2023-2024学年江苏江阴市高二数学下学期期中考试卷附答案解析_第1页
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文档简介

-2024学年江苏江阴市高二数学下学期期中考试卷(满分150分,时间120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题只有一个正确选项,每题5分,共40分.)1.已知,则=(

)A. B. C. D.2.函数的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是(

A. B.C. D.3.已知在上单调递增,则的取值范围(

)A. B. C. D.4.在的展开式中,的系数为(

)A. B.21 C. D.155.将数字“322469”重新排列后得到不同的偶数个数为(

)A.240 B.192 C.120 D.726.展开式中的系数为(

)A.60 B. C.30 D.7.在一个具有五个行政区域的地图上(如图),用5种颜色给这五个行政区着色,若相邻的区域不能用同一颜色,则不同的着色方法共有(

)A.420种 B.360种 C.540种 D.300种8.若函数有两个零点,则的取值范围为(

)A. B. C. D.二、多项选择题(本大题共3小题,每题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得2分或4分,有选错的得0分.)9.已知的展开式中,各项的二项式系数之和为64,则()A. B.第3项的二项式系数最大C.常数项为60 D.所有系数之和为10.甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》,《飞驰人生2》,《第二十条》三部电影,每人都要看且限看其中一部.记事件为“恰有两名同学所看电影相同”,事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”,则()A.四名同学看电影情况共有种B.“每部电影都有人看”的情况共有72种C.D.“四名同学最终只看了两部电影”的概率是11.已知函数,则下列选项正确的是(

)A.在上单调递增B.恰有一个极大值C.当时,无实数解D.当时,有三个实数解三、填空题(本大题共3小题,每题5分,共15分.)12.已知,则正整数=.13.已知在点处的切线与只有一个公共点,则的值.14.已知函数有两个极值点,则的取值范围为;若函数有两个极值点,则的取值范围是.四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)15.某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语、化学共7节课.(1)如果物理和历史不能排在一起,则有多少种不同的排法?(2)如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排法?(3)如果历史,语文,数学必须相邻,体育排在物理后面(不一定相邻),共有多少种排法?16.已知展开式中,第三项的系数与第四项的系数比为.(1)求的值;(2)求展开式中有理项的系数之和.17.一个不透明的袋子中,放有大小相同的5个球,其中3个黑球,2个白球,不放回的依次取出2个球,求:(1)求第次抽到黑球且第次也抽到黑球的概率;(2)已知第次抽到黑球,则第次抽到黑球的概率;(3)判断事件“第次抽到黑球”与“第次抽到黑球”是否互相独立.18.函数.(1)求的单调区间;(2)求在上最小值.19.已知函数的图象在处的切线经过点.(1)求的值及函数的单调区间;(2)若关于的不等式在区间上恒成立,求正实数的取值范围.1.B【分析】根据初等函数的导数公式求解.【详解】因为,所以.故选:B2.C【分析】根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系.【详解】

设,由图可得,而,故,故选:C.3.A【分析】由题意可得在上恒成立,分离参数,结合函数的单调性,即可求得答案.【详解】由在上单调递增,得在上恒成立,即,恒成立,而在上单调递增,即,故,故选:A4.A【分析】含的项是由的6个括号中的5个括号取x,1个括号取常数,从而得到答案.【详解】含的项是由的6个括号中的5个括号取x,1个括号取常数,所以展开式含的项的系数为:.故选:A.5.A【分析】考虑到该六位数中有两个2,故按照分类加法计数原理计算,对于个位是4或6的两类,只需排好另外三个数字即可,对于个位是2的一类,则可以考虑另5个数字全排即得.【详解】依题意,因这个六位数中有两个“2”,故不能直接将其与其他数字全排,否则会出现重复.可将这样的偶数分成三类:第一类,个位排4,在前面五位数位中,只需选三个排上数字3,6,9即可(剩下两个数位即排2),有种方法;第二类,个位排6,与第一类相同,有种方法;第三类个位排2,则前面五个数位只需将另外5个数字全排即可,有种方法.由分类加法计数原理,不同的偶数个数为.故选:A.6.B【分析】把看做整体,则,从中找到含有的项即可.【详解】,要找到展开式中含有的项,需从中找到含有的项,即,故的系数为.故选:B.7.A【分析】先分类,再分步进行.先分颜色种类为3,4,5,再分步计算.【详解】选用三种颜色时,必须1,5同色,2,4同色,此时有种;选用四种颜色时,必须1,5同色或2,4同色,此时有种;选用五种颜色时,有种,所以一共有种,故选:A.8.A【分析】利用函数零点的意义,分离参数,构造函数,转化为直线与函数的图象有两个公共点问题求解.【详解】函数的定义域为R,由,得,令函数,依题意,直线与函数的图象有两个公共点,而,显然函数在R上单调递减,当时,,则当时,,当时,,即函数在上递增,在上递减,当时,,,而当时,恒成立,于是当且仅当时,直线与函数的图象有两个公共点,所以函数有两个零点,的取值范围为.故选:A【点睛】思路点睛:已知函数的零点或方程的根的情况,求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题,求解此类问题的一般步骤:①转化,即通过构造函数,把问题转化成所构造函数的零点问题;②列式,即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式;③得解,即由列出的式子求出参数的取值范围.9.AC【分析】根据给定条件,利用二项式系数的性质求出,再利用二项式定理逐项判断即可.【详解】对于A,由的展开式各项的二项式系数之和为64,得,解得,A正确;对于B,的展开式共7项,则第4项的二项式系数最大,B错误;对于C,展开式的常数项为,C正确;对于D,取,得展开式的所有项系数之和为1,D错误.故选:AC10.ACD【分析】根据分步乘法计数原理可判断A;将四名同学先分组,再分到三部电影可判断B;由条件概率可判断C;先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数,再结合A选项可判断D.【详解】对于A,由题意可知,甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择,故四名同学的报名情况共有种,A正确;对于B,现将四名志愿者分为2,1,1三组,共有种情况,再将其分到三个活动中,共有种,由分步乘法计数原理得到种,故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种,B错误;对于C,由已知有:,,所以,C正确;对于D,“四名同学最终只报了两个项目”的概率是,D正确.故选:ACD.11.BCD【分析】分类讨论去掉绝对值符号后求导数确定单调性、极值判断AB,利用极值判断方程的实根个数判断C,利用数形结合思想判断D.【详解】对于A,当时,,当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.当时,,在上单调递增,A错误;对于B,由以上讨论知是的极大值点,B正确;对于C,当时,,当时,,所以当时,无实数解,C正确;对于D,当时,,由以上讨论知当时,.而,作出的大致图象如图所示.如图可知,有三个实数解,所以有三个实数解,D正确.故选:BCD.12.4【分析】由组合数和排列数公式列方程求解.【详解】因为,即,解得,满足题意.故答案为:413.4或0【分析】求出的导数,求得切线的斜率,可得切线方程,再由于切线与曲线只有一个公共点,进而可联立切线与曲线方程消元得到一元二次方程,由可得到a的值.【详解】的导数为,曲线在点处的切线斜率为,则曲线在点处的切线方程为,即,由于切线与曲线只有一个公共点,联立与,得有且只有一解,则,即,解得或.故答案为:或.14.【分析】对函数求导,将问题进行转化为是方程的两个实数根,是方程的两个实数根.设,由导数可得在处取得极小值,由,得,再利用对勾函数性质即可得解.【详解】由可得,则是方程的两个正实数根,令,则,当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增,又,时,,时,,故,即的取值范围为;由可得,则是方程即的两个实数根,因为是方程的两个实数根,是方程的两个实数根,且,所以,则,所以,又,由对勾函数性质可知在上单调递增,故,即的取值范围为.故答案为:;.【点睛】关键点点睛:本题的解题关键点是借助导数,得到是方程的两个实数根,是方程的两个实数根,从而得到.15.(1)3600;(2)3720;(3)360.【分析】(1)利用不相邻排列问题列式计算即得.(2)不考虑限制条件的排列,去掉第一节排体育或最后一节排数学的排列即可.(3)利用相邻问题的排列,结合定序问题倍缩法列式计算即得.【详解】(1)先排除物理、历史外的将其他5科,有种排法;将物理,历史插入上述的每种排法形成的6个间隙中,有种排法,所以物理,历史不能排在一起共有种排法.(2)不考虑条件限制,7节课共有种排法,第一节排体育有种排法;最后一节排数学有种排法,而第一节排体育,且最后一节排数学有种排法,所以第一节不排体育,最后一节不排数学,有种排法.(3)数学、语文、历史视为一个整体,与其它4门课一起排列,有种排法,其中体育排在物理后面的占,数学、语文、历史的排列有种,所以满足条件的排法有种.16.(1)6(2)1270【分析】(1)写出通项,结合已知代数计算即可;(2)由通项求出有理项的系数,计算即可.【详解】(1)依题意,展开式的通项公式显然第三项系数为,第四项系数为,因此,解得,所以的值为6.(2)知,当时,对应的项是有理项,当时,展开式中对应的有理项为:.当时,展开式中对应的有理项为.当时,展开式中对应的有理项为.所以展开式中有理项的系数之和为.17.(1)(2)(3)不相互独立【分析】(1)先记事件为“第一次取到黑球”,事件为“第二次取到黑球”,则事件为“两次都取到黑球”,由古典概型的概率,即可求出结果;(2)由条件概率公式即可求得;(3)计算出,得到,则可判断事件“第次抽到黑球”与“第次抽到黑球”不互相独立.【详解】(1)设“第1次抽到黑球”,“第2次抽到黑球”,第1次抽到黑球且第2次也抽到黑球的概率为.(2)依题意知,又,则在第1次抽到黑球的条件下第2次抽到黑球的概率为.(3)第1次抽到黑球的概率,第2次抽到黑球的概率.所以,由(1)知,所以,则事件“第1次抽到黑球”与“第2次抽到黑球”不相互独立.18.(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】(1)求导,分和两种情况,结合导函数的符号求的单调区间;(2)分、和三种情况结合(1)中的单调区间求函数最小值.【详解】(1)由题意可知:的定义域,其导函数,当,则在内恒成立,可知的单调递增区间为,无单调递减区间;当,令,解得;令,解得;则的单调递增区间为,单调递减区间为;综上所述:当,的单调递增区间为,无单调递减区间;当,的单调递增区间为,单调递减区间为;(2)因为,由(1)可知:当,在上单调递增,则在上最小值为;当,在上单调递减,在上单调递增,所以在上最小值为;当时,在上单调递减,所以在上最小值为.19.(1),单调递增区间为,,无单调递减区间(2)【分析】(1)首先得到,再求出导函数,即可得到切线的斜率,再由两点的斜率公式求出,再利用导数求出的单调区间;(2)依题意可得在区间上恒成立,即在区间上恒成立,结合(1)中函数的单调性,得到在区间上恒成立,参变分离可得在区间上恒成立,利用导数说明,即可得解.【详解】(1)因为,所以,又,则,又函数的图象在处的切线经过点,所以,解得,所以,函数的定义域为,又,令,则,所以当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,所以当时恒成立,即恒成立,所以在,上单调递增.即的单调递增区间为,,无单调递

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