第5讲 有理数的混合运算-基础班

第5讲有理数的混合运算

［计算(常规计算

［规律型

有理数的混合运算<［实际应用

应用，流程图

新定义

知识点1常规计算

有理数混合运算的运算顺序：

1、先乘方，再乘除，最后加减；

2、同级运算，从左到右进行；

3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.

【典例】

1.计算：(1)(-1)3-兴2-(-3)4;

(2)-22+|5-81+244-(-3)xl;

(3)—永(-2)3+(-2)2-2x|(-1)237x》l］.

【解析】解：(1)原式=7-(2-9)=-I-?(-7)=-1+£；

(2)原式=-4+|-3|-24x|x1=-4+3-1=-y.

(3)原式=(-8)^4-2x|(-1)x^+l|=lxl-2x1=1--J.

8444424

【方法总结】

根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可.本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌

握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键.

注意：绝对值符号有括号的作用.

【随堂练习】

1.(2017秋•徐州期末)计算：

(1)-120,8+|-4|+2x(-3)；

()(■备)x(2)

【解答】解：(1)原式=-1+4-6=-3；

(2)原式=15+4-14=5.

2.(2017秋•大余县期末)计算：

(1)23x(1-1)x0.5

4

(2)-22+[18-(-3)x2]+4

【解答】解：(l)23x(l-1)x0.5

4

=8XWX_L

42

=3；

(2)-22+[18-(-3)x2]+4

=-4+[18+6]+4

=-4+24+4

=-4+6

=2.

3.(2017秋•沾化区期末)计算题

(1)(-5)2x(^-)+32-^(-2)2X(-1Y)

54

(2)I-(l-A)-鼻(-4)2

9353'

【解答】解：(1)原式=-15+8x(-?)

4

=-15+(-10)

-25；

(2)原式=-17+(-17)-(-1)

5

=-34+1

5

=-33乌.

5

知识点2运算律、规律计算

有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合

律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律.

【典例】

1.计算：

(1)十一(|一找)x24；

(2)-x(-5)+(--)x9--x8；

v7222222

(3)|4・4如(-1+|-[)+告-2?-(+5)・

【解析】解：(1)原式=7-(1x24-：x24+324)=-l-(16-18+4)=-1-2

346

=-3.

(2)原式=(《)x5+(3)x9+(W)x8=-^x(5+9+8)=-步2=-7；

(3)原式=|的+()x12-4-5手(-qxl2+,x12+(6)x12-47

ZZooNN3o

=i-6+8-2-4-5=-8-.

22

【方法总结】

本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，(1)和(3)是乘法分配律的

正用，(2)是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算律的使用是解本题的关键.

2.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题.

1+3=4=22；

1+3+5=9=32;

1+3+5+7=16=42;

1+3+5+7+9=25=52;

(1)试猜想1+3+5+7+9+...+19=;

(2)试猜想1+3+5+7+9+…+(2n-1)+(2n+l)+(2n+3)=

故答案为100.

(2)1+3+5+7+9+…+(2n-1)+(2n+l)+(2n+3)

_(l+2n+3)2

=(n+2)2;

故答案为：(n+2)2;

(3)1001+1003+1005+...+2009+2017,

/1+2017、,,1+999、,

=(-*—LT~，

=10092一5(X)2,

=1018081-250000,

=768081.

【方法总结】

通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据此

规律可解答(1)(2)两题；用从1开始到2011的和减去从1开始到999的和，然后列式进

行计算即可得第(3)题的答案.

本题是对数字变化规律的考查，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题的

关键，也是本题的难点.

【随堂练习】

1.(2018•包河区二模)观察下列关于自然数的等式：

①2x0+1",

②4x2+1=32,

③8x6+1=72,

④16x14+1=152;

(1)请按规律写出第⑤个式子：；

(2)根据你发现的规律写出第n个等式，并验证其正确性.

【解答】解：(1)律写出第⑤个式子为：32x30+1=312；

故答案为：32x30+1=312；

(2)根据题意得：第n个等式为2n(2n-2)+1=(2n-1)2；

左边=22n-2n+1+l,右边=22n-2n+1+l,

••・左边=右边，

/.2n(2n-2)+1=(2n-1)2.

2.(2017秋嘟城县期末)阅读材料,求1+3+32+33+34+……+3?"7的值.

解:设S=l+3+32+33+34+...+32°"......①

①x3得:3S=3+32+33+34+35+...+32018.........②

②-①得：2s=32018-1

20181

所以s=Q%工

请你仿上述方法计算：

23

(I)1+2+2+2+...+220I7

(2)1+5+52+53+……+5n(其中n为正整数).

【解答】解：(1)设S=l+2+2?+23+……+22。17①,

则有2s=2+22+23+...+2238②,

②-①得：S=22018-1,

23

则1+2+2+2+...+22017=22018-1；

(2)设S=l+5+52+53+...+5n0,

则有5s=5+52+53+...+5向②,

②-①得：4S=5n+1-1,

贝!J1+5+52+53+...+5n=l(5n+l-1).

4

3.(2018春•工业园区期末)观察下列等式：

①lx3+l=4；②3x5+1=16；③5x7+1=36；...

根据上述式子的规律，解答下列问题：

(1)第④个等式为；

(2)写出第n个等式，并验证其正确性.

【解答】解：(1)•••第①个等式为lx3+l=4xp,

第②个等式为3x5+1=16=4x22,

第③个等式为5x7+1=36=4x32,

，第④个等式为7x9+1=4x42=64,

故答案为：7x9+1=64；

(2)由(1)知第n个等式为：(2n-1)(2n+l)+1=4/,

・左边=4/-1+1=4/=右边,

(2n-1)(2n+l)+l=4n2.

知识点3求代数式的值

重要结论：

互为相反数的两数和为0,相反数等于自身的数是0；

互为倒数的两数积为I,倒数等于自身的数有-11，倒数等于自身的自然数是1；

最大的负整数是-1,最小的正整数是I,绝对值最小的有理数是0；

【典例】

1.已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，X是最大的负整数，m是绝对值最小的数.试求

x2+(a+b+cd)x+(a+b)2017+(-cd)2017-m2°i7的值.

【解析】解：Ya,b互为相反数，c,d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的

数，

a+b=O,cd=l,x=-1,m=0,

/.x2+(a+b+cd)x+(a+b)2017+(-cd)2017-m2017

=(-1)2+(0+1)(-1)+o2O17+(-1)2017-o2017

=1-1+0-1-0

=-1

【方法总结】

首先根据a,b互为相反数,c,d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，可

得：a+b=O,cd=l,x=-1,m=0；然后代入代数式计算即可.

此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算）11页序和运算法则.

【随堂练习】

1.（2017秋•岳池县期中）小明参加“趣味数学”选修课，课上老师给出一个问题，

小明看了很为难，你能帮他一下吗？已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,|m|=2,

则包也+l+m-cd的值为多少?

in

【解答】解：■,b互为相反数,C,d互为倒数.

/.a+b=0,cd=l

又

/.m=2或-2

当m=2时，原式=0+1+2-1=2,

当m=-2时，原式=0+1-2-1=-2.

2.（2017秋•澜沧县期中）已知：a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对

值最小的数.求：代数式给+2017cd-m2018的值.

【解答】解：因为a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值最小的数，

所以a+b=0,cd=1,m=0,

所以原式=0+2017-0=2017.

3（2017秋•临泽县校级期中）已知:有理数m所表示的点到原点距离4个单位，

a,b互为相反数，且都不为零，c,d互为倒数.

求：2(a+b)-(且-3cd)7ml的值.

b

【解答】解：•有理数m所表示的点到原点距离4个单位，

，m=4或-4；

根据题意得：a+b=O,cd=l,

当m=4时，原式=-2；当m=-4时，原式=-2,

则原式的值为-2.

知识点4实际应用

利用有理数混合运算解决实际问题的一般步骤：

1.审：审清题意,找出数量关系；

2.歹11：根据所找的数量关系列出算式；

3.算：根据运算法则计算出算式的结果；

4.答：给出题目要求的答案.

【典例】

1.小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生

产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入.下表是小明妈妈某周的

生产情况(超产记为正、减产记为负)：

—

-四五六日

增减产值+10-12-4+8-1+60

(1)根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；

(2)根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具个；

(3)该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务,则超

过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？

(4)若将上面第(3)问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不

变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由.

【解析】解：(1)20-4=16(个)；

故答案为：16.

(2)V(+10)+(-12)+(-4)+(+8)+(-1)+(+6)+0

=10-12-4+8-1+6

=7,

.-.140+7=147(个).

故本周实际生产玩具147个；

故答案为：147.

(3)147x5+(10+8+6)x3+(12+4+1)x(-3)

=735+24x3+17x(-3)

=735+72-51

=756(元).

故小明妈妈这一周的工资总额是756元；

(4)147x5+7x3

=735+21

=756(元).

故小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资一样多.

【方法总结】

(1)根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具20-4=16(个)；(2)先分别把增减的量都

相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；(3)先计算每天

的工资，再相加即可求解；(4)先计算超额完成了几个玩具，然后再计算工资.

本题考查了正数与负数、有理数加减混合运算，读懂表格数据、根据题意准确列式是解题的

关键.

【随堂练习】

1.(2017秋•资中县期中)国庆黄金周期间，小明一家去峨眉山旅游.现已知峨

眉山地区海拔每升高50米，气温就下降0.3C，位于峨眉山山脚的报国寺海拔高

度约为530米，峨眉山山顶的金顶海拔高度约为3080米，某天山脚的报国寺最

低气温为14℃,此时山顶的金顶气温为多少？

【解答】解：由题意可得，

此时山顶的金顶气温为：14+(3080-530)+50x(-0.3)=-1.3(℃),

答：此时山顶的金顶气温为-1.3℃.

2.(2017春•胶州市期中)在地球某地，温度T(℃)与高度d(m)的关系可以

近似地用T=10-』来表示，请解答下列问题：

(1)若在该地有一座600m高的小山，则山顶的温度是多少？

(2)若在某处测得温度为7.6C,则该项处的高度约为多少？

(3)在该地随着高度的升高，每升高1m,温度是怎样变化的？

【解答】解：(1)根据题意得：T=10-典=10-4=6℃；

150

(2)根据题意得：7.6=10-,解得：d=360m；

150

（3）由题意得：（10-得）-（10-2）=J-℃,

150150150

则每升高1m,温度会降低.

150

3.（2017秋•卫辉市期中）参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受

分段报销，保险公司规定的报销细则如下表.

住院医疗费（元）报销率（%）

不超过500元的部分0

60

超过500至1000元的部分

80

超过1000至3000元的部分

①某人住院治疗花去医疗费800元，那么此人能得到保险公司报销的金额是多少

元？

②某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是1260元，那么此人的实际医

疗费是多少元？

【解答】解：①（800-500）x60%=180（元）；

所以，此人能得到保险公司报销的金额是180元；

②设此人的医疗费为x元.

如果医疗费是3000元，报销金额就是500x60%+2000x80%=1900（元）；

如果医疗费是1000元，报销金额就是500x60%=300（元）

所以此人住院的医疗费1000<x<3000,

报销金额500x60%+(x-1000)x80%=1260,

解得x=2200.

此人住院的医疗费是2200元.

知识点5流程图计算

初中阶段的流程图一般由方框和带箭头的线(直线和折线)组成.方框里是逻辑运算，箭头

表示进行运算的顺序.

箭头指向某个方框说明需要将上一步的结果进行方框里的逻辑运算.

【典例】

1.如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5,则输出的结果为

|输入|

【解析】解:把5代入计算程序中得：［5+(-1)R(-2)=4-(-2)=-2<0,

把-2代入计算程序中得：［(-2)+(-1)R(-2)=-3-(-2)=|>0,

则输出的结果为弓,

故答案为|.

【方法总结】

此题主要考查了流程图的计算，解题的关键在于弄懂流程图每一步是做什么运算.

注意：流程图的每个逻辑运算都是独立的，一定要按箭头方向一步一步计算.将流程图转化

为算式的时候，应该加括号的地方要补上括号，不要弄错运算顺序.

【随堂练习】

1.(2018•湘西州)按照如图的操作步骤,若输入x的值为2,则输出的值是

一.（用科学计算器计算或笔算）

输入X[=>|平方|=>|乘以3|=>卜咸去10|=>|输出

【解答]解:将x=2代入得：3x（2）2-10=12-10=2.

故答案为：2.

2.（2018•朝阳区二模）如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九

章算术》中的“更相减损术”，执行程序框图，如果输入a,b的值分别为3,9,

那么输出a的值为一.

【解答】解：当a=3、b=9时,b=9-3=6；

此时a=3、b=6,b=6-3=3,

则a=b=3,

所以输出a的值为3,

故答案为：3.

知识点6新定义

定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.

解定义新运算问题，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义，然后严格按照新定义运算

的计算程序，将数值代入,转化为常规的四则运算算式进行计算.

【典例】

1.阅读下列内容，并完成相关问题：

小明说：“我定义了一种新的运算，叫米（加乘）运算.”然后他写出了一些按照米（加乘）

运算的运算法则进行运算的算式：

（+4）米（+2）=+6；（-4）*（-3）=+7；

（-5）※（+3）=-8；（+6）※（-7）=-13；

（+8）※0=8；（-9）=9.

小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的米（加乘）运算的运算法则了.”

聪明的你也明白了吗？

（1）归纳米（加乘）运算的运算法则：

两数进行米（加乘）运算时.

特别地。和任何数进行加加乘应算或任何数和0进行在加乘应算,_________________

（2）计算：［（-2）米（+3）］米［（72）米0］（括号的作用与它在有理数运算中的作用一

致）

（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的米（加乘）运算中还适用

吗？请你任选一个运算律,判断它在米（加乘）运算中是否适用，并举例验证.（举一个例

子即可子

【解析】解：（1）归纳米（加乘）运算的运算法则：

两数进行米（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加.

特别地，0和任何数进行来（加乘）运算，或任何数和0进行米（加乘）运算，都得这个数

的绝对值,

故答案为：同号得正、异号得负，用巴绝对值相加；都得这个数的绝对值.

（2）原式=（-5）米12=-17；

（3）加法的交换律仍然适用，

例如：（-3）米（-5）=8,（-5）米（-3）=8,

所以（-3）米（-5）=（-5）米（-3）,

故加法的交换律仍然适用.

【方法总结】

（1）根据题目给出的米（加乘）运算的算式，结合之前所学的加减乘除四则运算的运算法

则，即可归纳出来（加乘）运算的运算法.

（2）根据（1）中总结出的米（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，

即可求出［（-2）米（+3）怦［（-12）米0］的值.

（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用，任取两

个数a,b,通过计算说明a+Kb=b^a（或任取三个数a,b,c,通过计算说明a米b※c=a米

（b^c））即可.

此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序并注

意运算定律的应用.

【随堂练习】

1.（2017秋•宁江区期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b,规

定a^"b=ab?+2ab+a.如：1^3=lx32+2xlx3+l=16.

（1）求（-2）笊的值；

（2）若（等常）=8,求a的值.

【解答】解：(1)(-2)仑3=-2X32+2X(-2)x3+(-2)=-32；

(2)也☆3=^X32+2X_S±LX3+包=8a+8=8,

2222

解得：a=0.

2.(2017秋•漳州期末)对于有理数a、b,定义运算：a®b=ab-2a-2b+l.

(1)计算:5㊉4的值；

(2)计算：[(-2)㊉6]㊉3的值；

(3)定义的新运算“㊉”交换律是否还成立？请写出你的探究过程.

【解答】解：(1)5©4=5x4-2x4-2x5+1

=20-8-10+1

=21-18

=3；

(2)原式=[-2x6-2x(-2)-2x6+1]©3

=(-12+4-12+1)©3

=-19㊉3

=-19x3-2x(-19)-2x3+1

=-24；

(3)成立，

•・•a㊉b=ab-2a-2b+l、-2b-2a+l,

，a㊉b=b㊉a,

•••定义的新运算“㊉咬换律还成立.

3.(2017秋•乐陵市期末)我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们

介绍一种新的运算，即对数运算.

定义:如果ab=N(a>0,a^l,N>0)，则b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.

例如：因为53=125,所以log5125=3；因为"2=121,所以log”121=2.

(1)填空：log66=,log381=.

(2)如果log2(m-2)=3,求m的值.

(3)对于“对数”运算，小明同学认为有“logaMN=k)gaM・logaN(a>0,a/1,M>

0,N>0)”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请

说明理由，并加以改正.

【解答】解：(1).••61=6,34=81,

.■.loge6=l,log381=4,

故答案为：1、4；

(2)Iog2(m-2)=3,

/.m-2=23,解得：m=10；

(3)不正确，

设ax=M,ay=N,

则logaM=x,logaN=y(a>0,a#l,M、N均为正数),

Vax*ay=ax+y,

.\ax+y=M«N,

/.logaMN=x+y,

即logaMN=logaM+logaN.

综合集训

1.如图是T数值转换机的示意图，若输入X的值为2,输入y的值为-2，则输出的结果为

【解析】解：[2x3+(-2)2]内

=[6+4]+5

=10+5

=2.

故答案为：2.

2.如图，这是一个运算的流程图，输入正整数x的值，按流程图进行操作并输出y的值.例

如，若输入x=10,则输出y=5.若输出y=3,则输入的x的值为.

【解析】解：若x为偶数,可得*3,即x=6；

若X为奇数，可得|(x+1)=3,即x=5,

故答案为：5或6

3.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2,则m-cd若值为

【解析】解:根据题意得:a+b=O,cd=l,m=2或-2,

当m=2时,原式=2-1+0=1；

当m=-2时，原式=-2-1+0=-3,

故答案为1或.3.

4.计算：(1)-1-7+11+3-2+(1)；

(2)(--+-)-?(--)xZ；

'/'637'12,2

(3)-I4-(1-0.5)4X[2-(-3)4;

(4)(-2)3-13+[储沟

I)0.125x8+[—32x(-2)「

【解析】解：(1)原式=T-6|+3-2x(-3)

=-6+3+6

=3；

(2)原式=小(后)xgl;

(3)原式=-1《彩x(2-9)

=-1-1x7x(2-9)

-1-1x7x(-7)

-1-(■竺)

='2)

149

-1+T

47

,2

(4)原式=-8-135)_

')尔30.125x8+(l-9x(-2)]

_-8+13x4

-1+(1+18)

_-8+52

―1+19

_44

~20

=2.2.

5.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道嗯=1-1战W-［短W

4,4X545

那么：

1

(I)

2016x2017

(2)用含有n(n为正整数)的式子表示你发现的规律_______

111,1

(3)计算:——d-------1--------1-

1x22x33x42017X2018

【解析】解：(1)1_11

2016乂2017—20162017

(2)根据题意得：标%W1

n+1

(3)原式=1—=11_2017

223201720182018~2018

6.观察下列各式：I']2'p+23=32;13+23+33=62；13+23+33+43=102；...

(1)请写出第5条等式;

(2)说出等式左边各个幕的底数与右边幕的底数之间有什么关系？

(3)利用上述规律，计算P+23+33+43+...+10()3的值.

【解析】解：(1)13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102,

.,.13+23+33+43+53=152.

(2)左边各个幕的底数之和等于右边幕的底数.

(3)13+23+33+43+...+1003

=(1+2+3+4+...+100)2

=50502

=25502500.

7.为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增.居

民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第二

阶梯为181-260立方米之间水费价格7元/每立方米第三阶梯为260立方米以上用水量，

水价为9元/每立方米.如表所示：

供水类型阶梯户年用水量水价其中

(立方米)7K要水资源要污水处理要

第一阶梯0-180（含）52.071.571.36

第二阶梯181-260（含）74.07

第三阶梯260Utt96.07

根据以上材料解决问题：

若小明家在2017年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由.

【解析】解：180x5+(200-180)x7,

=900+140,

=1040(元).

V1040>1000,

，准备1000元的水费不够.

8.【概念学习】

规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2+2+2,(-3)+(-

3)+(-3)+(