新高一数学课程讲义包含知识点例题练习题作业题以及答案

新高一数学课程一、课程介绍课程开发的理论基础初中生刚跨入高中，进入新的环境，开始新的数学学习生活。由于高中数学与初中数学在内容含量以及考察难度上差异较大，而且有部分知识衔接存在问题，很多学生不能很好的适应高中数学的学习，从而对数学产生畏惧感，感觉数学高深莫测，渐渐失去学习兴趣，高中的学习节奏又快，慢慢的学生跟不上课堂，成绩一落千丈。为了学生能很好的适应高中数学的学习，特开发此课程，就初高中数学存在的“断点”（初中不讲，高中要用）进行梳理说明，高中前两章节的课程进行讲解。现初高中数学存在的“断点”：1．立方和与立方差公式、三个数和的完全平方式，初中不讲，而高中的运算还在用。2．因式分解，初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”3．二次根式，对被开方数中含有根式的二次根式化简初中不作要求，而高中计算中有时会涉及。4．二次函数，初中教材对其要求较低，却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5．二次不等式与二次方程、根与系数的关系（韦达定理），在初中几乎不涉及，高中也没有讲解，而运算中经常用到。6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8．几何部分很多概念初中生大都没有学习，而高中都要涉及。课程目标进入高中后，很多学生很快就表现出对于高中数学的不适应。为使初高中数学教学尽快的衔接起来，通过对初中涉及但没展开的内容进行深化，对高中刚开始时期新课超前学习，从内容到方法，使学生尽快进入高中学习状态。适用对象适用于初三毕业，秋季进入新高一学习的学生课时安排共15讲，每讲2小时，共30小时体例设置教学目标—知识回顾与拓展/知识点梳理—典型例题分析—随堂练习—课后练习二、课程结构编号课题课时容量主要内容第一讲数与式的运算、因式分解2拓展乘法公式，补充复杂二次根式、与繁分式的化简；拓展因式分解的方法，加强学生恒等变形的能力。第二讲一元二次方程的根与系数的关系、无理方程与多元一次方程的解法2强化一元二次方程根与系数的关系，掌握无理方程与多元一次方程的解法。第三讲二元二次方程、一元高次方程的解法2掌握用换元法解答高次方程的方法，注化归与转化思想。第四讲二次函数图像与性质2深入研究二次函数的图像与性质，熟练应用其解决相应的单调性问题及最值问题。第五讲一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式与高次不等式的解法2熟练掌握一元二次不等式、分式不等式、、绝对值不等式与高次不等式的解法，理解解答不等式的原理。第六讲含参数不等式2简单含参数不等式问题的解决方法，体会分类讨论思想。第七讲集合的概念与性质2重点掌握集合的性质第八讲集合运算2熟练掌握集合交、并、补的运算法则第九讲函数的概念及其表示2理解函数的概念、掌握定义域的解法，简单的解析式值域的求法第十讲函数的基本性质2会运用函数的单调性奇偶性进行解题第十一讲指数函数2会互化分数指数幂与根式。掌握指数函数的概念、图像与性质。第十二讲对数函数2会互化指数式与对数式。熟练掌握对数的公式以及对数函数的概念、图像与性质。第十三讲幂函数2掌握幂函数的概念、图像与性质，以及解决幂函数问题的技巧。第十四讲函数与方程2结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。第十五讲函数的模型及其应用2能把实际问题转化为数学问题，建立函数模型进行解答。三、课程讲义示例第一讲数与式的运算、因式分解【教学目标】熟练掌握各乘法公式，会化简较复杂二次根式、繁分式等；理解并掌握因式分解的步骤与方法，提升学生恒等变形的能力。【知识回顾与拓展】数与式完全平方公式平方差公式三个数的完全平方公式立方和公式立方差公式初中二次根式的化简(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．（2）拓展被开方数中含有根式的情形繁分式等一些复杂代数式的化简与变形公式法因式分解的相关公式因式分解的方法提公因式法公式法十字相乘法型：型：分组分解法拆、添项法6、因式分解的步骤：(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．【典型例题分析】例1已知，，求的值．解：．例2计算：解：原式=例3计算：（1） （2）（3） （4）解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= （4）原式= 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．例4设，求的值．解：原式=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．例5化简：（1）；（2）．解：（1）原式．（2）原式=，∵，∴，所以，原式＝．例6化简解法一：原式=解法一：原式=说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．例7分解因式：（1） （2）．（3）；（4）．（5）解：（1）．=（2）===．（3）由图1，得＝（4）＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)（如图2所示）．－ay－ay－byxx图1－11xy图2（5） 【随堂练习】1．选择题：（1）若，则（）（A）（B）（C）（D）（2）计算等于（）（A）（B）（C）（D）2．解方程．3．计算：．4．试证：对任意的正整数n，有＜eq\f(1,4)．5．在实数范围内因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）．6．三边，，满足，试判定的形状．7．分解因式：x2＋x－(a2－a)．【随堂练习参考答案】1．（1）C（2）C2．3．4．提示：5．（1）；（2）；（3）；（4）．6．等边三角形7．【课后练习】1．计算： (1) (2) (3) (4)2.已知，求的值．3.若，求常数的值．4．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) 5．把下列各式分解因式： (1) (2) (3)(4)(5) (6)(7)6．已知，求代数式的值．7．证明：当为大于2的整数时，能被120整除．8．已知，求证：．【课后练习参考答案】1．(1) (2) (3) (4)2.∵，，∴．3．∵，∴解得．4．（1）；（2）；（3）；（4）（5）5．；（4）6．7．8．第二讲一元二次方程根与系数的关系、无理方程与多元一次方程的解法【教学目标】能熟练应用韦达定理解决实际问题，会应用消元法解多元一次方程，了解无理方程的解法。【知识回顾与拓展】1、根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：2、多元一次方程的解法解多元一次方程的基本思想：消元、化归。3、无理方程无理方程的定义：根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．解无理方程的基本思想：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想．含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．含未知数的二次根式恰有两个或三个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的一边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③下同含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤。解无理方程的常用方法：1．平方法解无理方程2．换元法解无理方程【典型例题分析】例1若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)．解：由题意，根据根与系数的关系得：(1)(2)(3)(4)例2一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取值范围。解一：由解得：解二：设，则如图所示，只须，解得例3已知一元二次方程一个根小于0，另一根大于2，求的取值范围。解：如图，设则只须，解之得∴例4已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．(1)方程两实根的积为5； (2)方程的两实根满足．解：(1)∵方程两实根的积为5 ∴ 所以，当时，方程两实根的积为5． (2)由得知： ①当时，，所以方程有两相等实数根，故； ②当时，，由于 ，故不合题意，舍去． 综上可得，时，方程的两实根满足．说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．例5解方程组

解：（2）×3＋（3），得

11x＋10z＝35．

（4）（1）与（4）组成方程组

解这个方程组，得把x＝5，z＝－2代入（2），得2×5＋3y－2＝9，得．所以例6解方程解：移项得： 两边平方得： 移项，合并同类项得： 解得：或 检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根． 把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根． 所以，原方程的解是．例7解方程解：原方程可化为： 两边平方得： 整理得： 两边平方得： 整理得：，解得：或． 检验：把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根． 把代入原方程，左边右边，所以是增根． 所以，原方程的解是．【随堂练习】1．若是方程的两个根，则的值为( ) A． B． C． D．2．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( ) A． B． C． D．3．若实数，且满足，则的值为( )A． B． C． D．4．若方程的两根之差为1，则的值是_____．5．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则=_____，=_____．6．一元二次方程两根、满足求取值范围。7．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根为，且满足，求的值。8．解方程9．解方程10．解下列三元一次方程组

【随堂练习参考答案】1．A 2．A 3．A 4．9或 5．6．由可得或7．8.移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x2＋3x-28＝0，所以x1=4，x2=-7．经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．9．设，则 原方程可化为：， 即，解得：或． (1)当时，； (2)当时，因为，所以方程无解． 检验：把分别代入原方程，都适合． 所以，原方程的解是．10.【课后练习】1．若关于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为（）（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）02．（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．4．若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求|x1－x2|的值；（2）求的值；（3）x13＋x23．5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|x1－x2|＝2，求实数m的值．6.已知是一元二次方程的两个实数根． (1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由． (2)求使的值为整数的实数的整数值．7．解下列方程： (1) (2) (3)8.解下列方程组

（1）

（2）【课后练习参考答案】1．C提示：由于k=1时，方程为x2＋2＝0，没有实数根，所以k＝－1．2．（1）2006提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006．（2）－3提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a3＋a2b＋ab2＋b3＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋b)(a2＋b2)＝(a＋b)[(a＋b)2－2ab]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．3．（1）∵Δ＝(－k)2－4×1×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根．（2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．4．∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴，． （1）∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＝＋6＝，∴|x1－x2|＝． （2）． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．5．∵|x1－x2|＝，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m＝3．6.(1)假设存在实数，使成立． ∵一元二次方程的两个实数根 ∴， 又是一元二次方程的两个实数根 ∴ ∴ ，但． ∴不存在实数，使成立． (2)∵ ∴要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到， 要使的值为整数的实数的整数值为．7．8.(1)(2)第三讲二元二次方程（组）与一元高次方程的解法【教学目标】了解什么是二元二次方程（组），掌握二元二次方程组的常用解法；能用试根法因式分解或换元法解答一元高次方程。【知识回顾与拓展】1、二元二次方程及二元二次方程组二元二次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.二元二次方程的特点：①含有两个未知数；②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2.二元二次方程的一般形式是：（a、b、c不同时为零）.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项.二元二次方程组的定义：有两个未知数且未知数的最高次数为二次的方程组二元二次方程组求解的基本思想：是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。2、一元高次方程的解法一元高次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数大于2的整式方程叫做一元高次方程。一元高次方程的解法：通常用试根法因式分解或换元法达到降次的目的，转换为一元一次方程或一元二次方程，从而求出一元高次方程的解。【典型例题分析】例1解方程组解：由②，得把③代入①，整理，得解这个方程，得.把代入③，得；把代入③，得.所以原方程的解是例2解方程组分析：可用“代入法”解。也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看作一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x，y。解：从根与系数的关系，这个方程组的解，可以看作一元二次方程的两个根。解此方程得，t的这两个值，不论哪一个作为x、y都可以。因此，所求的解为例3解方程x3+3x2-4x=0解：原方程可化为x（x-1）（x+4）=0例4解方程x4-13x2+36=0解：原方程可化为（x2-9）（x2-4）=0；（x+3）（x-3）（x+2）（x-2）=0，【随堂练习】1.解方程组2.解方程组3.解方程组4、解方程x3+5x2-6x=05、解方程（x2-3x）2-2（x2-3x）-8=0【随堂练习参考答案】1.把第一个方程因式分解为，得两个一次方程，从而降次解为2.解为：3.解为：4．解为5．解为【课后练习】1、方程组的解是。2、方程组的解是。3、解方程组时可先化为和两个方程组。4、由方程组消去后得到的方程是（）A、B、C、D、5、方程组解的情况是（）A、有两组相同的实数解B、有两组不同的实数解C、没有实数解D、不能确定6、方程组有唯一解，则的值是（）A、B、C、D、以上答案都不对7、方程组有两组不同的实数解，则（）A、≥B、＞C、＜＜D、以上答案都不对8、解下列方程组：（1）、；（2）、（3）、（4）、；（5）、【课后练习参考答案】1、，；2、；3、，；4、A5、B6、C7、B8、（1）、；（2）、，；（3）、，，，；（4）、，；（5）、，，，第四讲二次函数的图像与性质【教学目标】了解二次函数的三种表示形式，熟练掌握二次函数在给定区间上的最值的求法，能灵活应用二次函数的图像与性质解决实际问题，【知识回顾与拓展】二次函数的表示形式：一般式：()，对称轴是顶点是；②顶点式：()，对称轴是顶点是；③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点二次函数的性质：①函数的图象关于直线对称。②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值xxyOx＝－AxyOx＝－A函数y＝ax2＋bx＋c图象作图要领：确定开口方向：由二次项系数a决定确定对称轴：对称轴方程为确定图象与x轴的交点情况，①若△>0则与x轴有两个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出。②①若△=0则与x轴有一个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出。③①若△<0则与x轴有无交点。确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）由以上各要素出草图。【典型例题分析】例1求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；例2已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．xxyO－2a①xyO－2aa24图2.2－6xyOa－224a2②－2xyOaa24③例3当时，求函数的最小值(其中为常数)．解：函数的对称轴为．画出其草图．(1)当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，；(2)当对称轴在所给范围之间．即时： 当时，；(3)当对称轴在所给范围右侧．即时：当时，．综上所述：例4当时，求函数的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当时，，当时，．【随堂练习】1．抛物线，当=_____时，图象的顶点在轴上；当=_____时，图象的顶点在轴上；当=_____时，图象过原点．2．用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________．3．设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值．4．求关于的二次函数在上的最大值(为常数)．5.当时，求函数的取值范围．6．已知函数在上的最大值为4，求的值．【随堂练习参考答案】1．4，14或2，2．3．．4.当时，，此时；当时，，此时．5.作出函数在内的图象．可以看出：当时，，无最大值．所以，当时，函数的取值范围是．6.或．【课后练习】1.求作函数的图象2.求函数图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。3.求函数 在给定区间上的最值。4.求当为何值时，函数的图象与轴(1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点.【课后练习参考答案】1.以为中间值，取的一些值，列表如下：…-7-6-5-4-3-2-1……0-20…描点连线即可2.，∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为∴当时，函数取得最大值函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。3.（1）原函数化为∵∴当时，又∵∴当时，（2）原函数可化为：，图象的对称轴是直线注意到当时，函数为减函数∴4.令，则的判别式(1)当，即，时，方程有两个相等的实根，这时图象与轴只有一个公共点；(2)当，即，时，方程有两个不相等的实根，这时图象与轴有两个公共点；(3)当，即，时，方程有两个不相等的实根，这时图象与轴无公共点；第五讲一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式与高次不等式的解法【教学目标】熟悉掌握一元二次不等式，分式不等式的解法，能解决简单的绝对值不等式、高次不等式。【知识回顾与拓展】一元二次不等式的定义：形如ax2＋bx＋c＞0(a≠0)（也可以用其他不等号连接）的不等式．一元二次不等式的解题思想：是借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)（也可以用其他不等号连接）．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞（1） （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知（1）不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；不等式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)，由图2.3－2②可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x≠－eq\f(b,2a)；不等式ax2＋bx＋c＜0无解． （3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．分式不等式解分式不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法将分式不等式转化为整式不等式或不等式组来解决。1、转化为整式不等式f（x）·g（x）>0；f（x）·g（x）<02、转化为不等式组或或等价转化法形如a<<b的不等式可等价转化为不等式[－a][－b]<0,这样会更加简捷.绝对值不等式简单绝对值不等式的基本转化方法：｜x｜＜a(a＞0)的解集是｛x｜－a＜x＜a｝．｜x｜＞a(a＞0)的解集是｛x｜x＜－a或x＞a｝．高次不等式用“数轴标根法”来解可分解的高次不等式直观又简单。具体方法步骤如下：①将不等式等价化为…形式，并将各因式的系数化“+”(为了统一方便)；②求出对应方程…的根（或称零点），并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但要注意“奇穿偶不穿”（“奇穿偶不穿”是指当左侧有相同因式时，为奇数时，曲线在点处穿过数轴；为偶数时，曲线在点处不穿过数轴）；④若不等式（的系数化“+”后）是“”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“”,则找“线”在x轴下方的区间。【典型例题分析】1.解不等式：（1）x2＋2x－3≤0；（2）x－x2＋6＜0；（3）4x2＋4x＋1≥0；（4）x2－6x＋9≤0；（5）－4＋x－x2＜0．解：（1）∵Δ＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝－3，x2＝1．∴不等式的解为－3≤x≤1．（2）整理，得x2－x－6＞0．∵Δ＞0，方程x2－x－6=0的解为x1＝－2，x2＝3．∴所以，原不等式的解为x＜－2，或x＜3．（3）整理，得(2x＋1)2≥0.由于上式对任意实数x都成立，∴原不等式的解为一切实数．（4）整理，得(x－3)2≤0.由于当x＝3时，(x－3)2＝0成立；而对任意的实数x，(x－3)2＜0都不成立，∴原不等式的解为x＝3．（5）整理，得x2－x＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．例2解不等式解析：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：④∴原不等式的解集为【评注】∵3是三重根，∴在C处来回穿三次，∵2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿.若些不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿2点，但满足“=”的条件，不能漏掉.。例3解不等式解析：先将原不等式等价化为不等式且，即且，用“数轴标根法”0-10-1-342x∴原不等式的解是【评注】在不等式时我们应该考虑不等式左式的定义域，也就是在标根时要注意根的取舍，否则会产生增根或失根的误解.例4解关于的不等式：.解析：此不等式是含参数的高次不等式，是不等式对应方程的其中一根，但对它的位置我们无法确定，因此要对的所处位置进行讨论。①将二次项系数化“+”并分解为：；②相应方程的根为：；③讨论：ⅰ）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为.ⅱ）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为ⅲ）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为ⅳ）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为ⅴ）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下：∴原不等式的解集为。综上所得，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为。例1解不等式解:原不等式等价于（1－2x）（x+3）<0，即（2x－1）（x+3）>0∴原不等式的解集为{x∣x>或x<－3}二、转化为不等式组或或例2解不等式解:原不等式等价于（Ⅰ）（Ⅱ）解（Ⅰ）得:x≥1+,解（Ⅱ）得:1－≤x<1.∴原不等式的解集为{x∣x≥1+或1－≤x<1}.三、数轴标根法形如,,f（x）·g（x）>0,f（x）·g（x）<0的不等式都可以用数轴标根法来求解.例3解不等式解:原不等式等价于.如图1,数轴上的根为－2,－1,3.∴原不等式的解集为{x∣－2≤x<－1或≤x<3}.评注:利用数轴标根法解分式不等式,要注意分母不能为零.四、等价转化法形如a<<b的不等式可等价转化为不等式[－a][－b]<0,这样会更加简捷.例4解不等式－1<解:原不等式等价于（）·（）<0,整理得解得－<x<5.∴原不等式的解集为{x∣－<x<5}.五、数形结合法例5k为何值时，关于x的不等式的解集是一切实数.解：由题意知，即求k的值，使关于x的不等式恒成立.∵4x2+6x+3>0,恒成立,2x2+2kx+k<4x2+6x+3恒成立.即2x2+（6－2k）x+3－k>0恒成立.令f(x)=2x2+（6－2k）x+3－k,由图2知,f(x)>0恒成立△=解得1<k<3.∴当1<k<3时,关于x的不等式的解集为R.［例1］解不等式2＜｜2x－5｜≤7．解法一：原不等式等价于∴即∴原不等式的解集为｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集(Ⅰ)(Ⅱ)不等式组(Ⅰ)的解集为｛x｜＜x≤6｝，不等式组(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜｝∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．(Ⅰ)2＜2x－5≤7(Ⅱ)2＜5－2x≤7不等式(Ⅰ)的解集为｛x｜＜x≤6｝，不等式(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜｝∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝．［例2］解关于x的不等式：(1)｜2x＋3｜－1＜a(a∈R)；(2)｜2x＋1｜＞x＋1．解：(1)原不等式可化为｜2x＋3｜＜a＋1当a＋1＞0，即a＞－1时，由原不等式得－(a＋1)＜2x＋3＜a＋1－＜x＜当a＋1≤0,即a≤－1时，原不等式的解集为，综上，当a＞－1时，原不等式的解集是｛x｜－＜x＜当a≤－1时，原不等式的解集是．(2)原不等式可化为下面两个不等式组来解(Ⅰ)或(Ⅱ)不等式组(Ⅰ)的解为x＞0，不等式组(Ⅱ)的解为x＜－∴原不等式的解集为｛x｜x＜－或x＞0｝【课后练习】第六讲含参数不等式【教学目标】解参数不等式一直是高中数学所考查的重点内容，也是高中数学的重难点。所以要求同学们能熟悉并掌握常见含参数不等式的解法，进一步熟悉分类讨论思想的应用。【知识回顾与拓展】当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。含参数一元二次不等式问题的常见解法：1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑）2．二次项系数含参数（先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于0，然后能分解因式先分解因式，不能得先考虑）3.解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下三种情况：（1）二次项的系数；（2）判别式；（3）根的大小。

【典型例题分析】例1解关于的不等式。解：为方程的两个根（因为与1的大小关系不知，所以要分类讨论）（1）当时，不等式的解集为（2）当时，不等式的解集为（3）当时，不等式的解集为综上所述：当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为例2解关于的不等式：解：（1）时，（2）时，则或，此时两根为，.=1\*GB3①当时，，；=2\*GB3②当时，，；=3\*GB3③当时，，；=4\*GB3④当时，，.综上，可知当时，解集为(,)；当时，解集为；当时，解集为()();当时，解集为()().例3解关于x的不等式解：原不等式等价于当=0时，原不等式等价于解得，此时原不等式得解集为{x|}；当>0时,原不等式等价于,则：当原不等式的解集为；当0<原不等式的解集为；当原不等式的解集为；当<0时,原不等式等价于，则当时,原不等式的解集为；当时,原不等式的解集为；当时,原不等式的解集为；例4解关于x的不等式解：当时，此时原不等式的解集为；当时，由，此时原不等式的解集为；当时，此时此时原不等式的解集为；综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为。说明：去掉绝对值符号的方法有①定义法：②平方法：③利用同解变形：；【随堂练习】1、解关于的不等式2、解关于的不等式：3、设函数f(x)=-ax，解不等式f(x)≤1，【随堂练习参考答案】1、(1)当有两个不相等的实根。所以不等式：(2)当有两个相等的实根，所以不等式，即；(3)当无实根所以不等式解集为。2、若，原不等式若，原不等式或若，原不等式其解的情况应由与1的大小关系决定，故（1）当时，式的解集为；（2）当时，式；（3）当时，式.综上所述，当时，解集为{}；当时，解集为{}；当时，解集为{}；当时，解集为；当时，解集为{}.3、不等式f(x)≤1，即ax≥1

当a=0时，1≥0恒成立，解集为x∈R

当a>0时，解集为｛x│x≥1/a｝

当a<o时，解集为｛x│x≤1/a｝【课后练习】1.解的不等式：（1）。(2)。2．解关于的不等式：（1）（2）3.解的不等式:；4.解关于x的不等式：（1）＞1(a≠1)；（2）。5.解不等式.6.解关于x的不等式。【课后练习参考答案】1、(1)∴当即，解集；当即Δ＝0，解集；当或即,此时两根分别为，，显然,∴不等式的解集为(2)当，解集为R；当，解集为；当，解集。2、（1）当时，解集为{}；当时，解集为{}；当时，解集为{}；当时，解集为；当时，解集为{}.（2）当，解集是；当，解集是；当，解集是；当，解集是。3、当时，解集为，当时，解集为。4、(1)；；；。(2);;.5、∴当或时，故原不等式的解集为；当或时，可得其解集为；当或时,解集为。6、；；；；。第七讲集合的概念与性质【教学目标】熟悉集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．【知识点梳理】集合的定义：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，简称集。一般用大写的拉丁字母表示。常见数集的表示自然数集（非负整数集）：正整数集：整数集：有理数集：实数集：无理数集：元素与集合的关系(1)、元素的概念：构成集合的每个对象叫做集合的元素。一般用小写的拉丁字母表示。集合的中元素的三个特性：元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(2)、集合与元素的关系：属于：

不属于：集合的表示方法：（1）、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。（2）、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。格式：{x|P（x），x∈A}含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。（3）、图示法：Venn图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。一般用于分析问题。子集的定义：如果集合A中任一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集。记作：读作：A包含于B，或B包含A子集的性质：①任何一个集合A都是它本身的子集。②空集是任何一个集合的子集。③传递性：若6、判断两个集合相等若AB且BA,则称A与B相等，记作：_______.7、真子集的定义：若AB，且在B中至少有一个元素x∈B，但xA，则称A是B的真子集。记作：_______或______真子集的性质：①空集是任何一个非空集合的真子集。②传递性若A含有n个元素,则A的子集有____个,A的非空子集有______个，A的非空真子集有________个.空集的定义我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作9、集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为________、_________、______.

【典型例题分析】例1下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学;（3）不等式的整数解;（4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.解:（1）可以表示为;（2）其中的对象没有明确的标准,不具备确定性,故不能组成一个集合;（3）可以表示为;（4）空集,;（5）可以构成集合,集合是.例2已知集合A⊆{1,2,3,4}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有 ()A．13个B．12个C．11个D．10个解：A中含一个奇数时，有2×22＝8个，A中含两个奇数时，有22个，∴共有8＋4＝12个，故选B.例3设集合M＝{x|x＝eq\f(k,2)＋eq\f(1,4)，k∈Z}，N＝{x|x＝eq\f(k,4)＋eq\f(1,2)，k∈Z}，则 ()A．M＝N B．MNC．MN D．M∩N＝∅解：在M中，x＝eq\f(k,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(2k＋1,4)，在N中，x＝eq\f(k＋2,4).显然，由于k∈Z，故k＋2可取遍所有整数，而2k＋1为奇数．∴MN.故应选B.例4（1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值。（2）A＝{－2≤x≤5}

，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，BA,求m的值。解：（1）a＝0,S＝，P成立a0，S，由SP，P＝{3，－1}得3a＋2＝0，a＝－或－a＋2＝0，a＝2；∴a值为0或－或2.（2）B＝，即m＋1>2m－1,m<2

A成立.

B≠，由题意得得2≤m≤3∴m<2或2≤m≤3即m≤3为取值范围.说明：（1）特殊集合作用，常易漏掉

（2）运用分类讨论思想，等价转化思想，数形结合思想常使集合问题简捷比.例5在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个同学至少解出一题。在所有没解出甲题的同学中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；只解出甲题的人数比余下的解出甲题的人数多1人；只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学只解出乙题？AaBbCAaBbCcdfeg可得如下等式；；；；联立可得。例6已知,.⑴若,求的取值范围;⑵若,求的取值范围;解：⑴由，得≤；⑵由，得≥；【随堂练习】1．下列说法正确的是（）（A）所有著名的作家可以形成一个集合（B）0与的意义相同（C）集合是有限集（D）方程的解集只有一个元素2．下列四个集合中，是空集的是 （） A． B． C． D．3．方程组的解构成的集合是 （） A． B． C．（1，1） D．.4．已知，，则B＝5．若，，用列举法表示B=.6.设若,求的值.7.已知,,且,求实数的值.８．已知集合，≥，且满足，求实数的取值范围.９．已知集合P={x∣，S={x∣，若SP，求实数的取值集合.【随堂练习参考答案】1．D 2．D 3．A； 4．{0,1,2}； 5．{4，9，16}；6.7.或8.9.【课后练习】1．已知下列条件：①小于60的全体有理数；②某校高一年级的所有学生；③与2相差很小的数；④方程=4的所有解。其中不可以表示集合的有--------------------（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列关系中表述正确的是-----------------------------------------（）A．B．C．D．3．下列表述中正确的是----------------------------------------------（）A． B． C． D．4．已知集合A=，若是集合A的一个元素，则的取值是（）A．0 B．-1 C．1 D．25．方程组的解的集合是---------------------------------------（）A． B． C． D．6．用列举法表示不等式组的整数解集合为：7．设，则集合中所有元素的和为：8.下列关系中正确的个数为（）①0∈{0}，②Φ{0}，③{0，1}{（0，1）}，④{（a，b）}＝{（b，a）}A）1（B）2（C）3（D）49.集合的真子集的个数是（）（A）16(B)15(C)14(D)1310.集合，，,,则下面包含关系中不正确的是（）（A）(B)(C)(D)11．已知M={x|2≤x≤5},N={x|a+1≤x≤2a1}.（Ⅰ）若MN，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若MN，求实数a的取值范围.12．用列举法表示下列集合：⑴⑵13.已知A={1，2，x2－5x＋9}，B={3，x2＋ax＋a}，如果A={1，2，3}，2∈B，求实数a的值.【课后练习参考答案】1．A 2.D 3.B 4.B 5.C 6. 7. 8．B；9．B；10．C；11．（Ⅰ）由于MN，则，解得a∈Φ.（Ⅱ）①当N=Φ时，即a＋1＞2a－1，有a＜2；②当N≠Φ，则，解得2≤a≤3，综合①②得a的取值范围为a≤3.12.⑴;⑵; 13.a=或.第八讲集合运算【教学目标】理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴venn图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．【知识点梳理】交集：定义：由属于A且属于B的所有元素构成的集合，称为A与B的交集，记作，读作：“A交B”。表示为。注意：当两个集合没有公共元素时，不能说集合A与集合B没有交集，而是交集的运算性质：对任何两个集合A与B，都有A∩=；A∩A=A；A∩B=B∩A；A∩B=AAB并集：定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作：“A并B”。表示为A∪B={x|x∈A或x∈B}；全集与补集：全集的定义：一般地，如果集合包含我们要研究的各个集合，就可以看作一个全集。全集通常用字母U表示。补集的定义：如果，由全集U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作，表示为4、集合基本运算的一些结论：A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩AAA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A若A∩B=A，则AB，反之也成立若A∪B=B，则AB，反之也成立，，，，集合问题易错点：（1）方程或是不等式中最高次项的系数为字母，要考虑为零情况。（2）若出现，要讨论A=的情况【典型例题分析】例1设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∁U(A∪B)＝{1,3}，A∩(∁UB)＝{2,4}求集合B.解：∁U(A∪B)＝{1,3}，∴A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9}，又A∩(∁UB)＝{2,4}∴B＝{5,6,7,8,9}． 例2集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2}，问是否存在这样的实数a，使得B⊆A，且A∩B＝{1，a}？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由．解：由A＝{1,3，a}，B＝{1，a2}，B⊆A，得a2＝3或a2＝a.当a2＝3时，a＝±eq\r(3)，此时A∩B≠{1，a}；当a2＝a时，a＝0或a＝1.a＝0时，A∩B＝{1,0}；a＝1时，不满足集合中元素的互异性．综上所述，存在这样的实数a＝0，使得B⊆A，且A∩B＝{1，a}．例3设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a＜0}(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；(2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．解：(1)∵A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,2)≤x≤3))，当a＝－4时，B＝{x|－2＜x＜2}，∴A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,2)≤x＜2))，A∪B＝{x|－2＜x≤3}．(2)∁RA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(1,2)或x＞3))，当(∁RA)∩B＝B时，B⊆∁RA.①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁RA；②当B≠∅，即a＜0时，B＝{x|－eq\r(－a)＜x＜eq\r(－a)}，要使B⊆∁RA，须eq\r(－a)≤eq\f(1,2)，解得－eq\f(1,4)≤a＜0.综上可得，实数a的取值范围是a≥－eq\f(1,4).例4已知集合，，若，求实数的取值范围.解法一：，中至少含有一个负数，即方程至少有一个负根。当方程有两个负根时，，，当方程有一个负根与一个正根时，当方程有一个负根与一个零根时，或或…………10分从而实数的取值范围为…………12分解法二：，中至少含有一个负数取全集，当A中的元素全是非负数时，，所以当时的实数a的取值范围为从而当时的实数a的取值范围为【随堂练习】1．已知集合M={x|x3—2x2—x+2=0},则下列各数中不属于M的一个是（）A．—1B．1C．2D．—22．设集合A={x|—1≤x＜2}，B={x|x<a}，若A∩B≠φ，则a的取值范围是（）A．a＜2B．a＞—2C．a＞—1D．—1≤a≤23．集合A、B各有12个元素，A∩B中有4个元素，则A∪B中元素个数为4．数集M={x|}，N={x|}，则它们之间的关系是5．已知集合M={（x,y）|x+y=2}，N={（x,y）|x—y=4}，那么集合M∩N=6．设集合A={x|x2—px+15=0}，B={x|x2—5x+q=0}，若A∪B={2，3，5}，则A=B=7．已知全集U=R，A={x|x≤3}，B={x|0≤x≤5}，求（CUA）∩B≠8．已知集合A={x|x2—3x+2=0}，B={x|x2—mx+(m—1)=0}，且BA，求实数m的值9．已知A={x|x2+x—6=0}，B={x|mx+1=0}，且A∪B=A，求实数m的取值范围10．已知集合A={x|—2＜x＜—1或x＞0}，集合B={x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B={x|x＞—2}，求a、b的值【随堂练习参考答案】1、D2、C3、20个4、MN5、{(3，—1)}6、{3，5}，{2，3}7、8、29、0，或10、—1，0【课后练习】1、下列表示方法中正确的是（）(A)Φ(B)0∪Φ={0}(C)0{0}(D)Φ{0}2、下列五种表达形式中，错误的个数（）=1\*GB3①1∈{0,1,2}=2\*GB3②{1}∈{0,1,2}=3\*GB3③{0,1,2}{0,1,2}=4\*GB3④Φ{0,1,2}=5\*GB3⑤{0,1,2}={2,1,0}(A)1 (B)2 (C)3 (D)43、已知集合S满足四个条件①S中有三个元素，②若m∈S，则，③1S，④2∈S，那么集合S=()(A){－1} (B){－1,2} (C){－1,2,} (D){－1,2,,}4、全集U={2,3,a2+2a－3},A={︱a+7︱,2},CUA={5},则实数a(A)2,－4(B)－2,4(C)2(D)－45、已知集合A={x︱x2－1=0},B={x︱ax－1=0,a∈R},A∪B=A,则a的值为()(A)0 (B)1,0 (C)－1,1 (D)1,－1,06、集合M={x︱x≤1},N={x︱x>p},若M∩N≠Φ,则p的取值范围是()(A)p>1(B)p≥1(C)p<1(D)p≤17、用列举法表示集合A={y︱y=x2,x∈Z,}为__________用列举法表示集合B={(x,y)︱y=x2,x∈Z,}为___________8、已知集合A={x︱－2≤x≤5},区间B=[m+1，2m－1],若B∪A=A,则实数m取值范围是_____9、集合A={x∈R︱x2－3x+4=0},B={x∈R︱(x+1)(x2+3x－4)=0},则满足APB的集合P中元素为______10、已知S={x︱x2－3x+2=0},A={x︱x2－px+q=0},若CSA=Φ,则p+q=____11、已知全集S={1,3,x3+3x2+2x},A={1,},如果CSA={0},那么这样的实数x是否存在?若存在,求出x;若不存在,说明理由.12、集合A={x︱x2－3x+2=0},B={x︱x2－mx+2=0},若AB,讨论实数m取值情况.【课后练习参考答案】：1、D2、A3、C4、D5、D6、C7、{0,1}；{(－1,1),(0,0),(1,1)}8、2<m≤39、{1}{－1}{－4}{－1，1}{－1，－4}{1，－4}或{－1，1，－4}10、511、CSA={0}的充要条件为AS,0∈S，0A,即∈S，x3+3x2+2x=0,≠1（互异性）且≠0，所以x=－1.12、A={1,2}①若B=Φ,则x2–mx+2=0,中Δ<0,②若B={1},则x2–mx+2=0有且仅有一个根1,1×1=2与1+1=m同时成立,不可能.③若B={2},则x2–mx+2=0有且仅有一个根2,2×2=2与2+2=m同时成立,不可能.④若B={1,2},则x2–mx+2=0有两个根2与1,Δ>0,1×2=2,1+2=m,所以m=3.综上:或3第九讲函数的概念及其表示【教学目标】进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函数符号的深刻含义；会求函数的定义域、解析式及值域。【知识点梳理】1、区间的表示：定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3、函数的定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。（1）偶次根式--被开方数大于等于零（2）分式--分母不等于零（3）对数式--真数必须大于零，底大于零且不等于1（4）正切函数--（5）指数为零底不可以等于零--（）（6）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义4、函数解析式的求法：（1）换元法（2）方程法（3）待定系数法5、函数的值域求法：先考虑定义域（1）分离系数法（2）反解法（3）换元法（4）判别式法6、映射的概念：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射分段函数与复合函数分段函数：(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称F(x)为复合函数。复合函数单调性法则：同增异减

【典型例题分析】例1下列各组函数中，表示同一函数的是 （） A． B．C． D．解：两个函数的定义域与解析式相同时，这两个函数就是表示同一个函数。故此题选C。例2①求函数的定义域；②求函数的值域；解：①．因为的函数值一定大于0，且无论取什么数三次方根一定有意义，故其值域为R；②．令，，，原式等于，故。例3（1）已知二次函数满足，，图象过原点，求；（2）已知二次函数，其图象的顶点是，且经过原点，．解：（1）由题意设，∵，，且图象过原点，∴∴∴．（2）由题意设，又∵图象经过原点，∴，∴得，∴．例4（1）已知，求.（2）已知，求．解：（1）法一配凑法：∵∴．法二换元法：令，则，∴．（2）设，则=，于是∴∴即.说明：已知求的解析式，常用配凑法、换元法；换元时，如果中间量涉及到定义域的问题，必须要确定中间量的取值范围．例5已知f(x)满足，求.解：∵--------①将①中换成得-------②①×2-②得∴说明：已知与，或与之间的关系式，求的解析式，可通过“互换”关系构造方程的方法，消去或，解出.例6设a∈R,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值.解:(1)当x≥a时，f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+，若a≤-时,则f(x)在［a,+∞)上的最小值为f(-)=-a;若a>-时,则f(x)在［a,+∞)上单调递增，f(x)min=f(a)=a2+1.(2)当x≤a时，f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+];若a≤时，则f(x)在(-∞,a］上单调递减，f(x)min=f(a)=a2+1;当a>时，则f(x)在(-∞,a］上的最小值为f()=+a.综上所述，当a≤-时，f(x)的最小值为-a;当-＜a≤时，f(x)的最小值为a2+1;当a>时，f(x)的最小值为+a.【随堂练习】1、若能构成映射，下列说法正确的有（）（1）A中的任一元素在B中必须有像且唯一；（2）B中的多个元素可以在A中有相同的原像；（3）B中的元素可以在A中无原像；（4）像的集合就是集合B。A、4个B、3个C、2个D、1个2、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。（1）（1）（2）（3）（4）时间时间时间时间离开家的距离离开家的距离离开家的距离离开家的距离A、（1）（2）（4）B、（4）（2）（3）C、（4）（1）（3）D、（4）（1）（2）3、设，若，则。4.若函数则=．5.若，则=．6.若函数，则=．7.函数，则函数定义域为．8.函数的值域为．【随堂练习参考答案】1、C2、D3、4.1，5.，6.1，7.[2，+∞)，8.[3，+∞)，【课后练习】1、⑴若f(x)=2x+1，则f[f(2)]=；f(-x)=；f[f(x)]=.⑵若f(x+1)=x2-2x+5，则f(x)=.⑶若f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，则g(x)=.⑷若3f(x)+2f(1/x)=4x，则f(x)=.⑸若f(x)=x2-mx+n，f(n)=m，f(1)=-1，则f(-5)=.2、下列各式中,表示y是x的函数的有（）①y=;②y=+;③y=④y=A.4个B.3个C.2个D.1个3.已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则m的取值范围是A.0<m≤4B.0≤m≤1C.m≥4D.0≤m≤4【课后练习参考答案】⒈⑴f[f(2)]=f(5)=11,f(-x)=-2x+1,f[f(x)]=2f(x)+1=4x+3；⑵f(x)=x2-4x+8；⑶g(x)=2x-1；⑷f(x)=(12x2-8)/5x(x0)；⑸将f(n)=m与f(1)=-1并成方程组，解得m=1,n=-1,可知f(x)=x2-x-1∴f(-5)=29.2．①③表示y是x的函数;在②中由知x∈,因为函数定义域不能是空集，所以②不表示y是x的函数;在④中若x=0,则对应的y的值不唯一，所以④不表示y是x的函数.答案:C3.解析:要使函数有意义,只需对任意x∈R,不等式mx2+mx+1≥0恒成立.当m=0时,1≥0,显然成立.当m≠0时,只需0<m≤4.综上可知,0≤m≤4.答案:D第十讲函数的基本性质【教学目标】理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题．掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．【知识点梳理】1.函数的单调性增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.2.函数的奇偶性（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．若0属于定义域，则f(0)=0.（4）判断函数奇偶性的步骤： eq\o\ac(○,1)首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；eq\o\ac(○,2)确定f(－x)与f(x)的关系；eq\o\ac(○,3)作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．

【典型例题分析】例1设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式eq\f(f(x)－f(－x),x)<0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)解：奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，eq\f(f(x)－f(－x),x)＝eq\f(2f(x),x)<0.由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．故选择D例2f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝2x－1，则当x<0时，f(x)＝()A．2x－1