江苏省无锡市育才中学高一数学理期末试题含解析

江苏省无锡市育才中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n==10，甲被选中包含的基本事件的个数m==4，∴甲被选中的概率p===．故选：B．2.某人从2011年起，每年1月1日到银行新存入a元(一年定期)，若年利率为r保持不变，每年到期存款(本息和)自动转为新的一年定期，到2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为(单位为元)(

)A.a(1+r)5

B.［(1+r)5-(1+r)］

C.a(1+r)6

D.［(1+r)6-(1+r)］

参考答案：B略3.满足的集合的个数为（

）A．15

B．16

C．31

D．32参考答案：C试题分析：实际上求真子集个数：，选C.考点：集合子集4.在中，若，则（

）A.

B.

C.或

D.或参考答案：C略5.如图，向量等于（）A.3﹣ B.C. D.参考答案：B【分析】根据向量减法法则，表示出，然后根据加法法则与数乘运算得出结论．【详解】＝，故选：B．【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握线性运算法则是解题基础．本题属于基础题．6.函数f（x）=log2（x﹣1）的零点是（）A．（1，0） B．（2，0） C．1 D．2参考答案：D【考点】函数的零点；函数零点的判定定理．【分析】直接利用求方程的根确定函数的零点，然后解对数方程求得结果．【解答】解：令log2（x﹣1）=0解得：x=2所以函数的零点为：2故选：D7.设全集U=R，集合，，则（

）A．(2,+∞)

B．(3,+∞)

C．[0,3]

D．(－∞,－3]∪{3}参考答案：C，，，.

8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x－4)的根，则△ABC

（

）

A．是等腰三角形，但不是直角三角形

B．是直角三角形，但不是等腰三角形

C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形参考答案：解析：由logx=logb(4x－4)得：x2－4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA－4sin3A=2sinA，∵sinA(1－4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A=，而sinA>0，∴sinA=。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。9.（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（） A． AC⊥SB B． AB∥平面SCD C． SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D． AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角参考答案：D考点： 直线与平面垂直的性质．专题： 综合题；探究型．分析： 根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．解答： 解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠DSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．点评： 此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．10.已知等差数列{an}的前n项为Sn，且，，则使得Sn取最小值时的n为（

）．A.1 B.6 C.7 D.6或7参考答案：B试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B．考点：等差数列的性质.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数同时满足：（ⅰ）对于定义域内的任意，恒有；（ⅱ）对于定义域内的任意，当时，恒有，则称函数为“二维函数”．现给出下列四个函数：①；②；③；④

其中能被称为“二维函数”的有_____________（写出所有满足条件的函数的序号）．参考答案：③【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【试题解析】由得：函数为奇函数；故排除②。

由得：函数是减函数；故排除④。

对①：令不符合，故错。

故答案为：③12.一个两位数的个位数字比十位数字大，若这个两位数小于，则这个两位数为________________。参考答案：或

解析：设十位数为，则个位数为，，即或13.在正三角形中，是线段上的点，若，则

参考答案：

14.在△ABC中，已知BC=4，AC=3，cos（A﹣B）=，则△ABC的面积为．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由题意得到∠BAC大于∠B，如图所示，作AD，使∠BAD=∠B，得到∠DAC=∠BAC﹣∠B，设AD=BD=x，则DC=4﹣x，在△ADC中，由余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解，得到x的值，确定出AD与DC的长，在三角形ADC中，利用余弦定理即可求出cosC的值，可得sinC的值，从而求得△ABC面积是AC?BC?sinC的值．【解答】解：△ABC中，BC=4，AC=3，cos（A﹣B）=，∴A＞B，（A﹣B）为锐角，如图，作AD，使∠BAD=∠B，则∠DAC=∠BAC﹣∠B，即cos∠DAC=cos（∠BAC﹣∠B）=．设AD=BD=x，则DC=4﹣x，在△ADC中，由余弦定理得：CD2=AD2+AC2﹣2AD?AC?cos∠DAC，即（4﹣x）2=x2+9﹣2x×3×，解得：x=2，∴AD=2，DC=2，在△ADC中，由余弦定理得cosC===，∴sinC==，故△ABC面积是：AC?BC?sinC=×3×4×=，故答案是：．15.若函数满足，则

参考答案：-1略16.已知集合Ａ＝，若集合Ａ＝，则的取值范围是

。参考答案：17.已知=（3，），=（1，0），则?=．参考答案：3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：=（3，），=（1，0），则?=3×1+×0=3．故答案为：3．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量（m为常数），且,不共线，若向量,的夹角落<

,>为锐角，求实数x的取值范围.参考答案：解析：要满足<>为锐角

只须>0且（）

=

=

= 即

x(mx-1)>0

1°当m>0时

x<0或 2°m<0时

x(-mx+1)<0

3°m=0时

只要x<0 综上所述：x>0时，

x=0时，

x<0时，19.将函数y=msinx（其中m≠0）的图象上的所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标压缩到原来的倍，纵坐标保持不变，得到了函数y=f（x）的图象．（1）写出函数f（x）的表达式；（2）当m=时，求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（3）若x∈[﹣，]时，函数f（x）的最大值为2，试求函数f（x）的最小值．参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由调件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数f（x）的表达式．（2）由条件利用正弦函数的周期性，正弦函数的图象的对称性，得出结论．（3）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最小值．【解答】解：（1）把函数y=msinx（其中m≠0）的图象上的所有点向左平移个单位，可得y=msin（x+）的图象；再将所得图象上所有点的横坐标压缩到原来的倍，纵坐标保持不变，得到了函数y=f（x）=msin（2x+）的图象，故f（x）=msin（2x+）．（2）当m=时，函数f（x）=sin（2x+），它的最小正周期为=π，令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，可得它的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z．（3）若x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，函数f（x）=msin（2x+）的最大值为m=2，求函数f（x）的最小值m?（﹣）=﹣1．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性以及定义域和值域，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．20.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，.（Ⅰ）若，求△ABC的面积；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（I）运用正弦的和公式，计算A角大小，结合余弦定理，计算出b，结合三角形面积计算公式，即可。（II）运用正弦定理处理，即可。【详解】解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴.由余弦定理得：，，，∴（负值舍去），∴.法二：由余弦定理得，，∴，∴，∵，由余弦定理得：，，，∴（负值舍去），∴.（Ⅱ）由正弦定理得：，.∵是锐角三角形，∴，，，∴.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识.21.（14分）已知函数y=1﹣3cos2x，x∈R，求出函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合．参考答案：考点： 正弦函数的图象．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 根据三角函数的图象和性质即可得到结论．解答： 当cos2x=﹣1，…（2分）即，k∈z时，…．（5分）函数y=1﹣3cos2x有最大值，最大值为1﹣3×（﹣1）=4…（7分）当cos2x=1…..（9分）即x=kπ，k∈z时，…．（12分）函数y=1﹣3cos2x有最小值，最小值为1﹣3×1=﹣2…..（14分）点评： 本题主要考查三角函数