吉林省长春市庆阳中心学校高三数学文联考试卷含解析

吉林省长春市庆阳中心学校高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设x∈R，则“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的(

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：由于复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，故可得到x的值，再与“x=1”比较范围大小即可．解答： 解：由于复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则，解得x=1，故“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的充要条件．故答案为C．点评：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以先判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．2.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（

）

参考答案：C3.在等差数列中，有，则此数列的前13项之和为（

）A．

24

B．

39

C．

52

D．

104-参考答案：C4.已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（

）.A.

B.C.

D.参考答案：答案：D5.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（A）

（B）

（C）

（D） 参考答案：D【命题意图】本小题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的图象、复合函数的图象以及零点问题等知识点；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识；考查数形结合思想、分类与整合、函数与方程思想；考查数学抽象、数学运算和数据分析等.【试题简析】解法一：当时，，故不是函数的零点.当时，等价于，令，则，当时，，当时，，当时，；所以，①当时，在有两个零点，故在没有零点，从而，所以；②当或时，在有一个零点，故在有一个零点，此时不合题意；③当时，在有没有零点，故在有两个零点，从而.综上可得或.故选D.解法二：当时，，，①当时，在有两个零点，又当时，，故在没有零点，所以；②当或时，在有一个零点，又当时，，在上单调递减，故，不合题意；③当时，在有没有零点，此时在上必有两个零点.当时，当时，，当时，，当时，，所以，要使在上必有两个零点，只需满足.令，则，当时，，故单调递增.又，故即，解得.综上可得或.故选D.【错选原因】错选A：只会做二次函数部分，无视另一种情况，即左右各有一个零点.

错选B：用特殊值或代入，发现不成立，故排除了其他三个选项得到；

错选C：可能根本没去做，综合了A和B，于是选C.6.设变量满足约束条件则的最大值为（

）A． B．

C．

D．参考答案：C7.已知函数f(x)满足：，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.现有四个函数：①y=xsinx，②y=xcosx，③y=x|cosx|，④y=x?2x的部分图象如下，但顺序被打乱了，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是（）A．①②③④ B．②①③④ C．③①④② D．①④②③参考答案：D【考点】函数的图象．

【专题】函数的性质及应用．【分析】依据函数的性质与图象的图象对应来确定函数与图象之间的对应关系，对函数的解析式研究发现，四个函数中有一个是偶函数，有两个是奇函数，还有一个是指数型递增较快的函数，由这些特征接合图象上的某些特殊点判断即可．【解答】解：研究发现①是一个偶函数，其图象关于y轴对称，故它对应第一个图象②③都是奇函数，但②在y轴的右侧图象在x轴上方与下方都存在，而③在y轴右侧图象只存在于x轴上方，故②对应第三个图象，③对应第四个图象，④与第二个图象对应，易判断．故按照从左到右与图象对应的函数序号①④②③故选：D．【点评】本题考点是正弦函数的图象，考查了函数图象及函数图象变化的特点，解决此类问题有借助两个方面的知识进行研究，一是函数的性质，二是函数值在某些点的符号即图象上某些特殊点在坐标系中的确切位置．9.如果执行右面的程序框图，那么输出的S=(

)。

(A)22

(B)46(C)94

(D)190参考答案：C10.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A.点到平面的距离B.直线与平面所成的角C.三棱锥的体积D.△的面积参考答案：B试题分析：将平面延展到平面如下图所示，由图可知，到平面的距离为定值.由于四边形为矩形，故三角形的面积为定值，进而三棱锥的体积为定值.故A，C，D选项为真命题，B为假命题.考点：空间点线面位置关系.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为．参考答案：考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；压轴题．分析：由已知中圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2，由半径长、弦心距、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出BC的长，进而求出AC长，由切割线定理，得到切线AD的长．解答：解：∵圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2∴BC=2=2又∵AB=3，∴AC=5又∵AD为圆O的切线ABC为圆O的割线由切割线定理得：AD2=AB?AC=3×5=15∴AD=点评：本题考查的知识点是弦长公式，切割线定理，其中根据半径长、弦心距、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理，求出BC的长，是解答本题的关键．12.已知下列命题：

①已知表示两个不同的平面为平面内的一条直线，则“”是的充要条件；②命题“”的否定是“”；③在上是减函数；④同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币一枚为正面向上、一枚为反面向上的概率为；⑤在△ABC中，若，则A等于30o.

其中真命题的是

.（写出所有真命题的序号）参考答案：13.函数的定义域是

参考答案：略14.若变量x、y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为

．参考答案：3【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=x﹣2y的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：由图可知，当x=1，y=﹣1时，z=x﹣2y取最大值3故答案为：315.给出右面的程序框图，则输出的结果为

.参考答案：416.已知正方形ABCD，AB=2，若将沿正方形的对角线BD所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体的体积的最大值是____.参考答案：略17.已知双曲线的离心率为3，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于

．参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足.（1）证明:数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn.参考答案：（1）∵，∴，∴是等差数列，∴，即；（2）∵，∴，则，两式相减得，∴.19.（本小题满分13分）已知函数函数的最小值为.(Ⅰ)求的解析式；(Ⅱ)是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①；②当的定义域为时，值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案：解：(Ⅰ)由知令记①②③(2)当时，，故时，在上为减函数，所以在上的值域为.由题意，则有，两式相减得，又，所以，这与矛盾，故不存在满足题中条件的的值.

略20.（本小题满分14分）设数列满足：，，．（1）求的通项公式及前项和；（2）已知是等差数列，为前项和，且，.求的通项公式，并证明：．参考答案：（1）因为，又，所以，因此是首项为1，公比为3的等比数列，

……………2分所以，.

……………6分（2）设等差数列的公差为，依题意，

所以，即，故.

……………8分由此得，.…………10分所以，

……………12分.因此所证不等式成立.

……………14分21.为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级100名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30），②[30，60）③[60，90）④[90，120）⑤[120，150）⑥[150，180）⑦[180，210）⑧[210，240），得到频率布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：

利用时间充分利用时间不充分合计走读生301545住校生451055合计7525100据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住校有关？（3）若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率．参考答案：考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）由分层抽样及频率分布直方图的特点即可求得结果；（2）由分布直方图可完成表格，再将数据带入给定的公式即可；（3）先列出基本事件总数的情况，再挑出满足条件的情况即可．解答： 解：（1）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8），由图可知：P1=，P2=，∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=，由题意：n×=5∴n=100，又P3=，P5=，P6=，P7=，P8=，∴P4=1﹣（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=，∴第④组的高度为：h=，频率分布直方图如右图（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，从而2×2列联表如下：

利用时间充分利用时间不充分总计走读生301545住宿生451055总计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

K2==≈3.030，因为3.030＜3.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；（3）记第①组2人为A1、A2，第②组的3人为B1、B2、B2，则“从5人中抽取2人”所构成的基本事件空间Ω=“A1A2、A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、B1B2、B1B3、B2B3”，共10个基本事件；记“抽取2人中第①组、第②组各有1人”记作事件A，则事件A所包含的基本事件有：A1B1、A1B2、A1B3、A2