案：A

参考解析：

本题考查微分的概念。根据微分的定义可得:打=/'%"函数的增量

为="+74)=/'(.钞・，3)可知A选项镯吴。古体雕A。

5［单选题］抛掷两粒正方体骰子(每个面上的点数分别为1,2,....6),

假定每个面朝上的可能性相同,观察向上的点数,则点数之和等于5的概

率为()

A.5/36

B.1/9

C.1/12

D.1/18

正确答案：B

参考解析：

(.V.r)

本鹏璧怖廨。设第一冽螂螺子点触:X,第二欠的为y,用.表示抛艇次

的结果。其中此'"6,卬W6脂36种结果。其中点姐和为5的(叫网(共

269

4种结果，根跚鞭俎故本题选B。

6［单选题］

B（B土0）

单选题对于虫延矩阵A,存在n*.矩阵使得AB=O成立的充要条件懿阵A的秩

rank(A)

满足0

Arank(J|<z/

Brank(J)<//

「rank(H)>〃

L/.

Drank(J)>//

正确答案：A

参考解析：

本题考查矩阵的运算。必要性，由条件可设为"）

则43=川内A-r4)=(/«」』区r)

小，小,…,p45=0

由题意可知B为m黑向量，故‘中至少有一华E零向量若，则

第=0（六L2,,s）#』）＜〃（4）＜〃

因此出二°,有修解，故充渊:若

一八n.为外…，夕M，=0（j=1.2..s）

则方程组&=°有三藩解，设非零解为即，

3=(4,外，A)JR-01fix01I

令则”-°述I。蟒龌&

7［单选题］一个五边形与其经过位似变换后的对应图形之间不满足下

列关系的是（）。

A.对应线段成比例

B.对应点连线共点

C.对应角不相等

D.面积的比等于对应线段的比的平方

正确答案：C

参考解析：本题考查位似图形的性质。两个图形位似，那么任意一对

对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平

行(或在一条直线上)。位似图形面积的比等于相似比的平方。位似图形

对应点连线的交点是位似中心，位似图形对应线段的比等于相似比。位

似图形高、周长的比都等于相似比。位似图形的对应角都相等。c选项

不正确，故本题选C。

8［单选题］设二百一F-求当有时，T的值”。主要考查学生的()

A.空间观念

B.运算能力

C.数据分析观念

D.应用意识

正确答案：B

参考解析：本题考查数学教学论的基本概念。带入具体数值求解代数

式，主要考查学生的运算能力。故本题选B。

9［简答题］

已知平面上一椭圆，长半轴长为a,短半轴长为b,0<b<a,求该椭圆绕

着长轴旋转一周所得到的旋转体的体积。

参考解析：

本题考查旋转体的体积计算。由题意知，无论长轴在x轴或y轴旋转体

〜、、二工

的体积不变；不妨设长轴在X轴上，将椭圆"b绕X轴旋转一周，所

得的旋转体的体积为J°।小3

10［简答题］

设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(min)的概率密度为

［1c

3)=J「CO

［o.其他

用变量Y表示顾客对银行服务质量的评价值若顾客等待时间不超过5

(min)

u［-1,X>5

/=］X5

则评价值为Y=1;否则，评价值为y=T,即

(1)求X的分布函数。(2)求Y的分布律。

参考解析：（1）

Z?A.r>0

0.其他

其他是龙员从参数1/（.V）=

o,的指数分布，懒分布.的分

1-eA.r>01-e2,*>0

尸（、）=1尸（工）=

0.K他=_0,其他

2时,

布函数为,则当

(2)

P25)=尸(5)=1-eW1-e--

答案：〃-5则、，，，所以Y的

5

l-e-2,

呻叫=；4=1

e2,

分布律为

11［简答题］

%小/

已知方程组：I铲f%:叫有惟一解当且仅当行列式:；：：；：不等于

零

请回答下列问题：

（1）行列式②的几何意义是什么？

（2）上述结论的集合意义是什么？

参考解析：（1）

ax+ay+a，:=b,Fli（ai<a）rii

由解析几何知：n2是空间内的fp面、而"是平n面"

的枷量"""""+好也"向内K"个平面”而心心心）是¥®"的法^

量，"磔间砸一呼面“，而⑸,卷’如）是平面内的法向量,

%q：%

%］电2。23

%七«

这样系数矩阵33的每一行就是三个平面的法向量，他们可以构成一个三维空间。

(2)

n）与两平面相交的充要条件是。：电93=61：令：63

答案:即相交的充要条件是

qi®4

［q,&%）_,rank的a22a2i=3

心a~&.,同理得三个平面相交于一点的充要条件是&%

，即线性方程系数矩阵的行列式的值不为零的几何意义为3个平面相交于一点。

12［简答题］

某教师在引领学生探究〃圆周角定理”时一，首先进行画图、测量等探究

活动，获得对圆周角和圆心角大小关系的猜想；进一步寻找证明猜想的

思路并进行严格的证明；最后，教师又通过几何软件对两类角的大小关

系进行验证。

从推理的角度，请谈谈你对教师这样处理的看法。

参考解析：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判

断来确定一个新的判断的思维过程。在初中数学中经常使用的两种推

理是:合情推理和演绎推理。合情推理是学生经过观察、分析、比较、

联想，再进行归纳、类女比，然后提出猜想的推理，这位老师引领学生探

究“圆周角定理”时一，首先进行画图、测量等探究活动，获得对圆周角

和圆心角大小关系的猜想；就是应用了合情推理。合情推理融合了学生

的各种思维和活动在中，对于培养学生的学习兴趣，开发学生的智力，

培养学生的创新能力都是非常重要的。演绎推理是从已有的实（包括定

义、公理、定理等）出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）证明结论。

盖老师在学生给出猜想后，引导学生进一步寻找证明猜想的思路并进行

严格的证明；并通过几何软件对两类角的大小关系进行验证。应用演绎

推理体现是数学的严谨性。两种方式相辅相成，更有利于学生掌握“圆

周角定理〃

13［简答题］

数学课堂教学过程中，为了鼓励学生独立思考，深入理解问题，教师常

常在呈现任务后，不是立刻讲解，而是留给学生足够的思考时间，这种

教学方式可称之为“课堂留白”请你谈谈课堂留白的必要性及其意义。

参考解析：课堂的精彩不仅要关注教师讲的多么精彩，更加关注学生

学得多么主动，教师一个人讲解的课堂不是精彩的课堂，只有当学生通

过自己的主动活动去建构自己对知识的理解，从而展现自己的精彩时，

这样的课堂提精彩的，因为课堂留白是十分有必要的。

“课堂留白”的意义：

①课堂留白可以激发学生的求知欲和潜能;课堂中给学生留下活动的时

间、思维的空间，使学生有所探索、有所思考，可放飞学生的思维。学

生在开动学生的脑筋、利肥学知识解决留白问题的同时顺利进行知识迁

移、主动融合和构建知识体系，容易激发学生的学习兴趣、提高教学效

率。

②课堂留白能留给学生独立思考的机会，有利于发挥学生的主体意识。

合理运用教学留白，给学生留下独立思考的时间，让学生积极参与，自主

体验，真正成为学习的主人。

③课堂留白可以促进学生的个性发展。

④课堂留白激发学生的想象力，培养学生的创造力。在教学中给学生留

下更多的空间，正如画家留白的道理一样，可以让学生有足够的空间去

充分地想想，可以自由自在地展开联想或创造。

14［简答题］

.Vj+2匕-4.Vj—5(——6

.Yi-Xj-=-2

2x1+5.t>-9$-12.r4=-14

I茁+3.r>-5.七+g=—8

已知非齐次线性方程组.

(1)a为何值时，其对应齐次线性方程组解空间的维数为2?

(2)对于⑴中确定的a值，求该非齐次线性方程组的通解。

参考解析：(1)齐次方程组的解空间维数为2,可以得出齐次方程组

的自由变量个数为2,对应的齐次方程组系数矩阵的秩为2,可得系数

矩阵为

2)-Fj

01

「I,

01/?(.4)=2.a

所以得到

(2)当a=-7时得到增广矩阵为

01-1-2-：

01-1-2-2

5-9-P-14I01-1-2

-'>[-itkMT)»〃

13-5-7-8,.01-1-2-：

,可得到

.Vj+-4叼-5XA--6

11

\-V3-2.r4=-2由此可得导出随基础解系0).2方程的通

解为会(即AwR)；〈=(-?"牖贝归明次7猥组却解为

〃=柘+於寅+二

15［简答题］

数学运算能力是中学数学教学需要培养的基本能力。学生的数学运算能

力具体表现为哪些方面?请以整式运算为例予以说明。

参考解析：

教学运篁主要表现为理解运篁对象，掌握运觐则；探究运箕思路，求得运爵果。

例：计篁整式篁式中的一道因式分解问题，T=?首先要理解运箕的篁式特点，观察到要因

式分解题目彳导运用到平方差公式I'的逆过程;同时要掌握平方差公式的算

理，此处的a,b可以看成任何满足该条件的傲式，而不仅仅是简单的整位其次观察题目夏

式，探究运篁思路可以发现/t可以变形得到〃7'“)t运用-次平方差公式的逆过程

a4-l=(trf-l=(<r+l)(tr-l)

得到此时发现还有可以提出因式的算式，继续运用一次平方

a4-l=(a2+l)(a-l)(o+l)

差徵的逆过程得到得更撮终的运篁结悬

16［简答题］

案例：

下面是初中〃三角形的内角和定理”的教学案例片段。教师请学生回忆

小学学过的三角形内角和是多少度？并让学生用提前准备好的三角形

纸片进行翦拼并演示。下面是部分学生演示的图形(如图1、图2):

AA

cDB

图/图2

在图1中，三角形的三个内角拼在一起后，B、C、D在一条直线上，看

似构成一个平角。教师质疑，看上去是平角就是平角了吗？学生的回答

是“不一定"。接着，教师利用图1启发学生思考：

①既然不能判定B、C、D是否一定在同一直线上(即组成平角)，可以换

个角度，先构造一个平角，引导学生结合图1思考如何作辅助线构造平

角。学生想到了作BC的延长线BD,如图3所示。

②图1中，N1与NA是什么关系？启发学生在NACD内作N1=NA,或过

点C作CE〃AB,如图4所示。

③现在只要证明什么？(证明N2=NB)

问题：

(1)该教师让学生回忆并用拼图的方法感知三角形的内角和，请简述

其教学意图。

(2)禾词图2设计问题串，使得这些问题能够引导学生发现三角形的

内角和定理的证法。

(3)请再给出其他2种三角形纸片的拼法，并画图表示

参考解析：(1)从学生已有的知识经验出发，利用物拼图的方式引

导学生通过动手实践，从而建立知识联系，体现学生才是学习的主体。

(2)

问题1：有同学把三角形的两个底角撕下来拼到顶角上，你发现了什么？

问题2：我们发现这样可以把三角形的三个内角凑到一起，可以凑成看

似是一个平角。怎么确定他就是一个平角呢？

问题3：根据图1,想一想如何作辅助线构造平角呢？

问题4：作出辅助线后，我们根据平行线的性质，你有什么发现？

(3)

证明方法一:

BD

如图，过BC的中点D作DF〃AC,DE//AB,这时NA=N4,又N4=N2,

即NA=