2022年北京石景山高三一模数学试题和答案

2022北京石景山高三一模数学本试卷共6页分。考试时长分钟。考生务必将答案答在答题卡上在试卷上作答无效。考试结束后,将答题卡交回。第一部分选择题共分)一、选择题共小题每小题4分共分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.设全集U={xR|x,集合A=xR|x2,则UA=A.3)B.3]z=C.(3,)D.[3,+)+i)z=1−iz2.复数满足,则B.i中不放回地抽取2个数,则在第1次抽到偶数的条件下,第2次抽到奇数的概率是A.−iC.1D.13.从2,3,4,52123534A.B.C.D.54.设l是直线，,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是A.若l/,l//,则//C.若⊥,l⊥,则l⊥B.若l/,l⊥,则⊥D.若⊥,l/,则l⊥5.已知圆C:(x−2+y2=9,过点2)的直线l与圆C交于,B两点则弦AB长度的最小值为B.2C.3D.4A.1xf(x)=6.函数的图象大致为x|x|3A7.在等差数列A.12BCD中++=设数列项和为Sn=aa36936,ann11,,则nB.99C.132D.198中2=若A=则B的大小是,8.在,sinAsinBsinC,3A.B.C.D.6433x+)9.“m4n是“2x2−+10在上恒成立"的B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A.充分不必要条件C.充要条件,B为拋物线C:y=x2,B为切点作抛物线C的10.设上两个不同的点且直线AB过抛物线C的焦点F,分别以切线两条切线交于点P.则下列结论:①点P一定在拋物线C的准线上;②PFAB;⊥③PAB的面积有最大值无最小值.其中正确结论的个数是A.0B.1C.2D.3第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题每小题5分共分。lg(x+x+211.f(x)=的定义域是_________.71x12.在x3+的展开式中,x5的系数是_________.（用数字填写答案）满足=,nN==则aanan+2a2n1*5a2a41,a2的值为_________.13.正项数列.若nx2F,2分别为椭圆C:+y2=1的左右焦点点P是椭圆CPFPF=m14.上任意一点若使得成立的点恰好1124m是4个,则实数的一个取值可以为_________.x,x,3,BAB=R,AB=f(x)=15.已知非空集合满足:,对于下列结论:3x−xB①不存在非空集合对(,B)f(x)为偶函数;,②存在唯一非空集合对(,B)f(x)为奇函数;,③存在无穷多非空集合对(,B)f(x)=0无解.使得方程其中正确结论的序号为_________.三、解答题共6小题共分。解答应写出文字说明演算步稆或证明过程。16.(本小题分)6f(x)=msinx+(m0,只能同时满足下列三个条件中的两个:已知函数f(x)①函数②函数的最大值为2;f(x)y=2sin2x−的图象可由的图象平移得到;4f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为③函数.f(x)（1）请写出这两个条件的序号说明理由并求出的解析式;（2中,内角,B,C所对的边分别为a,b,c,A=,a=f()面积的最大值.,求317.(本小题分)某学校高中三个年级共有300名学生,为调査他们的课后学习时间情况通过分层抽样获得了名学生一周的课后学习时间,数据如下表(单位：小时):高一年级高二年级高三年级7767.588978.510911111213176.58.513.518.5（1）试估计该校高三年级的学生人数;（2）从高一年级和高二年级抽出的学生中,各随机选取一人,高一年级选出的人记为甲,高二年级选出的人记为乙,求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率:（3）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生,他们该周的课后学习时间分别是8,9,10(单位小时),这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为x,表格中的数据平均数记为x,试判断x与x的大小.(结论不要求证明)100118.(本小题分)12PD//BC,BA⊥PD,PA=AB=BC=AD=.PAB沿BA翻折到的SAB如图在平面四边形PDCB中,将位置使得平面SAB⊥平面ABCD,如图2所示.（1）设平面SDC与平面的交线为l,求证:⊥l;6（2）在线段上是否存在一点Q(点Q不与端点重合),使得二面角Q−−C的余弦值为,请说明理由.619.(本小题分)f(x)=x+mln(x+mR).2设函数（1m=−1,f(x)在点(0,f(0))①求曲线②当处的切线方程;x+)f(x)x3时,求证:.f(x)在区间m（2）若函数上存在唯一零点求实数的取值范围.20.(本小题分)x22y221+=ab0)的短轴长等于23,离心率e=.已知椭圆C:ab2（1）求椭圆C的标准方程;|PF||AB|（2）过右焦点F作斜率为k的直线l,与椭圆C交于否为定值请说明理由.,B两点,AB的垂直平分线交轴于点P,x是21.(本小题分)若数列中存在三项按一定次序排列构成等比数列为等比源数列”.ana“n（1）已知数列为为分别判断是否为并说明理由a,b“",;nna2b1,2,6,24,,数列nn（2）已知数列的通项公式为c=2n1+1,判断c是否为等比源数列并说明理由nncn“”,:（3）已知数列为单调递增的等差数列,且ddZnN(*)d,求证为“等比源数列".ndn1n参考答案一、选择题：本大题共个小题，每小题4分，共40题号答案12345678910CAADBBDCCB二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25111．{xx；．351213．0（答案不唯一）；．①③．；．；3三、解答题：本大题共6个小题，共分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题分））函数f(x)=mx+)满足条件为①③，6理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数f(x)=mx+)满足的条件之一，6由③可知：T=2，所以=1．故②不合题意，所以函数f(x)=mx+)满足条件为①③，6由①知：A=2，所以f(x)=2sin(x+)．7分6（Ⅱ）由题意可得a=f()=f()=2sin=2，32由余弦定理得4=b2+c2−bccos，3所以4=b+c−bc−bc=bc22b=c时取“=”，当且仅当所以4，11所以△ABC=bcsin≤4sin=3，223所以△ABC面积的最大值为3．17．（本小题分）13分解（Ⅰ）抽出的20位学生中，来自高三年级的有8名，根据分层抽样方法，8可得高三年级的学生共有300（人）；．．．．．．．．．．．．3分20（Ⅱ）设事件i为“甲是现有样本中高一年级中的第i个学生，i=12345，j=1234567事件Cj为“乙是现有样本中高二年级中的第j个学生”，，1517由题意知：P(i)=，PCj)=，由于事件与事件Cj相互独立，Ai111所以P(AC)=j=，i5735设事件B为该周甲的学习时间不大于乙的学习时间，由题意知，B21=，由于AC、ACACACACAC彼此互斥，所以213141425152P(BP211176=P(AC)+P(AC)+P(AC)+P(AC)+P(AC)+P(AC)=6=23141425152535629所以P(B)=1−P(B)1=−=，3535故该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间概率为．．．．．．．．．7分7+7.5+8+8.5+976+6.5+7+8.5+11+13.5+17+18.58（Ⅲ）高一==8，x高二=，x高三=540+70+88三组总平均值0==9.9，新加入的三个数8910的平均数为9，20xx比0小，故拉低了平均值，所以．．．．．．．．．．．．．分1018．（本小题分）解：（）依题意，AD⊥AB因为∥，所以⊥，由于平面⊥平面ABCD，且交线为AB，，所以⊥平面，因为l是平面与平面的交线，所以l平面，故l．．．．．．．．．．．．分⊥6（Ⅱ）由（）可知，AD⊥平面，所以ADSA，由题意可知⊥SA⊥AB,⊥．以点A为坐标原点，分别以ADABAS所在直线为xyz轴建立空间直角坐标系，则(000)，B(010)，1C10)，D(00)，S(00，2zySQBCPADxBD=(−10)，SC=1−，2设SQ=SC(0，则Q(，−1)，=(−11−)，设n(xyz)是平面的一个法向量，=nBD=x−y=0，1−令x=2，可得n=(21，1−则2)，nBQ=x+(−y+−)z=0，由于m=(00是平面的一个法向量，6依题意，二面角Q−−C的余弦值为，61−mn1−6所以mn==，13−26mn14+)1−1解得=(0，2所以当点Q是棱SC的中点时，符合题意．．．．．．．．．．．．．分19．（本小题分）解：（）m=−1，所以f(x)=x−ln(x+．21=−，kf(0)==1．（）f(x)2xx+1又f(0)=0，所以f(x)在(0f(0))点处的切线方程为y=−x．．．．．．．．．．．．．4分（ⅱF(x)=f(x)−x3=x2−ln(x+−x，31x+13x3−x2+2x−1−3x3−(x−x+12=−−2==F(x)2x3x，x+1x+)时，F(x)0，F(x)在，)上单调递减，+所以F(x)F=−20，所以当x+)时，f(x)x3．．．．．．．．．．．．．10分（Ⅱ）f(x)=x+mln(x+，f(x)的定义域为(1+)，2mx+12x2+2x+mx+1=+==0，即2x22x++m=0．f(x)2x1当4−8m≤0即m≥时，f(x)≥0，f(x)在()上单调递增，−2又f(0)=0，所以在(0上无零点，不合题意；1当4−8m0即m时2x+x+m=有两根xx(xx)；22012122111当2(+2(+m0即0m时，x(1−)，x(−0)，212222此时f(x)在(2+)上单调递增，又f(0)=0，所以在(0上无零点，不合题意；当m=0时f(x)=x2，此时f(x)在(0上无零点，不合题意；当m0时1(−−，x(0+)，2此时f(x)在(0x)上单调递减，在(x+)上单调递增，f(0)=0，221所以f(2)0，f(x)在区间(0上存在唯一零点，即f0即可．解得m−．21综上，若f(x)在区间(0上存在唯一零点，则m(−0)．．．．．．．．．．．．．15分220．（本小题分）解：（）由题意可得b=23，所以b=3，c12又e==，由a2=bx2++c2a=2c得，a2y2所以椭圆C的方程为=1．．．．．．．．．．．．．分543（Ⅱ）为定值．y=k(x−证明：由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为，x2y2+=1，得+4k联立2)x2−8k2x+4(k−=0，243y=k(x−，8k+24(k−2设(xy)，B(xy)，则x+x=，xx=，1122122123+4k234kx+x24k+2−k3+4k3设的中点为Q(xy)，则x=01=，y=kx−(=．002002234kk3+4k14k2k0时，线段的垂直平分线的方程为y−=−(x−)，2当令2k3+4kk2k2y=0x=，得，即P(0)，23+4k23+4kk2+k3+4k2)所以||−1|=．3+4k22=+k2)|x−x=+k2)(x+x)2−41212212216(k−212(k+28k3+4k=1+k2()2−=．3+4k23+4k2+k3+4k2)12==所以．+k2)43+4k2k=0时，直线l的方程为y=0，当PF1|=2a=4|=c=1=此时，，，．AB41综上为定值．．．．．．．．．．．．．15分421．（本小题分）解：（）{a}是“等比源数列，{b}不是“等比源数列．nn{a}中“124”构成等比数列，所以{a}是“等比源数列；nn{b}中“126”，“1224”，“1624”，“2624”均不能构成等比数列，所以{b}不是等比源数nn列”．．．．．．．．．．．．．4分（Ⅱ）{n}不是“等比源数列．假设{c}是“等比源数列，因为{c}是单调递增数列，即{c}中存在的ccc（mnk）三项成等比数列，也nnnmnk就是n2=cc，即(2n−1+=2m+k−2+2m1+2k1，两边时除以2m1得22n−m1+2n−m1=2k1+1+2k−m为偶数，2=(2m−1+k−1+，mk22n−2+2n，等式左边22n−m−1+2n−m+1等式右边2k−112++k−m为奇数．所以数列{n}中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．综上可得{n}不是等比源数列”．．．．．．．．