随机过程概要及概率基础

随机过程概要及概率基础二、随机数学发展概述随机现象内在规律偶然性必然性第2页,共43页，2024年2月25日，星期天3随机过程Brown运动:1827年，Brown在显微镜下发现花粉的无规则运动,将此奇怪现象公诸于世,无人能解释原因.1900年，法国数学家Bachelier给出

一维Brown运动粗略模型,其博士论文为《投机的理论》，研究证券价格的涨落，开创近代金融数学的先河，但他的结果几十年之后才得到认可.1905年,Einstein首次进行量化分析,认为花粉运动源自分子无规则热运动,每秒碰撞次.Wiener1918年发表系列论文,成功解决这一问题,故称Wiener—Einstein过程.

第3页,共43页，2024年2月25日，星期天Markov过程(1856—1922):十九世纪末用矩阵研究马氏链,开始随机过程理论.Erlang因研究电话问题得到了Poisson过程,创立了排队论.Feller研究了生灭过程.平稳过程:从辛欣研究大数定律开始，1934年完成.鞅论:莱维（Levy.PaulPierre,1886-1971）

1930－1955年创立.

杜悖(J.Doob)研究停时.随机积分:伊藤清(1915—日),87年获Wolf奖,97年有人因研究Ito微分方程的解而获诺贝尔经济奖.最优停时:1名秘书,100人应征,如何选?Gilbert和Mosteller1966年证明37%规则,前37个不要,第38个后开始超过前面就定下来,

选中最优率为1/e=0.367879.而随机取这一结果仅1%.第4页,共43页，2024年2月25日，星期天三、初步概率论第5页,共43页，2024年2月25日，星期天四、随机过程定义及分类1、定义定义域值域T(E,B)(Ω,F,B)E：状态空间,相空间,E中元素叫状态.一般为实数或复数.

B为Borel可测集全体

第6页,共43页，2024年2月25日，星期天2、分类按定义域、值域分：（1）T及E都可列（2）T可列，E非可列（3）T及E都非可列（4）T非可列，E可列其中T可列，即（1）、（2）为随机序列（时间序列）.其中E可列,即（1）、（4）为可列过程,E为有限集时为有限过程.第7页,共43页，2024年2月25日，星期天按概率关系分（1）Markov过程独立增量过程

Poisson过程Wiener过程（2）正态过程,二项过程,负二项过程（3）平稳过程,宽平稳过程(白噪声)（4）鞅我国王梓坤为概率第一人.第8页,共43页，2024年2月25日，星期天

应用随机过程

Appliedstochasticprocesses

第一章概率论的基本知识

第9页,共43页，2024年2月25日，星期天第一章1.1.概率空间一、随机试验：可重复性（同一条件）结果多个（不唯一）

试验前未知二、样本空间Ω：随机事件A为Ω的子集.

ω：样本点Ω={ω全体}三、定义域、事件域（σ－代数）1、2、3、见下面第10页,共43页，2024年2月25日，星期天

3、可列并封闭

可测空间：信息全体

四、值域、事件概率1、(非负性)2、(规范性)3、，，

(可列可加性)第11页,共43页，2024年2月25日，星期天五、称概率空间，广义测度不保证非负,不保证为1.六、性质1、单调不减2、对立事件和为13、，，

有限可加性4、无限次可加第12页,共43页，2024年2月25日，星期天七、选取方法有穷为子集全体可列为子集全体不可列为Lebesgue可测八、极限事件1、递增事件列：，，

2、递减事件列：，，第13页,共43页，2024年2月25日，星期天九、P的连续性（P与lim可交换顺序）

证明：

第14页,共43页，2024年2月25日，星期天

可列可加正项级数收敛(不超过1)考虑部分和数列

等价替换(后半部分用对偶律)

第15页,共43页，2024年2月25日，星期天十、调和级数实例.

第16页,共43页，2024年2月25日，星期天十一、统计物理模型解一（Maxwell-Boltzman)

质点可分辨，处于每个状态的质点个数任意。

解三（Fermi-Dirac)

质点不可分辨，每个状态只有一个质点。适于电子、中子、质子等Fermi子。

解二（Bose-Einstein)

质点不可分辨，处于每个状态的质点个数任意。

适于光子、介子、核

子等Bose子。

第17页,共43页，2024年2月25日，星期天1.2随机变量随机变量X分布函数:

满足：(ⅰ)单调不减；(ⅱ)右连续；(ⅲ)；(ⅳ)；

第18页,共43页，2024年2月25日，星期天一、存在性命题1.2.1：设是单调不减，右连续的函数，且有，，则必存在概率空间及其上的一个随机变量，使。证明：（略）离散的：连续的：第19页,共43页，2024年2月25日，星期天二、命题1.2.2已给n元函数，满足：(ⅰ)对任一是单调不减的，(ⅱ)对任一是右连续的，(ⅲ)

第20页,共43页，2024年2月25日，星期天(ⅳ)设，则

则必存在概率空间及其上的随机向量，使的分布函数第21页,共43页，2024年2月25日，星期天注意:

(ⅳ)不能由(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)推出反例：定义

满足(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)，但是对第22页,共43页，2024年2月25日，星期天三、(联合分布唯一确定边沿密度,反之不成立.)此例两个密度函数显然不同，密度函数非零区域相同.边缘密度如下:第23页,共43页，2024年2月25日，星期天

X边缘密度:

利用密度函数的轮换对称性,可得Y边源密度也相同均为1/2+y.第24页,共43页，2024年2月25日，星期天四、事件独立：n个事件独立，个表达式。

随机变量独立：独立，要求联合密度为边缘密度之积，即：

命题1.2.5至1.2.7知道结果就行.其中，第25页,共43页，2024年2月25日，星期天五、随机变量相互独立六、若随机变量相互独立，为可测函数，，则

也相互独立.第26页,共43页，2024年2月25日，星期天例:1.2.8：已知n阶正定对称矩阵B，是n维随机变量的密度。式中表示B的行列式的值，表示矩阵C的转置矩阵，表示矩阵B的逆矩阵。下面证明因为B对称正定，故存在正交阵T，使：第27页,共43页，2024年2月25日，星期天其中是B的特征值且。

作变换,右乘T,,可得因为，第28页,共43页，2024年2月25日，星期天第29页,共43页，2024年2月25日，星期天所以

是n维正态分布的密度函数.例:1.2.9:事件A的示性函数:第30页,共43页，2024年2月25日，星期天1.3随机变量的数字特征一、数学期望（mean,mathematicalexpectation)连续型（绝对可积条件下）离散型（绝对收敛条件下）抽象积分：第31页,共43页，2024年2月25日，星期天二、随机变量函数的期望三、矩（moment）1、普通k阶矩2、k阶绝对矩3、k阶中心矩物理上，一阶矩是重心，二阶矩是转动惯量。第32页,共43页，2024年2月25日，星期天四、方差（二阶中心矩，variance）

方差表示稳定性：方差大，风险大；方差小，风险小。五、n维随机向量

是n维随机向量，分布函数为，为n维Borel函数，则：第33页,共4