专题1.12第1章三角形的初步认识单元测试（培优提升卷）-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【浙教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题1.12第1章三角形的初步认识单元测试（培优提升卷）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共24题，选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021•嘉兴）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（）A．x=2-1 B．x=2+1 C．x＝32 D【分析】根据题意，只要x2是有理数，即求出各个选项中x2的值，再判断即可．【解析】（2-1）2＝3﹣22，是无理数，不符合题意；（2+1）2＝3+22，是无理数，不符合题意；（32）2＝18，是有理数，符合题意；（3-2）2＝5﹣26故选：C．2．（2021春•玉田县期末）已知一个三角形的两条边长分别是3和5，则第三条边的长度不能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】设第三边长为x，然后再利用三边关系列出不等式，进而可得答案．【解析】设第三边长为x，由题意得：5﹣3＜x＜5+3，即：2＜x＜8，∴2不可以，符合题意，故选：A．3．（2020秋•椒江区期末）在平面内，若AB＝6，BC＝4，∠A＝30°，则可以构成的△ABC的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．不少于2个【分析】利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求出BH＝3，再根据BC＞3，可知符合条件的三角形有2个．【解析】如图，∵∠A＝30°，AB＝6，BH⊥AD，∴BH＝3，∵BC＝4＞3，∴AD边上存在两个点C，使得BC＝4，∴可以构成的△ABC的个数是2个，故选：C．4．（2020春•松北区期末）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（）A． B． C． D．【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【解析】线段BE是△ABC的高的图是选项A．故选：A．5．（2020春•常熟市期末）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，点F在BE上，且EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，则S△ABC为（）A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2【分析】根据EF＝2BF，S△BCF＝2cm2，求得S△BEC＝3S△BCF＝6cm2，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S△BDE＝S△CDE=12S△BEC＝3cm2，从而求出S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，再根据S△ABC＝2S△ABD【解析】如图，∵EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，∴S△BEC＝3S△BCF＝3×2＝6cm2，∵D是BD的中点，∴S△BDE＝S△CDE=12S△BEC＝3cm2∵E是AD的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，∴△ABC的面积为12cm2，故选：C．6．（2020秋•红桥区期末）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．∠BAD＝∠CAE B．AC＝DE C．∠ABC＝∠AED D．AB＝AE【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等判断即可．【解析】A、∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，本选项结论成立；B、∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，而AC与DE不一定相等，本选项结论不成立；C、∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠AED，而∠ABC与∠AED不一定相等，本选项结论不成立；D、∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，而AB与AE不一定相等，本选项结论不成立；故选：A．7．（2021•阳新县校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．32° B．45° C．60° D．64°【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠B＝32°，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【解析】如图所示：由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，∴∠1﹣∠2＝64°．故选：D．8．（2020秋•北海期末）将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠DFB的度数为（）A．145° B．155° C．165° D．175°【分析】利用三角形的外角性质可求出∠AFD的度数，再利用邻补角互补可求出∠DFB的度数．【解析】∵∠CDF＝∠A+∠AFD，∴∠AFD＝∠CDF﹣∠A＝45°﹣30°＝15°．又∵∠DFB+∠AFD＝180°，∴∠DFB＝180°﹣∠AFD＝180°﹣15°＝165°．故选：C．9．（2020秋•温岭市期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则下列结论：①DF+AE＞AD；②BE＝DE；③AD⊥EF；④AB：AC＝BD：CD．正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由“AAS”可证△AED≌△AFD，可得AE＝AF，DE＝DF，由三角形的三边关系可得DF+AE＞AD，由∠B不一定是45°，可得BE不一定等于DE，由线段垂直平分线的判定方法可得AD垂直平分EF，由三角形的面积公式可得BD：CD＝AB：AC，即可求解．【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△AED和△AFD中，∠BAD=∠CAD∠AED=∠AFDAD=AD∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，在△ADE中，AE+DE＞AD，∴DF+AE＞AD，故①正确；∵∠B不一定是45°，∴∠B不一定等于∠BDE，∴BE不一定等于DE，故②错误；∵AE＝AF，DE＝DF，∴AD垂直平分EF，故③正确；∵BD：CD＝S△ABD：S△ACD＝（12AB×DE）：（12×AC×∴BD：CD＝AB：AC，故④正确；故选：C．10．（2020春•松北区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，则①DH＝HC；②DF＝FC；③BF＝AC；④CE=12BFA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①根据直角三角形斜边上的中线性质进行判断；②过F作FM⊥BC于M，则FM＜FC，由角平分线定理和三角形边的关系判断便可；③根据∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，可以证明△BCD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得BD＝CD，然后证明△BDF与△CDA全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝AC，从而判断③正确；④根据BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，可以证明△ABE与△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝CE，从而判断④正确．【解析】①∵CD⊥AB于D，∴∠BDC＝90°，∵H是BC边的中点，∴DH＝CD，∴①正确；②过F作FM⊥BC于M，则FM＜FC，∵BE平分∠ABC，∴DF＝FM，∴DF＜FC，∴②错误；③∵∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠DBF+∠A＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠DBF＝∠ACD，在△BDF与△CDA中，∠DBF=∠ACDBD=CD∠BDF=∠CDA=90°∴△BDF≌△CDA（ASA），∴BF＝AC，∴③正确；④∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，∴∠ABE＝∠CBE，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴在△ABE与△CBE中，∠ABE=∠CBEBE=BE∠AEB=∠CEB=90°∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE=12AC∵AC＝BF，∴CE=12BF∴④正确．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•灌云县期中）如图，以AD为高的三角形共有6个．【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．【解析】∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故答案为：612．（2021•宁波模拟）写出一个能说明命题“若|a|＞|b|，则a＞b”是假命题的反例a＝﹣5，b＝1．【分析】写出a、b的值满足|a|＞|b|，不满足a＞b即可．【解析】因为a＝﹣5，b＝1时，满足|a|＞|b|，不满足a＞b，所以a＝﹣5，b＝1可作为说明命题“若|a|＞|b|，则a＞b”是假命题的反例．故答案为a＝﹣5，b＝1．13．（2020秋•南浔区期末）如图，已知在△ABC和△ADC中，∠ACB＝∠ACD，请你添加一个条件：BC＝DC，使△ABC≌△ADC（只添一个即可）．【分析】添加BC＝DC，再加上条件∠ACB＝∠ACD，公共边AC，可利用SAS定理判定△ABC≌△ADC．【解析】添加：BC＝DC，在△ABC和△ADC中，BC=DC∠ACB=∠ACDAC=AC∴△ABC≌△ADC（SAS）．故答案为：BC＝DC．14．（2019秋•肥西县期末）如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出4个．【分析】能画4个，分别是：以D为圆心，AB为半径画圆；以E为圆心，AC为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个），分别于D，E连接后，可得到两个三角形．以D为圆心，AC为半径画圆；以E为圆心，AB为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个），分别于D，E连接后，可得到两个三角形．因此最多能画出4个【解析】如图，可以作出这样的三角形4个．15．（2020春•叙州区期末）如图，△ABC中，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下结论：①∠ABC＝∠ACB；②∠ADC+∠ABD＝90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有①②④．（填序号）【分析】根据角平分线的定义得到∠EAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠EAD＝∠ABC，∠CAD＝∠ACB，求得∠ABC＝∠ACB，故①正确；根据角平分线的定义得到∠ADC＝90°-12∠ABC，求得∠ADC+∠ABD＝90°故②正确；根据全等三角形的性质得到AB＝CB，与题目条件矛盾，故③错误，根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到2∠BDC＝∠BAC，故④【解析】∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠ABC，∠CAD＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，故①正确；∵AD，CD分别平分∠EAC，∠ACF，∴可得∠ADC＝90°-12∠ABC∴∠ADC+12∠ABC＝90∴∠ADC+∠ABD＝90°，故②正确；∵∠ABD＝∠DBC，BD＝BD，∠ADB＝∠BDC，∴△ABD≌△BCD（ASA），∴AB＝CB，与题目条件矛盾，故③错误，∵∠DCF＝∠DBC+∠BDC，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∴2∠DCF＝2∠DBC+2∠BDC，2∠DCF＝2∠DBC+∠BAC，∴2∠BDC＝∠BAC，故④正确，故答案为：①②④．16．（2020春•天心区期末）如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中正确的是①②③．（填序号）①AC＝AF②CH＝CE③∠ACD＝∠B④CE＝EB【分析】①根据直角三角形全等的判定定理HL即可；②由角平分线的性质得到CE＝EF，根据三角形的外角性质能求出∠CHE＝∠CEA，推出CH＝CE即可得到答案；③由CD是斜边AB上的高，∠ACB＝90°，得到∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，即可得到答案；④根据边得关系即可判断．【解析】①∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠C＝90°，EF⊥AB，∴CE＝FE，∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL），∴AC＝AF，∴①正确；③∵CD是斜边AB上的高，∠ACB＝90°，∴∠CDB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴③正确；②∵∠CHE＝∠CAE+ACD，∠CEA＝∠BAE+∠B，∠ACD＝∠B，∴∠CHE＝∠CEA，∴CH＝CE，∴②正确；④在Rt△BFE中，BE＞EF，而EF＝CE，∴④错误；故答案为：①②③．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2020春•安源区期中）如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别为△ABC的高线、角平分线和中线．（1）写出图中所有相等的角和相等的线段；（2）当BF＝8cm，AD＝7cm时，求△ABC的面积．【分析】（1）角平分线平分三角形的一角；三角形高线会出现两个直角；中线平分三角形的一边；（2）根据三角形的面积公式列式即可．【解析】（1）∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE．∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF．图中所有相等的角和相等的线段为：∠BAE＝∠CAE，∠ADB＝∠ADC＝90°，BF＝CF．（2）∵BF＝CF，BF＝8cm，AD＝7cm，∴BC＝2BF＝2×8＝16cm，∴S△ABC=12BC•=12×16cm×＝56cm2．答：△ABC的面积是56cm2．18．（2021春•綦江区期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F．（1）若∠1＝∠2，试说明DG∥BC；（2）若CD平分∠ACB，∠A＝60°，求∠B的度数．【分析】（1）欲证明DG∥BC，只要证明∠BCD＝∠2即可．（2）求出∠ACB，利用三角形内角和定理即可解决问题．【解析】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠EFB＝90°，∠CDB＝90°，∴∠EFB＝∠CDB，∴EF∥CD，∴∠1＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCD，∴DG∥BC．（2）解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ACD＝30°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=12∠ACB∴∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴∠B＝60°．19．（2021春•惠来县期末）如图，在△ABC和△DEF中，边AC，DE交于点H，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．（1）若∠B＝55°，∠ACB＝100°，求∠CHE的度数．（2）求证：△ABC≌△DEF．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠A，再根据平行线的性质得出∠CHE＝∠A即可；（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【解析】（1）解：∵∠B＝55°，∠ACB＝100°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝25°，∵AB∥DE，∴∠CHE＝∠A＝25°；（2）证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中AB=DE∠B=∠DEFBC=EF∴△ABC≌△DEF（SAS）．20．（2021春•郏县期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可；（2）利用全等三角形的性质进行解答．【解析】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6cm，BE＝7×2＝14cm，∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．21．（2020秋•东海县期末）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD；（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案．【解析】（1）△OBD与△COE全等．理由如下：由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∵∠BOC＝90°，∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．∴∠COE＝∠OBD，在△COE和△OBD中，∠COE=∠OBD∠CEO=∠ODBOC=OB∴△COE≌△OBD（AAS）；（2）∵△COE≌△OBD，∴CE＝OD，OE＝BD，∵BD、CE分别为1.6m和2m，∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2﹣1.6＝0.4（m），∵AD＝1.2m，∴AE＝AD+DE＝1.6（m），答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的．22．（2020春•南岗区校级期中）已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．（1）如图1，求证：△ABE≌△CDF．（2）如图2，连接AD、BC、BF、DE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有全等的三角形（除△ABE全等于△CDF外）．【分析】（1）先求出AE＝CF，根据平行线的性质得出∠AEB＝∠CFD，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可；（2）根据全等三角形的判定定理得出全等三角形即可．【解析】（1）证明：∵AF＝CE，∴AF+EF＝CE+EF，即AE＝CF，∵BE∥DF，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE和△CDF中BE=DF∠AEB=∠CFDAE=CF∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）图2中的全等三角形有△ABC≌△CDA，△AFB≌△CED，△ADE≌△CBF，△ADF≌△CBE，△BFE≌△DEF，理由是：∵△ABE≌△CDF，∴AB＝CD，∠BAC＝∠DCA，在△ABC和△CDA中AB=CD∠BAC=∠DCAAC=CA∴△ABC≌△CDA（SAS），∴AD＝BC，∠DAC＝∠BCA，在△AFB和△CED中AB=CD∠BAF=∠DCEAF=CE∴△AFB≌△CED（SAS），∴BF＝DE，在△ADE和△CBF中AD=CB∠DAE=∠BCFAE=CF∴△ADE≌△CBF（SAS），在△ADF和△CBE中AD=CB∠DAF=∠BCEAF=CE∴△ADF≌△CBE（SAS），∴DF＝BE，在△BEF和△DFE中BF=DEBE=DFEF=FE∴△BEF≌△DFE（SSS）．23．（2020春•雨花区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB，垂足为D，延长CE与外角∠ABG的平分线交于点F．（1）若∠A＝60°，求∠DCE和∠F的度数；（2）若∠A＝n°（0＜n＜90），请直接写出∠DCE和∠F的度数（用含n的代数式表示）；（3）若△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q，在（2）的条件下求∠CQH的度数（用含n的代数式表示）．【分析】（1）利用三角形内角和定理，角平分线的定义，高的性质求解即可．（2）解法类似（1）．（3）根据要求画出图形，根据∠CQH＝90°﹣∠QCH，求出∠QCH即可解决问题．【解析】（1）∵CD⊥AB，∠A＝60°，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠FCB=12∠ACB＝45∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝150°，∵BF平分∠ABG，∴∠FBG=12∠ABG＝75∵∠FBG＝∠F+∠FCB，∴∠F＝75°﹣45°＝30°．（2）∵CD⊥AB，∠A＝n°，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝90°﹣n°，∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠FCB=12∠ACB＝45∴∠DCE＝|∠ACE﹣∠ACD|＝|45°﹣90°+n°|＝|n°﹣45°|，∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝90°+n°，∵BF平分∠ABG，∴∠FBG=12∠ABG＝45°+1∵∠FBG＝∠F+∠FCB，∴∠F=12n（3）如图，∵FH⊥CG，∴∠FHC