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探讨定积分不等式的证明方法摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。关键词：定积分不等式证法不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。1．运用定积分中值定理证明定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。例1：设在[0,1]上连续且单调不增，证明∈[0,1]有≥．证明：由原不等式变形得≥,即是要证：≥,对左式，在[0,1]上连续，故由定积分中值定理知：使,同理对右式：使,显然，1＜2又f(x)在[0,1]上单调不增，∴(1)≥(2)故原不等式≥成立.定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握。2．运用辅助函数证明构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限（下限）换成x，移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。然后再求F’(x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。例2：设在[a，b]上连续,且>0.试证：证明：构造辅助函数（将b换成x），则==∵＞0，∴，又<，∴，即单调不减，又，∴，故．该题构造出积分上限函数，其目的是用单调性来证明不等式。这种方法开门见山、直截了当。再证右不等号：＜，，在点x处的Taylor展式为：,其中在t与x之间，因＞0，所以＞，将分别代入上式并相加得：＞，将此式在上积分得：＞，有＞，故＜…（2）综合（1）、（2），原不等式得证.Taylor公式的应用在大学数学的学习中是一个绝对的难点，往往很难掌握。一个题目在你用其他方式很难解决时，Taylor公式常会给你意想不到的突破。6．运用柯西—斯瓦兹不等式证明柯西—斯瓦兹不等式：例7：设在[0,1]上有一阶连续导数且，试证：.证明：∵，又，所以，因在[0,1]上可导，所以在[0,1]上连续，由柯西—斯瓦兹不等式得：，即是.柯西—斯瓦兹不等式是大学数学中的又一难点，虽然记忆起来并不困难，但应用是灵活多变的。7．运用重积分证明重积分要化为定积分来计算，这是众所周知的事实，但反之定积分的乘积往往又可以化为重积分，将定积分不等式的证明化为重积分不等式来证明，也是一种常见的方法。例8：设是在[0，1]上单调增加的连续函数，试证：.证明：设==…（1）同样…（2）（1）+（2）可得，由于在[0，1]上单调增加，故，∴，从而即总的来说，证明不等式是一门艺术，它具有自己独到的技术

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