2020-2021学年广西来宾市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年广西来宾市高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.设集合/={划一1<%<2},B={x[l<x<3},则4nB=()

A.{x|-1<x<3}B.{x|l<%<2}

C.{x[-1<x<2}D.{x|2<x<3}

2.若m>0,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上，那么'+：

的最小值等于()

A.1B.IC.[D.I

248

3.正方体的全面积为6,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是()

A.3兀B.47rC.6兀D.87r

4.下列有关命题的说法正确的是()

A."％=-1”是_5x-6=0"的必要不充分条件

B.若P(f>1)=p,则P(-1<f<0)=1-p

C.命题“mxeR,使得/+%+1<0”的否定是“对vxeR,均有M+x+ico”

D.命题“若x=y,则sinx=siny"的逆否命题为真命题

5.设/(%)是定义在R上的奇函数，且在区间(0,+8)上是单调递增，若/(}=(),△ABC的内角满足

f(cosA)<0,则4的取值范围是()

A.(建)B.(Q)

C.(05)U(|兀㈤D.G《)U(|兀㈤

D.5

2

7.8.把多项式界份-2)+就2-分解因式等于

A

-(]-2)加+笳B.[a-2)凉-冰)

C.m(a—2)(m—1)D.m(a—2)(m+1)

8.函数/(%)=(%+2>一G尸的零点所在的一个区间是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

9.设Q，og36,如510,c=log714f()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

10.图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，

则该几何体的体积为().

A.8

B.8-7T

C.8-|江

D.8

II.已知在平面直角坐标系中，点P是直线心％=上一动点，定点/G，0)，点Q为p尸的中点，动

点M满足丽•前=0,丽=20F(AeR).过点M作圆(x-3)2+y2=2的切线，切点分别为S,

T，则必•而的最小值是()

A.|B.C.D.

5933

12.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结\/

合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函\/

数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征，已知函数f(x)的图象*

如图所示，则函数/(X)的解析式可能是()

Zxx

A./(%)=(4+4-)|x|B./(x)=(4、-4-)log2|x|

Xz

CJ。)=(4、+4-x)log/|D./(%)=(4+4-)log2|x|

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若两条直线小x+2y—6=0与52x+ay+8=0平行，则匕与间的距离是.

14.正方体ABCD-&BIGDI的棱长为L则异面直线BQ与力D所成角的余弦值是，该正方

体的外接球半径为，内切球的体积是.

15.\og23log3Slog52=.

16.在北纬60。圈上有甲、乙两地，它们的纬度圈上的弧长等于5R(R为地球半径)，则甲、乙两地间

的球面距离是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知集合U=R,A={%|3<%<6},B-{x[4<x<8},C-(x\x<a}.

(1)求AUB和Q4

(2)若4nC=0,求a的取值范围.

18.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A/iCiDi中，点E是棱的中点,

点F在棱8道上，

(1)当满足&F=2FB.在棱GC上确定一点G,使4E,G,F四点共面，

并求此时C]G的长；

(2)当点F在棱上移动时，求三棱锥F-ADE的体积.

19.如图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数徵对应数轴上的点M,如

图1；将线段4B围成一个圆，使两端点4、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标

系中，使其圆心在y轴上，点力的坐标为(0,1),如图3；图3中直线4M与％轴交于点N(n,0),则?n

的象就是n,记作/(m)=

(1)求方程/(x)=0的解;

(2)下列说法正确命题的序号是(填上所有正确命题的序号)

①6)=1；

②f(x)是奇函数；

③/(x)在定义域上单调递增;

④/(x)的图象关于点G，0)对称;

(3)求y=/(%)的解析式.

20.如图(1)在直角梯形4BCD中，4BAD=90°,AB//CD,CD=4,AB=2,AD=2,E为CD中点,

现将△CEB沿BE折起，使得2C=4,得到如图(2)几何体，记线段CB的中点为F.

(1)求证：平面CE。_L平面ABED.

⑵求点F到平面4c。的距离.

21.在直角坐标系xOy中圆C的参数方程为［:为参数)，以原点。为极点，工轴的非

负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为。=3(PeR).

(1)求圆C的直角坐标方程及其圆心c的直角坐标；

(2)设直线，与曲线C交于48两点，求△ABC的面积.

底：［可

22.已知函数剧减=然朴皆吟且舞|=3■谶=1

(1)求黑做；

(2)判断，镰%的奇偶性；

⑶判断部蹴在a理厕上的单调性，并证明。

参考答案及解析

1.答案：B

解析：

本题考查了两集合的交集.属于基础题.

解：因4={x|—1<x<2},B={x|l<x<3},

可得AnB=(x|l<x<2}.

故选艮

2.答案：B

解析：解：设点(-m,n)关于直线％+y—1=0的对称点为P(a,b).

b-n1A_1

现:gf二0,解得

(22

,・,点(一犯九)关于直线％+y-1=0的对称点为P(1-n,14-m)在直线x-y+2=0上，

・•・1—几一(1+m)+2=0,

化为m+n=2.

又m>0,n>0,

^^)=］当且仅当巾=多寸取等号.

...l+i=l(m+n)(l+l)=|(5+^+^)>|(5+271=2

—+士的最小值为*

Tnn2

故答案为：

利用轴对称可得点(一犯n)关于直线x+y-l=0的对称点为P(1-n,1+m),代入直线x-y+2=

0,可得m+n=2,再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.

本题考查了轴对称的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档

题.

3.答案：A

解析：解：因为正方体的全面积为6,

所以正方体的棱长为：1,正方体的对角线为：遮.

因为正方体的顶点都在球面上，所以正方体的对角线就是外接球的直径，

所以外接球的半径为：理.

2

外接球的表面积为：4n(y)2=37r.

故选：A.

通过正方体的表面积求出棱长，然后求出正方体的外接球的半径，即可求解表面积.

本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是解题的关键，考查计算能力.

4.答案：D

解析：解：命题“若/=1,则x=l”的否命题为：“若则xri"，故A错误；

对于4：当"x=—1"时，—5%—6=0w成立，当—5x—6=0"时，"x=—1或x=6”,

即“x=—1”不一定成立，故=是“产―5x—6=0”的充分不必要条件，故4错误；

对于B：若P(f>l)=p,则P(-1<0)=l—p,不满足概率的性质，所以B不正确；

对于D：命题“若x=y,则sinx=siny"为真命题，故命题“若x=y,则siruc=siny"的逆否命

题为真命题，故。正确；

若命题p："3x0GR使福+x0+1<0”为假命题，故"为真命题，故。错误；

故选：D.

根据充要条件的定义可判断4利用概率的性质判断B的正误；根据命题的否定与原命题真假性相反

可判断C的正误；根据原命题与逆否命题真假性相同可判断以

本题以命题的真假判断为载体，考查了四种命题，充要条件，复合命题等知识点，难度不大，属于

基础题

5.答案：D

解析：

本题考查函数的单调性及奇偶性，考查余弦函数的图象与性质，属于中档题.

由/(X)是定义在R上的奇函数，且在区间(0,+8)上是单调递增，易得到函数/(X)在区间(-8,0)上是

单调递增，/(-1)=0,由/(cos4)<0,进而求出4的取值范围.

解：/(x)是定义在R上的奇函数，

则/(0)=0，

又•.•函数/(x)在区间(0,+8)上是单调递增，/(|)=0,

故函数/(x)在区间(一8,0)上是单调递增，/(-|)=0,

若/(cosA)<0,

1]

则cos4<或0<cosA<

又Ae(0,TT)

则g<A<]或|兀<A<n,

故选D.

6.答案：D

解析：解：取4。的中点。，连结。B、OC

••ABl¥ffiBCD,CDu平面BCO,：.ABLCD,\\

又,：BC1CD,ABCBC=B,・・.CD_L平面48C,

n--An--1-----

VACu平面ABC,.•.CD1AC,\/

TOC是Rt△4DC的斜边上的中线，OC=1AD.c

同理可得：RtAABD中，OB=^AD,

•••OA=OB=OC=OD=^AD,可得2、B、C、。四点在以。为球心的球面上.

RtAABD中，48=3且3。=4,可得2D=以7+BD2=5,

由此可得球。的半径R=lAD=|,即三棱锥A-BCD外接球的半径为|.

故选：D

取4。的中点。，连结。B、0c.由线面垂直的判定与性质，证出4B1B。月SCJ.CO,得到△48。与4

4CD是具有公共斜边的直角三角形，从而得出。4=。8=。。=。。=：4),所以4、B、C、。四点

在以。为球心的球面上，再根据题中的数据利用勾股定理算出长，即可得到三棱锥4-BCD外接

球的半径大小.

本题已知三棱锥的底面为直角三角形，由它的外接球的半径.着重考查了线面垂直的判定与性质、

勾股定理与球内接多面体等知识，属于中档题.

7.答案：C

解析：m2(a—2)+m(2—d)=m2(a—2)—m(a—2)=m(a-2)(m—1).

故选C

8.答案：B

解析：解：,•"(一2)=0—C)2=—4<0,f(—l)=1—G)T=-1V0，

/(0)=23-i=^>0,/(2)=43-i>0.

又函数f(x)=(x+2)3-G尸是实数集上的连续函数，

所以，函数f(%)=ex-2的零点所在的一个区间是(一1,0).

故选：B.

由函数解析式/(%)=(久+2)3-(：尸，分别求出/(一2),/(-I),/(0),门1)和f(2)的值，根据所求

各值的符号可判断出连续函数/(x)=(x+2尸—G尸的零点所在的一个区间.

本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，连续函数若满足f(a)"(b)<0,则函数

/(x)在(a,b)上一定存在零点.是基础题.

9.答案:D

解析：解：因a=1g36=1+1og32,bogl=+log52,c=g71=1+log72,

因为=/og2x是增函数,Lo27>lg25>log,

以a>b>c,

所以20g32>Iog2lo2,

故。.

用log(xy)=/ogx+ogax、y>0),简a,b,c然比较1og32,Iog5lo7大小即可.

本题主要考查不等式不等关系对数函数的调性的应用，不式的基本质的应，属题.

10.答案：。

解析：解：根据几何体的三视图知，

该几何体是棱长为2的正方体，挖去半个圆锥体，

结合图中数据，计算它的体积为

32

V=2--2x-3X7txlx32=8--.

故选：D.

根据几何体的三视图知：该几何体是棱长为2的正方体，挖去半个圆锥体,

结合图中数据，计算它的体积即可.

本题考查了几何体三视图的应用问题，是基础题.

11.答案：A

解析：解：如图，设P(/m),

・••飞,0)，点Q为PF的中点，・•・Q(0,》

再设M(x0,y0),

・••丽=(一:一%0，加一%)，OF=(1,0),

由M户=4OF,得(一1一—y0)=(｝九0)，即

(4-0

(m-y0=0

•1■M(-j-m),

则MQ=C+/,_£),PF—(1,—m).

再由而•前=0，得2+^2+弓=0,即一［一^4=9,

则M在抛物线y2=2x±,

设以(3,0)为圆心，以r为半径的圆为(％-37+y2=r2；

联立以二1+y2=产Wx2-4x+9-r2=0.

由A=(-4)2—4(9一72)=0,解得"=5.

•••r=V5-

则抛物线y2=2x上的点M到圆心距离的最小值为迷，切线长的最小值为次,

且sin/SMC=旦COSNSMT=1-2s讥24sMe=1--=-.

<555

.•.市•而的最小值为I市I・I而I•COSNSM7=HX百x[=|.

故选：A.

由题意结合平面向量的数量积运算求得M在抛物线必=2x上，则问题转化为过抛物线上一点，作圆

（X—3）2+y2=2的切线，切点分别为S,T,求亦•祈的最小值，然后求出满足条件的点M,代入

平面向量数量积求解.

本题考查了圆的切线方程，考查/平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，综合性较强,

是难题.

12.答案：D

解析：解：函数定义域为{x|x羊0},排除4

函数关于y轴对称，则函数为偶函数，排除B,

C选项中，当0<x<l时，/（X）>0,不满足条件.排除C,

故选：D.

根据函数图象特点，结合奇偶性，定义域，取值范围，利用排除法进行判断即可.

本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性，定义域以及特殊值法，利用排除法是解

决本题的关键.比较基础.

13.答案：2星

解析：解：:,直线kx+2y-6=0与％：2x+ay+8=0平行，

="*V,解得a=4,

2a8

・••直线，2的方程为：2x+4y+8=0,即x+2y+4=0,

・•.k与％间的距离为5翳=2V5,

故答案为：2b.

先求出两直线平行求出a的值，再利用两平行线间的距离公式即可求解.

本题主要考查了两直线平行的位置关系，考查了两平行线间的距离公式，是基础题.

14.答案：更；夜；I

326

解析：解：•:BC〃B[Ci，

“BDi（或其补角）为异面直线BO】与AD所成角

vBC=a,BD1=y/3a,BC1CDX,

•.cosz_CB£）i=

正方体的对角线长为百，二该正方体的外接球半径为立，

2

内切球的体积是我X©）3=也

故答案为：立，立，7.

326

利用平移法得出4CBO】（或其补角）为异面直线3D1与4。所成角，进而可求异面直线BD】与4。所成角

的余弦值；求出正方体的对角线长，可得正方体的外接球半径；利用体积公式求内切球的体积.

本题考查异面直线所成角，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.

15.答案：1

解析：解：原式=捐嗡嗡=1,

故答案为1.

利用对数的换底公式即可得出.

本题考查了对数的换底公式，属于基础题.

16.答案：arccosf-R

8

解析：解：北纬60。圈的半径是r=[R,

北纬60。圈上甲、乙两地的纬度圆上的弧长等于l=gR,

则甲、乙两地在北纬60。圈的圆心角N4CB=差=今(1)

所以甲、乙两地的距离是48=g」/?=渔R；

22

设甲、乙两地的球心角为a=Z-A0B,

则c.sa=a巴鸵=3其中ae(0,兀)；

2XRXR8

所以a=arccos-；

8

所以甲、乙两地间的球面距离为乙=arccos。R.

8

故答案为：arccos|-R.

O

根据题意求出北纬60。圈的半径r与地球半径R的关系，

计算甲、乙两地在北纬60。圈的圆心角，再求甲、乙两地的球心角，

从而求出甲、乙两地间的球面距离.

本题考查了球面距离及其计算问题，也考查了空间想象能力，是基础题.

17.答案：解：(1)・.・集合4={x|3WxV6},B={x|4<x<8},

・•・AUB=A={x|3<%<6]U{x|4<%<8}={x|3<%<8},

CuA=(x\x<3或%>6}；

(2)由4={x|3<%<6},C={x\x<a},

又4AC=0,

・•・a>6.

二满足4nC=0的a的取值范围是［6,+8).

解析：(1)直接利用交、并、补集的运算进行求解；

(2)由4rle=。，说明集合4与集合C没有公共元素，所以集合C的端点值应大于等于集合A的右端点

值.

本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了利用集合间的关系求参数的取值问题，解答此题的关

键是对集合端点值的取舍，是基础题.

18.答案：(1)解:取GC的中点H,连结则

在平面BBiGC中，过点F作FG〃BH,贝ijFG〃/IE.

连结EG,则4,E,G,F四点共面.

因为=：。传=：a,HG==1a,

所以GG=GC-CH-HG=-a.

故当GG=/a时，A,E,G,F四点共面.

o

(2)解：•.•在棱长为a的正方体4BCD—4B1C也中，点E是棱的中点,

•••SAADE=gx4。xDE=x=#，

又•••BBi〃平面4DE,且SB1到平面ADE的距离为a,点F在棱SB上移动,

二点尸到平面4DE的距离h=a,

VF-ADE=^S—DE'll=3X~Xa=12,

解析：⑴取C1C的中点H,连结BH,在平面BB1GC中，过点尸作FG〃BH,则FG〃人E.连结EG,则力,

E,G,尸四点共面.由此能求出当QG=：a时，A,E,G,F四点共面.

O

(2)由已知得SA4DE=：x4DxDE=Tax：a=；a2,点F到平面ADE的距离/i=a,由此能求出三棱

锥F—ADE的体积.

本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，

以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

19.答案：③④

解析：解:如图，(1)方程/(x)=0,即N(0,0),M在A的正下方，

即有4M的弧长为土即巾=去解得％

(2)因为M在以(1,1-#为圆心，套为半径的圆上运

动，

对于①当轲.M的坐标为(一5,1一盘)，直线

4M方程y=%+1,

所以点N的坐标为(一1,0),故/(》=—1,即①错.

对于②，因为实数m所在区间(0,1)不关于原点对称,

所以不存在奇偶性.故②错.

对于③，当实数m越来越大时，

如图直线4M与x轴的交点N(&0)也越来越往右，

即n也越来越大，所以/(%)在定义域上单调递增，即③对.

对于④当实数巾=：时，对应的点在点4的正下方,

此时点N(0,0),所以/(}=0,

再由图形可知/(%)的图象关于点G，0)对称，即④对.

故答案为：：；(3)(4).

借助于图形来看四个选项，先利用/(；)=-1,判断出①错；

在有实数加所在区间(0,1)不关于原点对称，知②错；

从图形上可得在定义域上单调递增，③对；

先找到〃》=0,再利用图形判断④对

本题考查了在新定义的条件下解决函数问题，是一道很好的题.关于新定义型的题，关键是理解定

义，并会用定义来解题

20.答案：(1)证明：由条件可知BA=DE,BA"DE,^BAD=90°,AB=AD,

•••四边形ABED为正方形，

BE1EC,BE1ED,ECCED=E,EC,EDu平面。EC,

BE_L平面。EC.

又BEu平面ABED,

所以平面CED_L平面ABED.

F

O

(I)D

(2)解：vAD//BE,BE_L平面DEC,.-.AD1平面DEC,

又DCu平面DEC,；.AD1DC,

■.Z-ADC=90°,CD=2V3，

:.乙CED=120°,ACED为等腰三角形.

过点E作EM1CD,

M为CD中点nME=1,二ME1CD,

•••ADL平面