极限知识点总结及高考题萃

极限第一部分知识点第二部分六年高考题萃考试内容：

教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．极限知识要点1.=1\*GB2⑴第一数学归纳法：=1\*GB3①证明当取第一个时结论正确；=2\*GB3②假设当（）时，结论正确，证明当时，结论成立.=2\*GB2⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果=1\*GB3①当（）时，成立；=2\*GB3②假设当（）时，成立，推得时，也成立.那么，根据=1\*GB3①=2\*GB3②对一切自然数时，都成立.2.=1\*GB2⑴数列极限的表示方法：=1\*GB3①=2\*GB3②当时，.=2\*GB2⑵几个常用极限：=1\*GB3①（为常数）=2\*GB3②=3\*GB3③对于任意实常数，当时，当时，若a=1，则；若，则不存在当时，不存在=3\*GB2⑶数列极限的四则运算法则：如果，那么①②③特别地，如果C是常数，那么.=4\*GB2⑷数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为.（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3.函数极限；=1\*GB2⑴当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为.记作或当时，.注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求.（当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关.函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.）如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.=2\*GB2⑵函数极限的四则运算法则：如果，那么①②③特别地，如果C是常数，那么.（）注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.=3\*GB2⑶几个常用极限：①②（0＜＜1）；（＞1）③=4\*GB3④，（）4.函数的连续性：=1\*GB2⑴如果函数f（x），g（x）在某一点连续，那么函数在点处都连续.=2\*GB2⑵函数f（x）在点处连续必须满足三个条件：①函数f（x）在点处有定义；②存在；③函数f（x）在点处的极限值等于该点的函数值，即.=3\*GB2⑶函数f（x）在点处不连续（间断）的判定：如果函数f（x）在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f（x）的不连续点.①f（x）在点处没有定义，即不存在；②不存在；③存在，但.5.零点定理，介值定理，夹逼定理：=1\*GB2⑴零点定理：设函数在闭区间上连续，且.那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（＜＜）使.=2\*GB2⑵介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（＜＜）.=3\*GB2⑶夹逼定理：设当时，有≤≤，且，则必有注：：表示以为的极限，则就无限趋近于零.（为最小整数）6.几个常用极限：①②③为常数）④⑤为常数）极限汇编六年高考荟萃20XX年高考数学分章汇编极限与连续性一、选择题:1.(20XX年高考数学湖北卷理科7）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设为前个圆的面积之和，则A．B.C.D.【答案】C2．（20XX年高考四川卷理科2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是（A）（B）（C）（D）解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.答案：D3．（20XX年高考四川卷理科8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则（A）0（B）（C）1（D）2解析：由,且作差得an＋2＝2an＋1又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1a2＝2a1故{an}是公比为2的等比数列Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－则答案：B4．（20XX年高考江西卷理科4）A． B． C． D．不存在【答案】B5.(20XX年高考重庆市理科3)＝（A）－1 （B）－ （C） （D）1【答案】B解析：=.二、填空题：1．（20XX年高考上海市理科11）将直线、（，）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为，则。【答案】12．（20XX年上海市春季高考14)答案：。解析：不妨取，……故故，故答案为1.三、解答题：1．(20XX年高考全国2卷理数18）（本小题满分12分）已知数列的前项和．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：．【命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.【参考答案】【点评】20XX年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.20XX年高考题一、选择题1、（09重庆理8）已知，其中，则的值为 （）A.6 B. C. D.【解析】答案D2、（09湖北理6）设，则 （）A.-1B.0C.1D.【解析】令得令时令时两式相加得：两式相减得：代入极限式可得，故选B答案B二、填空题3、（09陕西理13）设等差数列的前n项和为,若,则.答案12005—20XX年高考题一、选择题1、（20XX年江西） （）Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于 Ｄ．不存在答案B2、（20XX年湖北）已知和是两个不相等的正整数，且，则（）A．0 B．1 C． D．答案Ｃ3、（2006湖南）数列{}满足:,且对于任意的正整数m,n都有,则 ()A.B.C.D.2【解析】数列满足:,且对任意正整数都有，，∴数列是首项为，公比为的等比数列。，选A.答案A4、（20XX年全国Ⅱ理5） ()ABCD【解析】,选(A)答案A二、填空题5、（2008上海2）计算：.答案6、（20XX年全国Ⅱ理16）已知数列的通项an=－5n+2,其前n项和为Sn,则=.答案-【解析】数列的通项an=－5n+2，其前n项和为Sn，则=－.7、（2006天津）设函数，点表示坐标原点，点，若向量，是与的夹角，（其中），设，则=．【解析】函数，点表示坐标原点，点，若向量=，是与的夹角，（其中），设，则=1．答案18、（20XX年上海2）.答案0三、解答题9、（20XX年辽宁）已知数列，与函数，，满足条件：，.（I）若，，，存在，求的取值范围；（II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，（用表示）．(Ⅰ)解法一：由题设知得，又已知,可得由其首项为.于是又liman存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且可得由可知,所以是首项为,公的等比数列.由可知，若存在，则存在.于是可得0＜＜1,所以-1＜t.=2解法三:由题设知tbn+1=2bn+1,即①于是有②②-①得由，所以是首项为b公比为的等比数列，于是（b2-b1）+2b.又存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且说明：数列通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准.(Ⅱ)证明：因为.下面用数学归纳法证明＜.(1)当n=1时，由f(x)为增函数,且＜1,得＜1＜1＜，即＜，结论成立.（2）假设n=k时结论成立，即＜.由f(x)为增函数，得＜f即＜进而得＜f()即＜.这就是说当n=k+1时，结论也成立.根据（1）和（2）可知，对任意的，＜.第二部分三年联考汇编20XX年联考题一、选择题1、(20XX年3月襄樊市高中调研统一测试理)的值为()

A．0 B．1 C． D．答案C2、(湖北省八市20XX年高三年级三月调考理)若(1+5x)n的展开式中各项系数之和为an，(7x2＋1)n的展开式中各项的二项式系数之和为bn，则的值是 （）A． B． C．1 D．－ 答案A3、（2009衡阳四校联考）A．B．C．D．答案D4、（2009牟定一中期中）若的值为 （）A.－2B. C. D.答案B5、（2009宣威六中第一次月考）下列命题不正确的是（）A．如果f(x)=EQ\F(1,\R(x))，则EQlim\D\BA15()\s\do5(x+)f(x)=0B．如果f(x)=2x－1，则EQlim\D\BA15()\s\do5(x0)f(x)=0C．如果f(n)=EQ\F(n2－2n,n+2)，则EQlim\D\BA15()\s\do5(n)f(n)不存在D．如果f(x)=EQ\B\LC\{(\A\AL(x，x≥0,x+1，x<0))，则EQlim\D\BA15()\s\do5(x0)f(x)=0答案D6、（2009宣威六中第一次月考），则（）A．B．C．D．答案A二、填空题7、（2009上海十四校联考）如图，在杨辉三角中，斜线上方的数组成数列：1，3，6，10，…，记这个数列的前n项和为Sn，则=.答案68、（2009上海奉贤区模拟考）已知各项均为正数的等比数列的首项，公比为，前n项和为，若，则公比为的取值范围是。答案9、（2009闵行三中模拟）若实数满足，则____________.答案310．(北京市石景山区20XX年4月高三一模理)若展开式的第项为，则=．答案211.(北京市丰台区20XX年3月高三统一检测理)设等比数列的前项和为，若，则=。答案412、（2009厦门一中）若函数在处的，则等于_______________答案－213.(湖北省20XX年3月高三八校第二次联考理科)设是的展开式中项的系数（、、、…），则________.答案1814、（2009张家界市11月考）已知，则=（其中为虚数单位）答案1-i.15、（2009上海闸北区）若展开式的第9项的值为12，则=．答案216、（2009上海九校联考）设常数>0，的展开式中，的系数为，则答案17、（2009宣威六中第一次月考）=.答案-3三、解答题18、（2009冠龙高级中学3月月考）由函数确定数列，，函数的反函数能确定数列，，若对于任意，都有，则称数列是数列的“自反数列”。(1)若函数确定数列的自反数列为，求的通项公式；(2)在(1)条件下，记为正数数列的调和平均数，若，为数列的前项和，为数列的调和平均数，求；(3)已知正数数列的前项之和。求的表达式。解(1)由题意的：f–1(x)==f(x)=，所以p=–1，所以an=(2)an=，dn==n，Sn为数列{dn}的前n项和，Sn=，又Hn为数列{Sn}的调和平均数，Hn=====(3)因为正数数列{cn}的前n项之和Tn=(cn+)，所以c1=(c1+)，解之得：c1=1，T1=1当n≥2时，cn=Tn–Tn–1，所以2Tn=Tn–Tn–1+，Tn+Tn–1=，即：=n，所以，=n–1，=n–2，……，=2，累加得：=2+3+4+……+n，=1+2+3+4+……+n=，Tn=19、（2009上海普陀区）设数列的前项和为，.对任意，向量、都满足，求.解因为，所以由条件可得，.即数列是公比的等比数列.又，所以，.2007—20XX年联考题一、选择题1、（2008荆门市实验高中测试）等于 ()A.1B.C.cD.1或答案D2、（2008荆门市实验高中测试）下列极限存在的是 ()①②③④A.①②④B.②③C.①③D.①②③④答案C3、（2008荆门市实验高中测试）已知a,b时互不相等的正数，则等于 （）A.1B.1或－1C.0D.0或－1答案B4、(淮南市部分重点中学20XX年高三数学素质测试）设 存在，则常数b的值是 （） A．0 B．1 C．－1 D．e.答案B5、(巢湖2007二模)若,则常数、的值为（）A.，B.，C.，D..答案C6、(皖南八校20XX届一联）的值为 （） A．0 B．不存在 C．－ D．.答案C7、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4……则这个数列的第2006个数是 ()A62B.63C答案B8、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）函数f（x）=的不连续点为 ()A