材料习题解答第五章

材料习题解答[第五章]5-1构件受力如图5-26所示。试：(1)确定危险点的位置；(2)用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。（a）（（a）（b）（c）（d）解：a)1)危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。b)1)危险点的位置：外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点；2）应力状态见下图。c)1)危险点：A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；2）应力状态见下图。d)1）危险点：杆件表面上各点；2）应力状态见下图。a)b)a)b)c)d)5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa）。c)b)a)c)b)a)题5-2图解：a)=50MPa,==0,属于单向应力状态b)=40MPa,=0,=－30MPa，属于二向应力状态c)=20MPa,=10MPa,=－30MPa，属于三向应力状态5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa）。试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。c)b)a)c)b)a)题5-3图解：取水平轴为x轴，则根据正负号规定可知：=50MPa,=30MPa,=0,α=－30带入式（5-3），（5-4）得=45MPa=-8.66MPa取水平轴为x轴，根据正负号规定：=-40MPa,=0,=20MPa,α=120带入公式，得：=7.32MPa==7.32MPa取水平轴为x轴，则=-10MPa,=40MPa,=-30MPa,α=30代入公式得：按代数值得MPa，MPa，MPa由公式（5-7）可求得主应力方向=，=最大主应力的方向与x轴正向夹角为顺时针3）最大切应力由公式（5-20）MPab）解：（1）求指定斜截面上的应力取水平轴为x轴，=60MPa,=-20MPa,=-30MPa,α=-30代入公式得:=14.02MPa==-49.64MPa(2)求主应力及其方向，由公式（5-8）得：MPa按代数值得MPa，MPa，MPa由公式（5-7）可求得主应力方向=，=最大主应力的方向与x轴正向夹角为逆时针如图所示：3）最大切应力由公式（5-20）MPac)解:取水平轴为x轴，则=60MPa,=0,=-40MPa,α=-150代入公式得：=79.64MPa==5.98Mpa(2)求主应力及其方向，由公式（5-8）得：MPa按代数值得MPa，MPa，MPa由公式（5-7）可求得主应力方向=，=最大主应力的方向与x轴正向夹角为逆时针如图所示：3）最大切应力由公式（5-20）5-5已知一点的应力状态如图5-30所如图所示（应力状态为MPa）。试用图解法求：(1)指定斜截面上的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。c)b)a)c)b)a)题5-5图解：(1)求指定斜截面上的应力由图示应力状态可知=40MPa,=20MPa,=10MPa,=-10MPa由此可确定-面内的D、D’两点，连接D、D’交于C。以C为圆心，DD’为直径可做应力圆，斜截面与x轴正方向夹角为60，在应力圆上，由D逆时针量取120得E点，按比例量的E点坐标即为斜截面上的正应力和切应力：=60MPa，=3.7MPa（2）求主应力及其方程应力圆中A、B两点横坐标对应二向应力状态的两个主应力：==44.14MPa，==15.86Mpa按照得约定，可得三个主应力为：=44.14MPa，=15.86MPa，=0MPa由D转向A的角度等于2。量得2=45（顺时针）因此，最大主应力与x轴正方向夹角为顺时针22.5。（3）最大切应力等于由画出的应力圆的半径=22.07MPab)解：首先做应力圆：其中D（0，-20）D（50，+20）1）斜截面与y轴正方向夹角45（逆），因此从D逆时针量2=90得E点：==5MPa，==25Mpa2)==57MPa，==-7Mpa按照得=57MPa，=0MPa，=-7MPa主应力方向：最大主应力与y轴夹角为（顺）3)最大切应力等于由画出的应力圆的半径：MPa(c)解：由图示应力状态可得应力圆上两点D（-20，20）和D（30，-20）连DD交轴于C,以C为圆心，DD为直径作圆，即为应力圆，如图所示斜截面与x轴正方向夹角为60(顺),因此由D顺时针量120得E点==34.82MPa，==11.65MPa主应力及其方位应力圆与轴的两个交点A,B的横坐标即为两个主应力：==37MPa，==-27Mpa因此=37MPa，=0MPa，=-27MPa由D到A的夹角为逆时针38.66，因此最大主应力为由y轴正方向沿逆时针量19.33所得截面上的正应力。3）最大切应力为由画出的应力圆半径MPa5-6一矩形截面梁，尺寸及载荷如图5-31所示，尺寸单位为mm。试求：(1)梁上各指定点的单元体及其面上的应力；(2)作出各单元体的应力圆，并确定主应力及最大切应力。题5-6图解：各点的单元体及应力由梁的静力平衡求得kNA,B,C三点所在截面上的弯矩Nm剪力kNPa=93.75MPa（压应力）MPa（压应力）MPaMPa作各单元体的应力圆A点：MPa，=46.875MPaB点：MPa，MPa，，=27.3MPaC点：18.75MPa，0，=-18.75MPa，=18.75MPa5-7试用解析法求图5-32所示各单元体的主应力及最大切应力（应力单位为MPa）。c)a)b)c)a)b)题5-7图解：主应力MPa，由于其它两方向构成纯剪切应力状态，所以有，=50MPa。b)一个主应力为50MPa，其余两个方向应力状态如图所示=30MPa，=-20MPa，=20MPa代入公式（5-8）MPa所以=50MPa，=37MPa，=-27MPa==MPa一个主应力为-30MPa，其余两方向应力状态如图所示取=120MPa，=40MPa，=-30MPa代入公式MPa所以=130MPa，=30MPa，=0MPa==MPa5-8单元体各面上的应力如图5-33所示。试作三向应力图，并求主应力和最大切应力。题5-8图解：a)三个主应力为三向应力圆可作如下b)这是一个纯剪切应力状态其三向应力圆为=τ三向应力状态：一个主应力为零先做一二向应力状态的应力圆，得再由和分别作应力圆三个应力圆包围的阴影部分各点对应三向应力状态5-9二向应力状态如图5-34所示。试作应力圆并求主应力（应力单位为MPa）。题5-9图解：画出二向应力状态的单元体，取水平方向为x轴，则=？,=50MPa,=？，α=30时=80MPa,=0代入式（5-3）（5-4）=80Mpa=0=70MPa,=MPa可做应力圆如图所示由应力圆可求的三个主应力分别为=80MPa，=40MPa，=0MPa最大切应力为=40MPa5-10图5-35所示棱柱形单元体为二向应力状态，AB面上无应力作用。试求切应力τ和三个主应力。题5-10图解：画出二向应力状态单元体，取水平方向为x轴则=15MPa,=-15MPa,=τ，α=135时=0,=0代入式（5-3）（5-4）=0=0(自然满足)由上式解得=15MPa主应力可由公式（5-8）求MPa因此三个主应力为：=0，=0，=-30MPaMPa5-11已知单元体的应力圆或三向应力图如图5-36所示（应力单位为MPa）。试画出单元体的受力图，并指出应力圆上A点所在截面的位置。c)b)a)c)b)a)d)e)f)题5-11图5-12图5-37所示单元体为二向应力状态。已知：。试求主应力和最大切应力。题5-12图解：=80MPa,=40MPa,=τ，=50MPa,α=60将以上已知数据代入公式（5-3）=0再把，，代入公式（5-8）求主应力MPa因此三个主应力为：=80MPa，=40MPa，=-30MPa==40MPa5-13如图5-38所示单元体处于二向应力状态。已知两个斜截面α和β上的应力分别为；。试作应力圆，求出圆心坐标和应力圆半径R。题5-13图解：已知=40MPa,=200MPa,=60MPa,=60MPa由上面两组坐标可得应力圆上两点D1,D2,连D1D2,作其垂直平分线交σ轴于C点，以C为圆心，CD为半径作圆即为所求应力圆。由图中几何关系可得圆心坐标C(120,0)半径=1005-14今测得图5-39所示受拉圆截面杆表面上某点K任意两互垂方向的线应变和。试求所受拉力F。已知材料弹性常数E、ν，圆杆直径d。题5-14图解：围绕K点取单元体，两截面分别沿ε’和ε”方向。如下图所示由广义胡克定律联求解得我们还可以取K点的单元体如下，即沿杆件横截面，纵截面截取根据单元体任意两相互垂直截面上的正应力之和为一常量得： 又=所以F=A=5-15今测得图5-40所示圆轴受扭时，圆轴表面K点与轴线成30°方向的线应变。试求外力偶矩T。已知圆轴直径d,弹性模量E和泊松比ν。题5-15图解：围绕K点沿ε30方向和与之垂直的方向取单元体如左图由沿横纵截面单元体如右图由公式（5-3、5-4)得:由胡克定律又τ=，所以5-16一刚性槽如图5-41所示。在槽内紧密地嵌入一铝质立方块，其尺寸为10×10×10mm3，铝材的弹性模量E=70GPa，ν=0.33。试求铝块受到F=6kN的作用时，铝块的三个主应力及相应的变形。题5-16图解：F力作用面为一主平面，其上的正应力为MPa=-60MPa前后面为自由表面，也为主平面，=0由题意知=0由胡克定律=所以==所以5-17现测得图5-42所示受扭空心圆轴表面与轴线成45°方向的正应变，空心圆轴外径为D,内外径之比为α。试求外力偶矩T。材料的弹性常数E、ν均为已知。题5-17图解：受扭圆轴表面上任一点均为纯剪切应力状态，纯剪切应力状态单元体上45和135面上主应力取得极大值和极小值，为主平面，=τ，=-τ由胡克定律==代入化简得所以τ=由受扭圆轴表面上一点剪应力公式5-18现测得图5-43所示矩形截面梁中性层上K点与轴线成45°方向的线应变，材料的弹性模量,。试求梁上的载荷F之值。题5-18图解：K点的应力状态如图所示其中τ由公式（3-40）求得又K点有，135方向有，代入到胡克定律有Pa比轴两式有=48000N=48kN5-19图5-44所示受拉圆截面杆。已知A点在与水平线成60°方向上的正应变，直径d=20mm，材料的弹性模量。试求载荷F。题5-19图解：A点应力状态如图所示由公式（5-3）由胡克定律又=所以=37233.7N=37.23kN5-20试求图5-45所示矩形截面梁在纯弯曲时AB线段长度的改变量。已知：AB原长为a，与轴线成45°，B点在中性层上，梁高为h，宽为b，弹性模量为E，泊松比为ν，弯矩为M。题5-20图解：求AB的伸长量需先求AB方向的应变，去AB中点位置C其应力状态如图所示，其中==由此可求出AB方向及与其垂直方向的正应力由胡克定律5-21用45°应变花测得受力构件表面上某点处的线应变值为ε0°=-267×10-6,ε45°=-570×10-6及ε90°=79×10-6。构件材料为Q235钢，E=210GPa，ν=0.3。试求主应变，并求出该点处主应力的数值和方向。解：由公式（5-36）可求