2023-2024学年江苏江阴市高二数学下学期期中考试卷附答案解析

-2024学年江苏江阴市高二数学下学期期中考试卷（满分150分，时间120分钟）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每题5分，共40分.）1．已知，则=（

）A． B． C． D．2．函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（

）

A． B．C． D．3．已知在上单调递增，则的取值范围（

）A． B． C． D．4．在的展开式中，的系数为（

）A． B．21 C． D．155．将数字“322469”重新排列后得到不同的偶数个数为（

）A．240 B．192 C．120 D．726．展开式中的系数为（

）A．60 B． C．30 D．7．在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（

）A．420种 B．360种 C．540种 D．300种8．若函数有两个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分.）9．已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（）A． B．第3项的二项式系数最大C．常数项为60 D．所有系数之和为10．甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件为“恰有两名同学所看电影相同”，事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（）A．四名同学看电影情况共有种B．“每部电影都有人看”的情况共有72种C．D．“四名同学最终只看了两部电影”的概率是11．已知函数，则下列选项正确的是（

）A．在上单调递增B．恰有一个极大值C．当时，无实数解D．当时，有三个实数解三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分.）12．已知，则正整数=.13．已知在点处的切线与只有一个公共点，则的值.14．已知函数有两个极值点，则的取值范围为；若函数有两个极值点，则的取值范围是．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15．某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语、化学共7节课．(1)如果物理和历史不能排在一起，则有多少种不同的排法？(2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排法？(3)如果历史，语文，数学必须相邻，体育排在物理后面（不一定相邻），共有多少种排法？16．已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为．(1)求的值；(2)求展开式中有理项的系数之和．17．一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个球，其中3个黑球，2个白球，不放回的依次取出2个球，求：(1)求第次抽到黑球且第次也抽到黑球的概率；(2)已知第次抽到黑球，则第次抽到黑球的概率；(3)判断事件“第次抽到黑球”与“第次抽到黑球”是否互相独立．18．函数.(1)求的单调区间；(2)求在上最小值.19．已知函数的图象在处的切线经过点.(1)求的值及函数的单调区间；(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.1．B【分析】根据初等函数的导数公式求解.【详解】因为，所以.故选：B2．C【分析】根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系.【详解】

设，由图可得，而，故，故选：C.3．A【分析】由题意可得在上恒成立，分离参数，结合函数的单调性，即可求得答案.【详解】由在上单调递增，得在上恒成立，即，恒成立，而在上单调递增，即，故，故选：A4．A【分析】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，从而得到答案.【详解】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，所以展开式含的项的系数为：.故选：A.5．A【分析】考虑到该六位数中有两个2，故按照分类加法计数原理计算，对于个位是4或6的两类，只需排好另外三个数字即可，对于个位是2的一类，则可以考虑另5个数字全排即得.【详解】依题意，因这个六位数中有两个“2”，故不能直接将其与其他数字全排，否则会出现重复.可将这样的偶数分成三类：第一类，个位排4，在前面五位数位中，只需选三个排上数字3，6，9即可（剩下两个数位即排2），有种方法；第二类，个位排6，与第一类相同，有种方法；第三类个位排2，则前面五个数位只需将另外5个数字全排即可，有种方法.由分类加法计数原理，不同的偶数个数为.故选：A.6．B【分析】把看做整体，则，从中找到含有的项即可.【详解】，要找到展开式中含有的项，需从中找到含有的项，即，故的系数为.故选：B.7．A【分析】先分类，再分步进行.先分颜色种类为3,4,5，再分步计算.【详解】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种；选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种；选用五种颜色时，有种，所以一共有种，故选：A.8．A【分析】利用函数零点的意义，分离参数，构造函数，转化为直线与函数的图象有两个公共点问题求解.【详解】函数的定义域为R，由，得，令函数，依题意，直线与函数的图象有两个公共点，而，显然函数在R上单调递减，当时，，则当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，当时，，，而当时，恒成立，于是当且仅当时，直线与函数的图象有两个公共点，所以函数有两个零点，的取值范围为.故选：A【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．9．AC【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出，再利用二项式定理逐项判断即可.【详解】对于A，由的展开式各项的二项式系数之和为64，得，解得，A正确；对于B，的展开式共7项，则第4项的二项式系数最大，B错误；对于C，展开式的常数项为，C正确；对于D，取，得展开式的所有项系数之和为1，D错误.故选：AC10．ACD【分析】根据分步乘法计数原理可判断A；将四名同学先分组，再分到三部电影可判断B；由条件概率可判断C；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A选项可判断D.【详解】对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有种，A正确；对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B错误；对于C，由已知有：，，所以，C正确；对于D，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，D正确.故选：ACD.11．BCD【分析】分类讨论去掉绝对值符号后求导数确定单调性、极值判断AB，利用极值判断方程的实根个数判断C，利用数形结合思想判断D．【详解】对于A，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．当时，，在上单调递增，A错误；对于B，由以上讨论知是的极大值点，B正确；对于C，当时，，当时，，所以当时，无实数解，C正确；对于D，当时，，由以上讨论知当时，．而，作出的大致图象如图所示．如图可知，有三个实数解，所以有三个实数解，D正确．故选：BCD．12．4【分析】由组合数和排列数公式列方程求解.【详解】因为，即，解得，满足题意.故答案为：413．4或0【分析】求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线只有一个公共点，进而可联立切线与曲线方程消元得到一元二次方程，由可得到a的值．【详解】的导数为，曲线在点处的切线斜率为，则曲线在点处的切线方程为，即，由于切线与曲线只有一个公共点，联立与，得有且只有一解，则，即，解得或.故答案为：或.14．【分析】对函数求导，将问题进行转化为是方程的两个实数根，是方程的两个实数根．设，由导数可得在处取得极小值，由，得，再利用对勾函数性质即可得解.【详解】由可得，则是方程的两个正实数根，令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，又，时，，时，，故，即的取值范围为；由可得，则是方程即的两个实数根，因为是方程的两个实数根，是方程的两个实数根，且，所以，则，所以，又，由对勾函数性质可知在上单调递增，故，即的取值范围为.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是借助导数，得到是方程的两个实数根，是方程的两个实数根，从而得到.15．(1)3600；(2)3720；(3)360.【分析】（1）利用不相邻排列问题列式计算即得.（2）不考虑限制条件的排列，去掉第一节排体育或最后一节排数学的排列即可.（3）利用相邻问题的排列，结合定序问题倍缩法列式计算即得.【详解】（1）先排除物理、历史外的将其他5科，有种排法；将物理，历史插入上述的每种排法形成的6个间隙中，有种排法，所以物理，历史不能排在一起共有种排法.（2）不考虑条件限制，7节课共有种排法，第一节排体育有种排法；最后一节排数学有种排法，而第一节排体育，且最后一节排数学有种排法，所以第一节不排体育，最后一节不排数学，有种排法.（3）数学、语文、历史视为一个整体，与其它4门课一起排列，有种排法，其中体育排在物理后面的占，数学、语文、历史的排列有种，所以满足条件的排法有种.16．(1)6(2)1270【分析】（1）写出通项，结合已知代数计算即可；（2）由通项求出有理项的系数，计算即可.【详解】（1）依题意，展开式的通项公式显然第三项系数为，第四项系数为，因此，解得，所以的值为6.（2）知，当时，对应的项是有理项，当时，展开式中对应的有理项为：.当时，展开式中对应的有理项为.当时，展开式中对应的有理项为.所以展开式中有理项的系数之和为．17．(1)(2)(3)不相互独立【分析】（1）先记事件为“第一次取到黑球”，事件为“第二次取到黑球”，则事件为“两次都取到黑球”，由古典概型的概率，即可求出结果；（2）由条件概率公式即可求得；（3）计算出，得到，则可判断事件“第次抽到黑球”与“第次抽到黑球”不互相独立.【详解】（1）设“第1次抽到黑球”，“第2次抽到黑球”，第1次抽到黑球且第2次也抽到黑球的概率为.（2）依题意知，又，则在第1次抽到黑球的条件下第2次抽到黑球的概率为.（3）第1次抽到黑球的概率，第2次抽到黑球的概率.所以，由（1）知，所以，则事件“第1次抽到黑球”与“第2次抽到黑球”不相互独立.18．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导函数的符号求的单调区间；（2）分、和三种情况结合（1）中的单调区间求函数最小值.【详解】（1）由题意可知：的定义域，其导函数，当，则在内恒成立，可知的单调递增区间为，无单调递减区间；当，令，解得；令，解得；则的单调递增区间为，单调递减区间为；综上所述：当，的单调递增区间为，无单调递减区间；当，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）因为，由（1）可知：当，在上单调递增，则在上最小值为；当，在上单调递减，在上单调递增，所以在上最小值为；当时，在上单调递减，所以在上最小值为.19．(1)，单调递增区间为，，无单调递减区间(2)【分析】（1）首先得到，再求出导函数，即可得到切线的斜率，再由两点的斜率公式求出，再利用导数求出的单调区间；（2）依题意可得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，结合（1）中函数的单调性，得到在区间上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，利用导数说明，即可得解.【详解】（1）因为，所以，又，则，又函数的图象在处的切线经过点，所以，解得，所以，函数的定义域为，又，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以当时恒成立，即恒成立，所以在，上单调递增.即的单调递增区间为，，无单调递