湖北省黄冈市武学中学高三数学文月考试题含解析

湖北省黄冈市武学中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.(文科)某中学有学生3000人，其中高一、高三学生的人数是1200人、800人，为了解学生的视力情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个480人的样本，则样本中高一、高二学生的人数共有（

）人。

A.288

B.300

C.320

D.352参考答案：D略2.在底面直径和高均为a的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大体积为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.函数在区间[－1,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是（

）A. B.(－∞,0] C. D.参考答案：D【分析】就分类讨论，后者需结合对称轴来讨论.【详解】若，则，在区间上是增函数，符合.若，因为在区间上是增函数，故，解得.综上，.故选：D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.4.如图所示为函数的部分图像，其中A,B两点之间的距离为5，那么A. B. C. D.1参考答案：D略5.点为圆内一条弦的中点，则直线的方程（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C6.如图是2013年某市举行的名师评选活动，七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4参考答案：C【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】正确读出相关数据，再利用平均数和方差公式计算．【解答】解：去掉最高分93，去掉最低分79，剩下5个数据：84，84，84，86，87，所以平均数为，方差等于．故选C7.已知正方体的棱长为2，点分别是该正方体的棱的中点，现从该正方体中截去棱锥与棱锥，若正（主）视方向如图所示，则剩余部分的几何体的侧（左）视图为（

）参考答案：8.如图，已知、为双曲线：的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足,，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为(

▲

)A． B．C． D．参考答案：B9.已知点A，B，C不共线，且有，则有（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：答案：A10.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由2x<1得x<0，由“x3<1”得x＜1，x<0是x＜1的充分不必要条件则“2x<1”是“x3<1”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量p＝(1，－2)，q＝(x,4)，且p∥q，则p·q的值为________．参考答案：-10略12.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+|的最小值为

．参考答案：3【分析】由题意画出图形，把求|+|的最小值转化为求直角梯形ABCD的中位线长得答案．【解答】解：如图，以PA、PB为邻边作平行四边形PAQB，则=，要使||取最小值，只需||取最小值，∵E为AB的中点，故当PE⊥CD时，||取最小值，这时PE为梯形的中位线，即（|BC|+|AD|）=，故=3．故答案为：3．13.已知关于x的不等式的解集不是空集，则a的最小值是__________。参考答案：-914.已知1，，9成等比数列，则实数等于

。参考答案：（丢一个不给分）15.在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上，若圆上存在点M，使，则圆心的横坐标的取值范围为

参考答案：略16.过点，且与直线垂直的直线方程是.参考答案：直线的斜率为1，所以过点，且与直线垂直的直线的斜率为，所以对应方程为，即。17.函数的单调减区间为

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.运货卡车以每小时x千米的匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米／小时）.假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（）升，司机的工资是每小时14元.（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.参考答案：（Ⅰ）设所用时间为….所以，这次行车总费用y关于x的表达式是（或，）（Ⅱ）仅当，即时，上述不等式中等号成立答：当km/h时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元19.（2017?深圳一模）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用分段函数的性质即可得出．（2）利用（1），结合频率分布直方图的性质即可得出．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．结合频率分布直方图的性质即可得出．【解答】解：（1）当0≤x≤200时，y=0.5x；当200＜x≤400时，y=0.5×200+0.8×（x﹣200）=0.8x﹣60，当x＞400时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）=x﹣140，所以y与x之间的函数解析式为：y=．（2）由（1）可知：当y=260时，x=400，则P（x≤400）=0.80，结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，∴a=0.0015，b=0.0020．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．当x=50时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，当x=150时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，当x=250时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，当x=350时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，当x=450时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，当x=550时，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．故Y的概率分布列为：Y2575140220310410P5所以随机变量Y的数学期望EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5．【点评】本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率？参考答案：见解析．解：若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果有：，，，，，，，，共计9个，选出的2名教师性别相同的结果有，，，，共计4个．故选出的2名教师性别的概率为．21.某工厂生产两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7．5为正品，小于7．5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：777．599．568．58．5

由于表格被污损，数据看不清，统计员只记得，且两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．（Ⅰ）求表格中与的值；（Ⅱ）若从被检测的5件种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．参考答案：(Ⅰ)因为，

由，得．

①

……………2分

因为，

由，得．

②

………4分

由①②解得或，因为，所以．

…6分(Ⅱ)记被检测的5件种元件分别为，其中为正品，从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:，，，，，，，，，，………8分[来源:Z§xx§k.Com]记“2件都为正品”为事件，则事件包含以下6个基本事件：，，，，，.……………10分所以，即2件都为正品的概率为.

…12分22.（16分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=a，（an+1）（an+1+1）=6（Sn+n），n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若对于?n∈N*，都有Sn≤n（3n+1）成立，求实数a取值范围；（3）当a=2时，将数列{an}中的部分项按原来的顺序构成数列{bn}，且b1=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{bn}．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（an﹣1+1）（an+1）=6（Sn﹣1+n﹣1），可得（an+1）（an+1﹣an﹣1）=6（an+1），因此an+1﹣an﹣1=6，分奇数偶数即可得出．（2）当n为奇数时，，由Sn≤n（3n+1）得，恒成立，利用单调性即可得出．当n为偶数时，，由Sn≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，即可得出．（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则an=3n﹣1，所以an=3n﹣1．解法1：令等比数列{bn}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），可得5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…．因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，可得数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，进而证明结论．解法2：设，所以公比．因为等比数列{bn}的各项为整数，所以q为整数，取，则q=3m+1，故，由得，，n≥2时，，可得kn是正整数，因此以数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，（a1+1）（a2+1）=6（S1+1），故a2=5；当n≥2时，（an﹣1+1）（an+1）=6（Sn﹣1+n﹣1），所以（an+1）（an+1+1）﹣（an﹣1+1）（an+1）=6（Sn+n）﹣6（Sn﹣1+n﹣1），即（an+1）（an+1﹣an﹣1）=6（an+1），又an＞0，所以an+1﹣an﹣1=6，…（3分）所以a2k﹣1=a+6（k﹣1）=6k+a﹣6，a2k=5+6（k﹣1）=6k﹣1，k∈N*，故…（2）当n为奇数时，，由Sn≤n（3n+1）得，恒成立，令，则，所以a≤f（1）=4．…（8分）当n为偶数时，，由Sn≤n（3n+1）得，a≤3（n+1）恒成立，所以a≤9．又a1=a＞0，所以实数a的取值范围是（0，4]．…（10分）（3）证明：当a=2时，若n为奇数，则an=3n﹣1，所以an=3n﹣1．解法1：令等比数列{bn}的公比q=4m（m∈N*），则．设k=m（n﹣1），因为，所以5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，所以数列{bn}是数列{an}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对