2023年新疆乌鲁木齐市70中高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2023-2023留意事项：2B〔B〕填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角“条形码粘贴处“。22B后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必需保证答题卡的干净。考试完毕后，请将本试卷和答题卡一并交回。125601．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩〔单位：分〕进展统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．130分；②依据甲同学成绩折线图供给的数据进展统计，估量该同学平均成绩在区间 内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为〔 〕A． B． C． D．函数

f(x)sinx(0)

的图象向右平移12

个单位得到函数

yg(x)

的图象，并且函数

g(x)

在区间[ , ]上6 3单调递增，在区间[

, ]上单调递减，则实数3 2

的值为〔 〕7 3 5A． B． C．2 D．4 2 4．．对于定义在R上的函数yfx，假设以下说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是〔 〕．．Afx在,0上是减函数Cfx不是函数的最小值

Bfx在0,上是增函数DxRfx1f1x2假设z1i ，则z的虚部是2iA．3 3 C．3i D．3i1 1 1 1 1 在棱长为2的正方体ABCD−ABCD中，P为AD的中点，假设三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的外表积为〔 1 1 1 1 1 A．12 B．21π2

C．41π4

D．10“数学王子”“高斯函数”xR，用xxyx称为高斯函数，例如：0.511.51，函数f(x)4

x12

32x4

〔0x2，则函数yf(x)的值域为〔 〕2 A．12

B．1,0,1 C．

1,0,1,2 D．0,1,2赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”〔以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图〔1〕，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图〔2〕所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个AF2FA，假设在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为〔〕A．213 B．413 13C．2 7 D．47 78．(0,)，且tan2，则cos2cos〔 〕A．2 535

B．535

C．535

D．2 535斜率为k的直线l与抛物线C:y24x交于A，B两点，线段AB的中点为M1,mm0，则斜率k的取值范围是〔 〕A．(,1) B．(,1] D．[1,)设抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,抛物线C与圆C:x2(y 3)23交于M,N两点,假设|MN| 6,则MNF 的面积为( ) 8

38

3 28

3 24pa1bc1，则logb真命题的是〔 〕

alogc

aqx0

0,2x0log3

x”，则以下命题为0A．pq C．pq D．pq有一圆柱状有盖铁皮〔铁皮厚度无视不计底面直径为20cm，高度为100cm，现往里面装直径为10cm的球，在能盖住盖子的状况下，最多能装〔 〕〔附：21.414, 31.732, 52.236〕A．22个 B．24个 C．26个 D．28个二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。13．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是： ．等差数列{a

}aaaa

236，则a

的值为 ．n 1 3 5 7 9 8 2 11复数zai是纯虚数，则实数a＝ ，|z|＝ ．1i b c ”，类比以上正弦定理，“在三棱锥ABCD中，侧棱AB与平面ACD所sinA sinB sinC 5 S成的角为、与平面BCD所成的角为 3 12

BCDSACD

．7017〔12分〕fx2x1，gxx3.〔1〕fxgx；〔2〕2ab1fagb4.18〔12分ABCAB

中，ABC 是边长为2的等边三角形，BCBB

6.1 1 1

1 1 1ABCBBCC；1 1M，N分别是BC，BC的中点，P是线段AC上的动点，假设二面角PMNC的平面角的大小为30 ，试1 1 1P的位置.19〔12分〕函数

xsinx0gxcos2x图象62 62 2 重合.求和的值；假设函数hxf

xgxhx的单调递增区间及图象的对称轴方程. 8 8 20〔12分〕数列an

}满足：对任意u,vNauv

aau

2.假设a2

aaa3 6

2a18

的值；假设{a}是等比数列，求{a}的通项公式；n n设kNk3，求证：假设ak1

,a

,a

,成等差数列，则aa1 2

,,ak

也成等差数列.21〔12分〕某芯片公司为制定下一年的研发投入打算，需了解年研发资金投入量〔单位：亿元〕对年销售额〔单的影响.:①

12年的年研发资金投入量得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令

和年销售额 的数据， ，并对这些数据作了初步处理，，经计算得如下数据：〔1〕设模型；

和 的相关系数为， 和 的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的〔〔〕依据〔〕的选择及表中数据，建立关于的回归方程〔系数准确到0.0；假设下一年销售额需到达90亿元，推想下一年的研发资金投入量是多少亿元？附：①相关系数 ，回归直线 中斜率和截距的最小二乘估量公式分别为：， ；②参考数据： ， ， ．4x22〔10分〕函数f(x)lna1时.

(2a)(x1).xf(x)在(2,f(2))处的切线方程；1 2 4n1S

f( )f( ) f(

)其中nN，求S ；n n n

n 2

2023 当a2时，设t(x)f(xln4xx

g(x)xe1xe为自然对数的底数)，假设对任意给定的x0

0,e，在0,ex(i1,2)，使得t(x)g(x成立，求a的取值范围.i i 0参考答案125601．C【解析】利用图形，推断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高 分，平均成绩为低于 分，①错误；②依据甲同学成绩折线图供给的数据进展统计，估量该同学平均成绩在区间 内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．应选：C．【点睛】此题考察折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考察转化思想以及计算力气，属于根底题．2．C【解析】fxsinx(0)

个单位得到〔si〔x

]

x，函数gx在

12 12 12区间 , 上单调递增，在区间 , 6 3 3 2x3

时，gx〔3

12

2k，kZ，0k02，C.点睛：此题主要考察了三角函数图象的平移变换和性质的灵敏运用，属于根底题；据平移变换“左加右减，上加下减”gx，依据函数gx

, 上单调递增，在区间

, x

gx取得最大值，求解可得实数的值.3．B【解析】

6 3

3 23依据函数对称性和单调性的关系，进展推断即可．【详解】f(x1)f(1xf(x)x1对称，x1f(x)在(0,上不行能是单调的，BD，D错误，f(x)在(0]f(x)在(0,f(0)为函数的最小值，与C冲突，此时C也错误，不满足条件．B，B．【点睛】此题主要考察函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决此题的关键．4．B【解析】z1i2i13iz3.B．5．C【解析】B1C1QPQ，BQ，CQ，PDBCQ−ADPP−ABC有一样的外接球，求出等腰三角形QBC的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径【详解】B1C1QPQ，BQ，CQ，PDBCQ−ADP为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，QBC的外接圆直径为2r QB

5 AB 41 ，球O的半径R满足R2 r2 ( )2 外表积应选：C.

41π，4

sinQCB 2 2 16【点睛】此题考察三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的外表积公式，解题时要留意审题，留意空间思维力气的培育，属于中档题.6．B【解析】利用换元法化简fxfxyf(x)的值域.【详解】

4x 12f(x)4

232x4

〔0x2，所以y

32x4 2x1 242

32x4，令2xt〔1t4，则xxft) t2t4〔1t4，函数的对称轴方程为t3，所以ft22 f(x13yf(x)的值域为2 应选：B【点睛】

min

f(3) ，f(t)2

max

f(1) ，所以2本小题考察函数的定义域与值域等根底学问，考察学生分析问题，解决问题的力气，运算求解力气，转化与化归思想，换元思想，分类争论和应用意识.7．D【解析】AFaAF2aAF2a，利用余弦定理可得大正六边形的边长为AB利用面积之比可得结论.【详解】AFaAF2aAF2a，

7a，再FF3aAFF3

AFF中，AF2AF2FF22AFFFcosAFF，AF2

a2a22aacos3

，解得AF 7a，所以，大正六边形的边长为AF 7a，3所以，小正六边形的面积为S12a2a 22a2 3a6 3a2，31 2 2S

1 7a 7a 2 7a 21a a2，32132 2 2 232131PS1S2应选：D.【点睛】

4.7此题考察概率的求法，考察余弦定理、几何概型等根底学问，考察运算求解力气，属于根底题．8．B【解析】分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得cos的值，之后借助于倍角公式，将待求的式子转化为关于cos的式子，代入从而求得结果.详解：依据题中的条件，可得为锐角，5依据tan2，可求得cos ，55而cos2cos2cos2cos1

2 1

B.55553点睛：该题考察的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对真实求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解.9．C【解析】A(x1

，y)，B(x1

y，设直线lykxb，与抛物线方程联立，由△0得kb1，利用韦达定理结2合条件得b2k2m2，代入上式即可求出k的取值范围．k k【详解】设直线lykxb，A(x1

，y)，B(x1

，y)，2ykxb联立方程y2 4x

yk2x22kb4)xb2

0，△(2kb4)24k2b20，kb1，xx

42kb

b2，1 2 k2

12 k2yy1

k(x1

x)2b4，2 k线段AB的中点为M(1,m) (m0)，xx42kb2，yy 42m，1 2 k2 1 2 kb2k2

，m2，0，k0，把b2k2 代入kb1，得2k21，kk21，k1，C【点睛】6此题主要考察了直线与抛物线的位置关系，考察了韦达定理的应用，属于中档题．10．B6【解析】由圆CMNMCMCN

3，MN3

MN倾斜角为

，写出NpF点坐标，从而得三角形面积．4【详解】由题意圆C过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M，如图，3CMCN3

，MN

646

，NOx，4∴点N坐标为( 3, 3)，代入抛物线方程得( 3)22p

，p ，3312333233123333∴F(3

,0)，S

MFy

1 ．4应选：B.

FMN

N 2 4 8【点睛】OMNCN点坐标，问题可解，假设仅从方程组角度争论两曲线交点，生怕难度会大大增加，甚至没法求解．11．B【解析】先推断命题p,q的真假,进而依据复合命题真假的真值表,即可得答案.【详解】loga 1

，loga

1 ，由于a1bc1，所以0log

b，所以

11p1b logba

c logca

a a loga

c logbay2xylogxq为假命题,pq为真.3应选:B.【点睛】此题考察真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是推断出命题p,q的真假,难度较易.12．C【解析】2计算球心连线形成的正四周体相对棱的距离为52

c

ncm2，得到不等式105 2n1100，计算得到答案.2，【详解】由题意，假设要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm的正面体，22，易求正四周体相对棱的距离为5 cm，每装两个球称为“一层”，这样装n层球，22，则最上层球面上的点距离桶底最远为

ncm2假设想要盖上盖子，则需要满足105 2n1100，解得n192

13.726，所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球．C【点睛】此题考察了圆柱和球的综合问题，意在考察学生的空间想象力气和计算力气.452013．1【解析】依据程序框图直接计算得到答案.【详解】程序在运行过程中各变量的取值如下所示：是否连续循环ix循环前 14第一圈 是 44+2其次圈 是 74+2+8第三圈 是 104+2+8+14退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：1故答案为：1．【点睛】此题考察了程序框图，意在考察学生的计算力气和理解力气.14．11【解析】5由等差数列的下标和性质可得a5

2，由a8

2－a22

8

aa2

a即可求出公差d，即可求解；2【详解】解：设等差数列的公差为d，aaaaa＝10，a

a＝aa 2a1 3 5 7 9a 25

1 9 3 7 5 3a2－a28 2

aa8 2

aa8

2a5

6d36，解得d2a a11

6d11故答案为：11【点睛】此题考察等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用，属于根底题.15．1 1【解析】z【详解】

a1a1i，依据复数的概念和模长公式计算得解.2 2ai ai1i a1a1i a1a1

1i

1i1i

2

2 2i，a10 2za1 20

a＝1，∴z＝i，∴|z|＝1，故答案为：1，1．【点睛】此题考察复数的概念和模长计算，依据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于娴熟把握复数的运算法则.32 616． 2【解析】类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角．【详解】SBCDS

SACD S

326326 23 2 63sin

sin5SBCD

5 2 ，3 12

ACD sin12 4【点睛】此题考察类比推理．类比正弦定理可得，类比时有构造类比，方法类比等．三、解答题：共70分。解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤。17〔〕,5 1,〔〕见解析.3 【解析】在不等式2x1x3两边平方化简转化为二次不等式，解此二次不等式即可得出结果；利用确定值三角不等式可证得fagb4成立.ffx〔1〕

2x1gxx3fxgx得2x1x3，不等式两边平方得2x2

x32，即3xx50，解得x5或x1.3因此，不等式fxgx的解集为,5 1,；3 〔2〕 2ab1，12ab1，fagb2a2b32a2b32ab52ab5154.fagb4.【点睛】3 23此题考察含确定值不等式的求解，同时也考察了利用确定值三角不等式证明不等式，考察推理力气与运算求解力气，属于中等题.3 2318〔〕〔〕P为线段

3 上靠近C1点的四等分点，且坐标为P , , 1 4 4 4【解析】先通过线面垂直的判定定理证明CC1

ABC，再依据面面垂直的判定定理即可证明；PMNC的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，P的坐标从而位置可确定.【详解】AC2CC1

2，AC1

6，AC2

AC2ACCC.1BCBB1

1，BB1

//CC1

1BCCC，1AC BCC，所以CC1

ABC.由于CC

BBCCABCBBCC.1 1 1 1 1AMABAC2MBCAMBC.由〔1〕ABCBBCCAMBBCC.1 1 1 1M为原点建立如以下图的空间直角坐标系Mxyz，则平面BBCC的一个法向量是m(0,0,1)，A(0,0, 3)，N(0, 2,0)，C(1, 2,0).1 1 1APtAC(0t1)P(x,yz，1AP(x,y,z 3)，AC1

2, 3)，代入上式得xt，y 2t，z 3(1t)，所以P(t, 2t, 3 3t).设平面MNP的一个法向量为nx,y,z，MN(0, 2,0)，MP(t, 2t, 3 3t)，nMN0

2y0

1 1 1由 ，得 1 .nMP0

tx12ty1

3(1t)z01令zt，得n( 3 3t,0,t).1PMNC的平面角的大小为30，mn 3 t所以 ，即

3，解得t3.|m||n| 2

3(1t)2t2 2 4 33 2 3PAC

上靠近C点的四等分点，且坐标为P ,

, .1 1 4 4 4【点睛】此题考察面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.〔1〕证明面面垂直，可通过先证明线面2〕.19〔〕2，

〔〕k

,k

k

，kZ.3

12 122 12【解析】直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果．首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】由题意得2， 5 fx2sin2x6cos2x3 2

，3hxf

x g x

cos 8

8

12

12 23 sin2x23

k 由2x k ，解得x ，3 2k

2 12x

，kZ.2 122k

2x 2k ，2 3 25xk，12 12k5

,k

,kZ.,12 12【点睛】属于根底题型．20〔〕〔〕a 2〔〕见解析.n【解析】〔1〕依据下标的关系，有a18

a a2

2，a18

aa3

2，两式相加，即可求出a

〔〕依据等比数列的通项2182公式知，求出首项和公比即可。利用关系式auv

a au

2，列出方程，可以解出首项和公比〔〕利用等差数列的定义，即可证出。【详解】由于对任意u,vN，都有auv

a au

2，所以a18

a a2

2，a18

aa3

2，两式相加，2a a18

aa3

a4246a9

=3；{a

}的首项为a

，公比为q，由于对任意u,vNa

a

2，a2

aa1

n2，解得a1

12a6

aa1

2=a2

uv u va2， a1

a=a6

a，化简得，1q53

q2q3，即q21 q31=0，q1或q1，由于a a a 2，化简得q32q10，所以q14 2 2故a 2。n由于对任意u,vN，都有auv

a au

2，所以有a aa 2ak1 1

k1 2

a a2 a aa

2 ，a ,a

a ,成等差数列，设公差为d，3k〕 3

k1

k1

k2

k3ak(k1)

a a 2k k1a a2

a

a

(k1)d，aa3 2

a

a

(k1)d， ，a a a a (k1)d，由等差数列的定义知，k k1 k(k1) (k1)(k1)a,a1

,,ak

也成等差数列。【点睛】此题主要考察等差、等比数列的定义以及赋值法的应用，意在考察学生的规律推理，数学建模，综合运用数列学问的力气。21〔〕模型 的拟合程度更好〔〔〕 〔i〕 亿元.【解析】由相关系数求出两个系数，比较大小可得；〔〔〕先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程；〔ii〕把 代入〔i〕中的回归方程可得值．【详解】本小题主要考察回归分析等根底学问,,考察统计与概率思想、分类与整合思想,考察数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,表达根底性、综合性与应用性．解〔〕 ，，则 ，因此从相关系数的角度，模型 的拟合程度更好〔〔〕先建立关于.由 ，得 ，即 ．由于 ，所以关于的线性回归方程为 ，所以 ，则〔ii〕下一年销售额需到达90亿元，即 ，代入 得， ，又 ，所以 ，所以 ，所以推想下一年的研发资金投入量约是 亿元【点睛】本小题主要考察抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等根底学问，考察推理论证力气、运算求解力气，考察函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考察数学运算、直观想象、规律推理等核心素养，表达根底性、综合性与应用性22〔〕①y1；②807〔〕,2

3 e1.【解析】4x〔1〕①a1时，f(x)ln x1，f(x)

x24x4f(x)在2,f2处的切线方程．

x x24x②由f(x)ln4xx1，得f(x)f(4x)2，由此能求出S f( 1

f( 2 f(8079的值．x 2023

2023 2023 2023依据假设对任意给定的x(0e，在区间(0ex(i1,2)，使得t(x)g(x

)成立，得到0 i i 0函数t(x在区