标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5：课时跟踪检测(十八)-简单的线性规划问题

标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5：课时跟踪检测(十八)--简单的线性规划问题PAGE课时跟踪检测（十八）简单的线性规划问题层级一学业水平达标1．若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤2x，,x＋y≤1，,y≥－1，))则x＋2y的最大值是________．解析：作出题设约束条件的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线l0：x＋2y＝0至点A时，x＋2y取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝\f(2,3)，))可得(x＋2y)max＝eq\f(1,3)＋2×eq\f(2,3)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)2．已知a＞0，x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥ax－3.))若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于________．解析：由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点A(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)3．已知实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－4≥0，,2x－y－5≤0，))若目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围为________．解析：作出如图可行域，由z＝y－ax得y＝ax＋z可知，直线在y轴上的截距最大时，z最大，结合图象可知，在A(1,3)处取得最大值，需a>1.答案：(1，＋∞)4．若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤1，,x＋y≥0，,x－y－2≤0，))则z＝x－2y的最大值为________．解析：如图，画出约束条件表示的可行域，当目标函数z＝x－2y经过x＋y＝0与x－y－2＝0的交点A(1，－1)时，取到最大值3.答案：3则a的值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.答案：17．如果实数x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,y＋1≥0，,x＋y＋1≤0，))那么z＝4－x·2y的最大值为________．解析：可行域为如图所示的阴影部分，A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(－2，－1)，(0，－1)，直线y＝2x＋t过点B(－2，－1)时，t取得最大值3，故z＝4－x·2y＝2－2x＋y的最大值为8.答案：88．设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤a，,x＋y≥8，,x≥6，))且不等式x＋2y≤14恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a≥8，否则可行域无意义．由图可知x＋2y在点(6，a－6)处取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10.答案：[8,10]9．直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A(4,4eq\r(3))，若可行域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤my＋n，,\r(3)x－y≥0，,y≥0))的外接圆直径为eq\f(14\r(3),3).求实数n的值．解：作出可行域如图所示，过原点的直线OA的倾斜角为60°，由直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A(4，4eq\r(3))，可得4＝4eq\r(3)m＋n.又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋n，,\r(3)x－y＝0))可解得两直线的交点坐标即为A(4,4eq\r(3))，又点B坐标为(n,0)，∴eq\f(AB,sin60°)＝eq\f(14\r(3),3)，∴AB＝7，∴(4－n)2＋(4eq\r(3))2＝49，∴n＝3或5.10．已知x，y满足条件：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x－5y－23≤0，,x＋7y－11≤0，,4x＋y＋10≥0，))求：(1)4x－3y的最大值和最小值；(2)x2＋y2的最大值和最小值．解：(1)作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)，设z＝4x－3y.直线4x－3y＝0经过原点(0,0)．作一组与4x－3y＝0平行的直线l：4x－3y＝t.则当l过C点时，t值最小；当l过B点时，t值最大．∴z最大值＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z最小值＝4×(－3)－3×2＝－18.故4x－3y的最大值为14，最小值为－18.(2)设u＝x2＋y2，则eq\r(u)为点(x，y)到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的区域，不难知道：点B到原点距离最大；而当(x，y)在原点时，距离为0.∴u最大值＝(－1)2＋(－6)2＝37，u最小值＝0，∴x2＋y2的最大值为37，最小值为0.层级二应试能力达标1．设D为不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,2x－y≤0，,x＋y－3≤0))所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1，0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝eq\f(|2×1－0|,\r(22＋1))＝eq\f(2\r(5),5)<1，故最小距离为eq\f(2\r(5),5).答案：eq\f(2\r(5),5)2．若实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y≥0，,x≤0，))则z＝3x＋2y的最小值是________．解析：由已知不等式组作可行域如图阴影部分所示．令x＋2y＝k，则y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(k,2)，问题由求k的最小值转化为求直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(k,2)的纵截距的最小值．显然当直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(k,2)过原点O时，截距最小，此时kmin＝0，z＝3x＋2y的最小值为1.答案：13．已知x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋y≤2，,x≥a，))且z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，则a＝________.解析：依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z＝2x＋y在A点和B点处分别取得最小值和最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝x，))得A(a，a)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝x，))得B(1,1)．∴zmax＝3，zmin＝3a.∴a＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)4．设二元一次不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－19≥0，,x－y＋8≥0，,2x＋y－14≤0))所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是________．解析：作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A(1,9)，C(3,8)．当y＝ax过A(1,9)时，a取最大值，此时a＝9；当y＝ax过C(3,8)时，a取最小值，此时a＝2，∴2≤a≤9.答案：[2,9]5．设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥1，,x＋y≥1，,x≤2，))则满足函数y＝2x－t的t最大值为________．解析：由约束条件作出可行域如图所示，可知(x，y)是由点A(1,0)，B(2,1)，C(2，－1)三点组成的三角形区域，令t＝2x－y，即当经过C(2，－1)时，t有最大值5.答案：56．若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤8，,x－2y≥－4，,x≥0，,y≥0，))且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则loga(－b)＝________.解析：由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分．由z＝5y－x，得y＝eq\f(x,5)＋eq\f(z,5).由图知目标函数y＝eq\f(x,5)＋eq\f(z,5)，过点A(8,0)时，zmin＝5y－x＝5×0－8＝－8，即b＝－8.目标函数y＝eq\f(x,5)＋eq\f(z,5)过点B(4,4)时，zmax＝5y－x＝5×4－4＝16，即a＝16.所以loga(－b)＝log168＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)7．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋7y＋4100－x－y≤600，,100－x－y≥0，,x≥0，y≥0，x，y∈N.))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y≤200，,x＋y≤100，,x≥0，y≥0，x，y∈N.))目标函数为ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝200，,x＋y＝100，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝50.))∴最优解为A(50,50)，此时ωmax＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．8．已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－3y≤－4，,3x＋5y≤30.))(1)求目标函数z＝2x＋y的最大值和最小值；(2)若目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值；(3)求z＝eq\f(y＋5,x＋5)的取值范围．解：作可行域如图所示．(1)作直线l：2x＋y＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A点时，z取最小值；当平移直线过可行域内的B点时，z取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－3y＝－4，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＝－4，,3x＋5y＝30，))得B(5,3)．∴zmax＝2×5＋3＝13，zmin＝2×1＋eq\f(5,3)＝eq\f(11,3).(2)一般情况下，当z取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线z＝ax＋y平行于直线3x＋5y＝30时，线段BC上的任意一点均使z取得最大值，此时满足条件的点即最优解有无数个．又kBC＝－eq\f(3,5)，∴－a＝－eq\f(3,5).∴a＝eq\f(3,5).(3)z＝eq\f(y＋5,x＋5)＝eq\f(y－－5,x－－5)，可看作区域内的点(x，y)与点D(