2.3.1 解二元一次方程组（解析版）

2022-2023学年浙教版七年级下册同步培优知识点巩固+易错题辨析+中考原题呈现+拓展拔高训练2.3.1解二元一次方程组1、消元二元一次方程组中有未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的方程.进而可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数，由多化少，逐一解决的思想，叫做.练习：已知x＝2﹣t，y＝3t﹣1，用含x的代数式表示y，可得y=．2、代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.练习：解方程组：x-2y=13、代入法解二元一次方程组的一般步骤：(1)将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用的代数式表示；(2)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个方程，求得一个未知数的值；(3)把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值；(4)写出方程组的解.练习：用代入法解方程组x+2y=7①4x-y=1②，由②得y=③,把③代入①，得，解得x=，再把求得的x值代入②得，y=。原方程组的解为【答案】两个；一元一次；消元思想练习：5-3x练习：解：x-2y=1①由①得：x=2y+1③把③代入②：2(2y+1)+y=7解得：y=1把y=1代入③得：x=3所以方程组的解是x=33、含另一个未知数；一元一次练习：4x－1；x+2(4x－1)=7；1；3；x=11、已知方程组2a-3b=13,3a+5b=30.9的解是a=8.3,b=1.2,则方程组2(x+2)-3(y-1)=13,A．x=8.3,y=1.2 B．x=10.3,y=2.2 C．x=6.3,y=2.2 【答案】C【解析】在方程组2(x+2)-3(y-1)=13,3(x+2)+5(y-1)=30.9中，设x+2=a,y-1=b，则变形为方程组2a-3b=13,3a+5b=30.9,由题知所以x+2=8.3,y-1=1.2，即x=6.3,故答案为：C.2、若方程组x-(c+3)xy=3xa-2-yb+3=4是关于x，y【答案】-2或-3【解析】若方程组x-（c+3）xy=3xa-2-则c+3=0，a-2=1，b+3=1，解得c=-3，a=3，b=-2.所以代数式a+b+c的值是-2；或c+3=0，a-2=0，b+3=1，解得c=-3，a=2，b=-2所以代数式a+b+c的值是-3故答案为：-2或-33、我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题.用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只.问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（）A．87 B．84 C．81 D．78【答案】A【解析】设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z只，由题意得：x+y+z=100①有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解.令②×3－①得：7x+4y=100；所以y=令x4=t,(t为整数)所以把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t易得z=75+3t所以：x=4t,y=25-7t,z=75+3tA.当z=87时,t=4,则x=16,y=﹣3,不符合实际;B.当z=84时,t=3,则x=12,y=4,符合实际;C.当z=81时,t=2,则x=8,y=11,符合实际;D.当z=78时,t=1,则x=4,y=18,符合实际;故答案为：A.4、若方程组a1x+y=c1a2x+y=c2的解是x=2y=3，则方程组a1x+y=a1【答案】-1；-3【解析】∵方程组a1x+y=c1a2x+y=c2的解是x=2y=3

∴<m:ctrlpr<m:r<m:ctrlpr2a1+3=c1①2a2+3=c2②<m:r

由①-②，可得

2(a1-a2)=c1-c2

方程组a1x+y=a1-c1③a2x+y=a2-c2④，

由③-④，可得

(a1-a2)x=(a1-a2)-(c1-c2)

∴(a1-a2)x=(a5、已知关于x，y的二元一次方程．无论a取什么值时，方程都有一个公共的解，则这个公共解是（）【版权所有：21教育】A． B． C． D．【答案】A【解析】解：方程整理为ax﹣2x＋ay＋y＋8﹣a＝0，∴a（x＋y﹣1）﹣2x＋y＋8＝0．∵无论a取什么值时，方程都有一个公共的解，∴，解得：．故选：A．6、现有方程组x-y=m，2x+3y=3m+1，消去m，得x与A．3x＋2y＝1 B．x＋4y＝1 C．5x＋6y＝1 D．x－6y＝－1【答案】D【解析】x-y=m①2x+3y=3m+1②①代入②得2x+3y=3(x-y)+1，即2x+3y=3x-3y+1，-x+6y=1，即x-6y=-1．故答案为：D.7、在解关于x，y的方程组ax-2by=8①2x=by+2②时，小明由于将方程①的“-”，看成了“+”，因而得到的解为x=2y=1A．a=2b=2 B．x=2y=2 C．x=-2y=-3【答案】C【解析】将x=2y=1代入方程②得：4=b+2，

∴b=2，

∵小明将方程①的“-”看成了“+”，解得的解为x=2y=1，

∴2a+4=8，

∴a=2，

∴原方程组为2x-4y=8①2x=2y+2②，

将②代入①得：2y+2-4y=8，

解得y=-3，

∴2x=2×（-3）+2，

∴x=-2，

∴原方程组的解为x=-2y=-38、已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（）①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【解析】解：关于x，y的二元一次方程组，①+②得，2x+2y＝4+2a，即：x+y＝2+a，（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，∴a＝﹣2，故①正确，（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，当a＝1时，x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，因此②不正确，（3）方程组，解得，，∴x+2y＝2a+1+2-2a＝3，因此③是正确的，（4）方程组，由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，x-y＝3（4-x-3y），即；，因此④是正确的，故选：C．9、已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是.①当a＝0时方程组的解是方程x+y＝1的解；②当x＝y时，a＝﹣；③当xy＝1，则a的值为3或﹣3；④不论a取什么实数3x﹣y的值始终不变．【答案】①②④【解析】解：，据题意得：3x＝3a﹣6，解得：x＝a﹣2，把x＝a﹣2代入方程x+y＝1+4a得：y＝3a+3，当a＝0时，x＝﹣2，y＝3，把x＝﹣2，y＝3代入x+y＝1得：左边＝﹣2+3＝1，右边＝1，是方程的解，故①正确；当x＝y时，a﹣2＝3a+3，即a＝﹣，故②正确；当xy＝1时，（a﹣2）3a+3＝1，即a＝﹣1，或或故③错误3x﹣y＝3a﹣6﹣3a﹣3＝﹣9，无论a为什么实数，3x﹣y的值始终不变为﹣9，故④正确．∴正确的结论是：①②④10、知关于x，y的两个方程组和具有相同的解，则a，b的值是（）A． B． C． D．【答案】C11、方程组s+2t3=3s-t2=4【答案】s=4【解析】根据题意可得：s+2t3解得s=4故答案为s=412、甲、乙二人在一环形场地上从点A同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟后两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长.【答案】解：设乙的速度为x米/分钟，环形场地的周长为y米，则甲的速度为2.5x米/分钟，由题意，得2.5x×4-4x=y4x+300=y，即解得x=150∴甲的速度为2.5×150=375（米/分钟）答：甲的速度为375米/分钟，乙的速度为150米/分钟，环形场地的周长为900米.13、在解方程组mx+2y=6,2x+ny=8时，由于粗心，小军看错方程组中的n，得解为x=73,y=23.（1）求m，n的值；（2）求该方程组正确的解.【答案】（1）解：把x=73,y=23代入mx+2y=6解得m=2，把x=-2,y=4代λ2x+ny=8，得-4+4n=8,解得m=3（2）解：由(1)知该方程组为2x+2y=6,①②-①，得y=2，把y=2代入①，得x=1，∴该方程组的解为x=1,中考原题呈现中考原题呈现1、（2022·株洲）对于二元一次方程组y=x-1①x+2y=7②，将①式代入②式，消去yA．x+2x-1=7 B．x+2x-2=7 C．x+x-1=7 D．x+2x+2=7【答案】B2、（2021·西区）若关于x、y的方程组x+y=2ax+2y=8的解为整数，则满足条件的所有aA．6 B．9 C．12 D．16【答案】C【解析】对方程组x+y=2①ax+2y=8②，

②－①×2，得a-2x=4，∴x=4a-2，

∵关于x、y的方程组x+y=2ax+2y=8的解为整数，

∴a-2=±1，±2，±4，即a=﹣2、0、1、3、4、6。

∴满足条件的所有a的值的和为﹣2+0+1+3+4+6=12．3、（2022·沈阳）二元一次方程组x+2y=5y=2x的解是【答案】x=1y=2或4、（2021·柯桥）自行车的轮胎安装在前轮上行驶3000千米后报废，安装在后轮上，只能行驶2000千米，为了行驶尽可能多的路程，采取在自行车行驶一定路程后，用前后轮调换使用的方法，那么安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶多少千米？（）A．2300千米 B．2400千米 C．2500千米 D．2600千米【答案】B【解析】设每个轮胎报废时的总磨损量为k，

则安装在前轮每行驶1km的磨损量为k3000,则安装在前轮每行驶1km的磨损量为k2000,

设一对新轮胎交换位置前走了x千米，交换位置后走了y千米，

kx3000+ky2000=kky3000+kx20005、（2020·沂水）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为9cm2A．135cm2 B．108cm2 C．68cm2 D．60cm2【答案】A【解析】由中间还留下了一个洞，恰好是面积为9cm2∴其边长为3cm设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：3x=5yx+3=2y解得：x=15y=9∴xy=15×9=135．故答案为：A．6、（2021·澄海）已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=5bx+ay=6的解为x=4y=6那么关于m、n的二元一次方程组a(m+n)+b(m-n)=5b(m+n)+a(m-n)=6的解为【答案】m=5【解析】：∵关于x，y的二元一次方程组ax+by=5bx+ay=6的解为x=4y=6把关于m，n满足二元一次方程组a(m+n)+b(m-n)=5b(m+n)+a(m-n)=6看作关于（m+n）和（m-n∴m+n=4m-n=6解得m=5n=-1故答案为：m=5n=-17、（2022·杭州）已知x=1y=-2是二元一次方程组ax-2y=0（1）求a，b的值．（2）求方程组a(【答案】（1）解：把x=1y=-2代入方程组得：解得：a=-4（2）解：由题意得：2x+1=1解得：x=0∴方程组a(2x+18、（2022·绍兴）已知方程组ax+by=35x-cy=1甲正确地解得x=2y=3，而乙粗心地把c看错了，解得x=3y=6，试求出a、b【答案】解：由题意得：2a+3b=33a+6b=3，

解得：a=3b=-1，

把x=2y=3代入方程5x-cy=1中，

得：10-3c=1，

解得：c=3.

则a=3，9、（2022·辛集）阅读以下内容：已知x，y满足x+2y=5，且3x+7y=5m-3，2x+3y=8，求m的值．

甲同学：先解关于x，y的方程组3x+7y=5m-3，2x+3y=8，乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值．丙同学：先解方程组x+2y=5，2x+3y=8，，再求m的值．

（2）你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．请先选择思路，再解答题目．我选择▲同学的思路（填“甲”或“乙”或“【答案】解：乙；甲同学：解3x+7y=5m-3，x=13-3m把x=13-3my=2m-6代入x+2y=5，得解得：m=4乙同学：3x+7y=5m-3①①+②得5x+10y=5m+5，即：x+2y=m+1∵x+2y=5∴m+1=5解得m=4丙同学：解x+2y=5，x=1把x=1y=2代入3x+7y=5m-33+14=5m-3解得m=4综合上述，甲的解法比较繁琐，计算量大，乙同学的做法比较巧，计算量也小，所以我选乙.故答案为：乙10、（2022·丽水）已知关于x，y的方程组x+3y=7（1）写出方程x+3y=7的所有正整数解；（2）若方程组的解满足2x-3y=1，求m的值：（3）无论m取何值，方程x-3y+mx+3=0总有一个公共解，求出这个方程的公共解．【答案】（1）解：由方程x+3y=7，得x=7-3y，∴正整数解为x=4y=1；（2）解：联立得：x+3y=72x-3y=1解得：代入得：83-133（3）解：∵x-3y+mx+3=0，∴则其公共解为x=011、（2022·杭州）已知x=1y=-2是二元一次方程组ax-2y=0（1）求a，b的值．（2）求方程组a(【答案】（1）解：把x=1y=-2代入方程组得：解得：a=-4（2）解：由题意得：2x+1=1解得：x=0∴方程组a(2x+11、已知关于的二元一次方程组给出下列结论：当时，此方程组无解；若此方程组的解也是方程的解，则；无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（均为整数），其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】解：当时，方程组为，此时方程组无解；故①正确；解方程组得：，把，代入，方程左右两边相等，故②正确；解方程组得：，又为整数，若是整数，则，，2，，1，此时不是整数，、不能均为整数，故③正确．故选：D．2、已知关于x，y的方程kx-y=k-1.（1）当k=1和k=2时，所得方程组成的：方程组是x-y=0,2x-y=1,它的解是（2）当k=1和k=-2时，求所得方程组成的方程组，并求出该方程组的解.（3）猜想：无论k取何值，关于x，y的方程kx-y=k-1一定有一个解是.（4）猜想：无论k取何值，关于x，y的方程kx-y=3k-4一定有一个解是.【答案】（1）x=1（2）解：当k=1和k=-2时，所得方程组为x-y=0,①①+②得3x=3解得x=1，把x=1代入①，得y=1，则方程组的解为x=1（3）x=1,（4）x=3【解析】(1)x-y=0,①②-①，得x=1，把x=1代入①，得y=1，则方程组的解为x=1,故答案为x=1,y=1.

（3）将方程转化为k（x-1）=y-1

当x=1时，y-1=0

解之：y=1

∴无论k取何值，关于x，y的方程kx-y=k-1一定有一个解是x=1y=1

故答案为：x=1y=1.

（4）将方程转化为k（x-3）=y-4，

当解之：y=4

∴无论k取何值，关于x，y的方程kx-y=3k-4一定有一个解是x=3y=4.

故答案为：x=33、规定：形如关于x,y的方程x+ky=b与kx+y=b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1.由这两个方程组成的方程组x+ky=bkx+y=b叫做共轭方程组（1）方程3x+y=5的共轭二元一次方程是；（2）若关于x,y的方程组x+(1-a)y=b+2(2a-2)x+y=4-b为共轭方程组，则a=，b=（3）若方程x+ky=b中x,y的值满足下列表格：x-10y02则这个方程的共轭二元一次方程是.【答案】（1）x+3y=5（2）1；1（3）-1【解析】（1）方程3x+y=5的共轭二元一次方程是x+3y=5，故答案为x+3y=5.（2）由题意得，1-a=2a-2b+2=4-b且解得a=1，b=1，故答案为1，1.（3）方程x+ky=b中，当x=-1时，y=0；当x=0时，y=2.∴-1=b2k=b，解得这个方程的共轭二元一次方程是-12故答案为-124、数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B，它们表示的数分别为-3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n．（1）由题意得：点A是点B的“追赶点”，AB=1-(-3)=4(AB表示线段AB的长，以下相同)；类似的，MN=．（2）在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n．（3）若AM=BN，MN=43AM，求m和n【答案】（1）n﹣m（2）解：分三种情况讨论：①M是A、N的中点，∴n+(-3)=2m，∴n=2m+3；②A是M、N点中点时，m+n=-3×2，∴n=﹣6﹣m；③N是M、A的中点时，-3+m=2n，∴n=-3+m2（3）解：∵AM=BN，∴|m+3|=|n﹣1|．∵MN=43∴n﹣m=43∴m+3=n-13n-3m=4m+12或m+3=n-13n