2024年-切线的性质和判定

29.3切线的性质和判定新乐市实验学校九年级数学备课组2014年12月5日1思考：判定直线与圆的位置关系的方法有____种：（1）根据定义，由________________的个数来判断；（2）根据性质，由_________________

______________的关系来判断。在实际应用中，常采用第二种方法判定。两直线与圆的公共点圆心到直线的距离d与半径r新乐市实验学校22.前面我们已学过的切线的性质有哪些？答：①、切线和圆有且只有一个公共点；②、切线和圆心的距离等于半径。思考：1.什么是圆的切线?判断一条直线是圆的切线的方法有那些?新乐市实验学校3观察右图：如果直线AT是⊙O的切线，A为切点，那么AT和半径OA是不是一定垂直？ATO直线AT切圆O于AATOA[切线的性质定理]圆的切线垂直于经过切点的半径一、切线还有什么性质？新乐市实验学校4观察与思考1.如图，如果一条直线经过圆心O，并且与切线AB垂直，那么这条直线经过切点T吗？为什么？1.如图，如果一条直线经过切点T，并且与切线AB垂直，那么这条直线经过圆心O吗？为什么？OBAT新乐市实验学校5探索切线性质假设OA与AT不垂直,过点O作OM⊥CD,垂足为M,则OM<OA,即d<r,因此,AT与⊙O相交.这与已知条件“直线AT与⊙O相切”相矛盾.所以AT与OA垂直.ATOM新乐市实验学校6探索切线性质∵右图是轴对称图形,AB是对称轴,∴沿直线AB对折图形时,AT与AD重合,因此,∠BAT=∠BAD=90°.ATOBD作直径AB新乐市实验学校7经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心直线经过切点垂直于切线知二推一新乐市实验学校8经过圆心垂直于切线直线经过切点垂直于切线经过圆心直线经过切点直线经过切点经过圆心(半径)垂直于切线新乐市实验学校9(3).如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是(2).如果半径OA⊥AB，那么AB是按图填空：(口答)(1).如果AB切⊙O于A，那么AOB⊙O的切线切点⊥OAAB.新乐市实验学校10练习：1、已知：如图：在△ABC中，AC与⊙O相切于点C，BC过圆心），∠BAC=63°，求∠ABC的度数。新乐市实验学校112、已知：如图：AB是⊙O的弦，AC切⊙于点A，且∠BAC=54°，求∠OBA的度数。新乐市实验学校12d

lr二、切线的判定观察与发现图中怎样判定直线l是⊙O的切线？答:①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；思考判定一条直线是不是圆的切线除了这两种方法外，还有其它方法吗?新乐市实验学校13

如图OA是⊙O的半径，过点A作直线l⊥OA,1、用r表示半径的长，d表示圆心O到直线l的距离，那么，r和d有怎样的数量关系？

经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线．Alo切线的判断定理：2、指出直线l和⊙O有什么位置关系?直线l

是⊙O相切．一起探究d=r

3、重新在圆上取几个点，重复上面的过程，指出过半径的外端且垂直半径的直线与⊙O的位置关系。

几何符号表达∵OA是半径，OA⊥l于A∴l是⊙O的切线。新乐市实验学校14判断对错1.过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的的直线是圆的切线（）3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA

利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:(1)直线经过半径的外端;(2)直线与这半径垂直。新乐市实验学校15O切线的画法如图，点A是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线llA

1、连结OA2、过点A画l⊥OA直线l为所画新乐市实验学校16l’O切线的画法如图，点A是⊙O外一点，过点A作⊙O的切线llA

1、直角三角板的一直角边经过点O2、平移三角板，使其另一直角边经过点A3、画直线lMN新乐市实验学校173.如图的两个圆是以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点.求证：C是AB的中点.CABO证明：如图，∴C是AB的中点.AC=BC根据垂径定理，得OC⊥AB连接OC,则新乐市实验学校18例：如果在地球赤道上空同样高度的位置上放置等距的三颗地球同步通信卫星，使卫星发射的信号刚好能够覆盖全部赤道，那么卫星高度应是什么？（地球半径R≈6370km）

分析：我们把赤道看成一个圆，同样高度且等距的三颗卫星的信号刚好覆盖全部赤道，等同于一个等边三角形的三边与赤道所在的圆都相切。新乐市实验学校19设三颗卫星分别位于点A，B，C处，这时，三个切点把圆三等分，每份圆弧为圆周的三分之一，易知：∠AOD=60°。∵直线AB与圆相切于点D，∴OD与直线AB垂直。解：如右图：新乐市实验学校20设卫星高度为h，在Rt△AOD中，cos60°=

即解这个方程，得：h=R≈6370km。因此，当三颗卫星的高度是6370km时，信号就能够覆盖全部赤道。新乐市实验学校21一、切线的性质有哪些？①、切线和圆有且只有一个公共点③、圆的切线垂直于经过切点的半径④、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点⑤、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心②、切线和圆心的距离等于半径课堂小结新乐市实验学校22二、判定切线的方法有哪些？直线l

与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线三、常用的添辅助线方法？⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）l是圆的切线l是圆的切线3、三角形的内切圆与内心新乐市实验学校23例1、求证：经过直径的两端点的圆的切线互相平行。CDOAB已知：如图，AB是圆O的直径，直线AC,BD分别是过点A,B的圆O的切线。求证:ACBD证明：如图，AB是⊙O的直径AC、BD是⊙O的切线AB⊥ACAB⊥BDAC∥BD新乐市实验学校24123OBACD例2、如图，AB为⊙O的直径，，AD是和⊙O相切于点A的切线，⊙O的弦BC平行于OD.求证：DC是⊙O的切线4新乐市实验学校25已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。证明：连结OC(如图)。∵OA＝OB,CA＝CB,∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。∴AB⊥OC。∵OC是⊙O的半径∴AB是⊙O的切线。〖例1〗新乐市实验学校26〖例2〗已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∵OD是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线。新乐市实验学校27小结例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。OBACOABCED新乐市实验学校28判断一条直线是圆的切线的方法

1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的切线。3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。知识归纳新乐市实验学校29

分析：假设符合条件的圆已经作出，那么它应当与三角形的三边都相切，这个圆的圆心到三角形的距离都等于半径，如何找到圆心？CAB

在一块三角形材料上截出一块圆形用料，怎样截才能使圆的面积最大呢？?思考

三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等，因此，圆心是三角形三个内角的平分线的交点。半径的长是圆心到三角形一边的距离。新乐市实验学校30内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.CABIDMNr与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆（3）以点I为圆心，ID的长为半径作⊙I

，则⊙I与△ABC的三条边都相切.⊙I就是符合要求的圆，即在三角形材料上截下的面积最大的圆。解（1）分别作出∠B、∠C的平分线BM和CN，设他们相交于点I（2）过点I作ID⊥BC,垂足为D新乐市实验学校31COABEFD如图△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.解:

设AF=x（cm），则AE=x，CD=CE=AC－AE=13－x，BD=BF=AB－AF=9－x，由BD+CD=BC可得（13－x）+（9－x）=14.解得x=4cm.因此AF=4（cm），BD=5（cm），CE=9（