辽宁省铁岭市开原林丰满族中学高三数学文期末试题含解析

辽宁省铁岭市开原林丰满族中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（） A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：A【考点】程序框图． 【专题】计算题；规律型；算法和程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序， 可知：该程序的作用是： 输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值． 第一次运行：满足条件，s=1，k=1； 第二次运行：满足条件，s=3，k=2； 第三次运行：满足条件，s=11＜100，k=3；满足判断框的条件，继续运行， 第四次运行：s=1+2+8+211＞100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环． 故最后输出k的值为4． 故选：A． 【点评】本题考查根据流程图（或伪代码）输出程序的运行结果．这是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．2.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；

②；③；④整数属于同一“类”的充要条件是“”．其中，正确结论的个数为（）A．

B． C．

D．参考答案：C3.命题“存在，”的否定是（

）．A．不存，

B．存在，

C．对任意，

D．对任意的，参考答案：D对于含特称量词的命题的否定，需将特称量词改为全称量词，同时否定命题的结论．因此命题“存在，”的否定是：“对于任意的，”．故选．4.已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为△的内心，若成立，则双曲线的离心率是

A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜驿，则猜对者是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁参考答案：C若甲猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对，则乙也猜对，故也不满足条件.而如果丙猜对，其他老师都不会对.故答案为：C.

6.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（

）A．(－∞,e]

B．(－∞,e)

C.(－e,+∞)

D．[－e,+∞)参考答案：A由函数，可得，有唯一极值点有唯一根，无根，即与无交点，可得，由得，在上递增，由得，在上递减，，即实数k的取值范围是，故选A.

7.已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为

（

）

A．

B．

C．

D．－参考答案：答案：C8.已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D9.已知函数是奇函数，当时，则的值等于（

）A．

C．

D．-参考答案：D10.函数在[－6,6]的图象大致为A．B．C．D．参考答案：B∵，∴，∴为奇函数，排除选项C.又∵，根据图像进行判断，可知选项B符合题意.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是

▲

．参考答案：略12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，cosC=，且acosB+bcosA=2，则△ABC面积的最大值为．参考答案：【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】利用余弦定理分别表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化简后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：∵acosB+bcosA=2，∴a×+b×=2，∴c=2，…（6分）∴4=a2+b2﹣2ab×≥2ab﹣2ab×=ab，∴ab≤（当且仅当a=b=时等号成立）…（8分）由cosC=，得sinC=，…（10分）∴S△ABC=absinC≤××=，故△ABC的面积最大值为．故答案为：．…（12分）【点评】此题考查了基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．13.若三点共线则的值为_________________.参考答案：略14.设Sn为数列{an}的前n项和，已知，，则an=______，S100=______．参考答案：

【分析】由已知可得=2，=2n，然后利用累加法可求{an}的通项公式；结合以上所求代入可得Sn=，然后利用错位相减可求Sn，进而可求S100．【详解】由，，可得=2，=2n，∴=2，，…，以上n-1个式子相加可得，=2+22+…+2n-1==2n-2，∴=2n，∴an=；Sn=，∴=，两式相减可得，===，∴，∴．故答案为：；．【点睛】本题主要考查了累加法求解数列的通项公式及利用错位相减求解数列的和，注意仔细审题，认真计算，属中档题．15.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_

．参考答案：【知识点】弧度制.C1【答案解析】2解析：解：由扇形的面积公式可知，再由，所以所对的圆心角弧度数为2.【思路点拨】根据已知条件中的面积可求出弧长，再利用弧度制的概念可求出弧度数.16.正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点P、Q，若线段PQ长度的最大值为，则这个四面体的棱长为

．参考答案：4设这个四面体的棱长为，则它的外接球与内切球的球心重合，且半径，，依题意得．17.已知函数在区间上存在零点，则n=

．参考答案：5函数是连续的单调增函数,

,

,

所以函数的零点在(5,6)之间,所以n=5

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若函数的定义域为R,求实数a的取值范围．参考答案：(1)(2)【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（2）要使函数的定义域为R，只要的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案．【详解】（1）不等式或或，解得或，即x>0,所以原不等式的解集为．（2）要使函数的定义域为R，只要的最小值大于0即可，又，当且仅当时取等，只需最小值，即．所以实数a的取值范围是．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式求最值，属基础题．19.设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，）（n∈N+）均在函数y=3x+2的图象上．（1）求证：数列{an}为等差数列；（2）设Tn是数列{}的前n项和，求使对所有n∈N+都成立的最小正整数m．参考答案：【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【分析】（1）利用点在直线上，推出Sn=3n2﹣2n，通过an=Sn﹣Sn﹣1，求出an=6n﹣5（n∈N+）．利用等差数列的定义判断{an}是一个以1为首项，6为公差的等差数列．（2）化简数列的通项公式，=（﹣），然后求和，利用不等式，求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）依题意，=3n﹣2，即Sn=3n2﹣2n，…n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=6n﹣5．…当n=1时，a1=S1=1符合上式，…所以an=6n﹣5（n∈N+）．…又∵an﹣an﹣1=6n﹣5﹣[6（n﹣1）﹣5]=6，∴{an}是一个以1为首项，6为公差的等差数列．…（2）由（1）知，==（﹣），…故Tn=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣），…因此使得（1﹣）＜（n∈N+）成立的m必须且仅需满足≤，即m≥10，故满足要求的最小正整数m为10．…20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点.（Ⅰ）当为侧棱的中点时，求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面；参考答案：证明：（Ⅰ）连接，由条件可得∥.

因为平面，平面，

所以∥平面.

----------------------（6分）（Ⅱ）证明：由已知可得，,是中点，所以，又因为四边形是正方形，所以.因为，所以.又因为，所以平面平面.

--------（12分）略21.设数列{an}的前n项和为Sn，且（Sn﹣1）2=anSn（n∈N*）．（1）求S1，S2，S3的值；（2）求出Sn及数列{an}的通项公式；（3）设bn=（﹣1）n﹣1（n+1）2anan+1（n∈N*），求数列{bn}的前n项和为Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由（Sn﹣1）2=anSn（n∈N*），分别取n=1，2，3即可得出．（2）由（1）可得：n≥2时，（Sn﹣1）2=（Sn﹣Sn﹣1）Sn（n∈N*）．化为：Sn=．猜想Sn=．代入验证即可得出．（3）bn=（﹣1）n﹣1（n+1）2anan+1（n∈N*）=（﹣1）n﹣1=（﹣1）n﹣1，对n分类讨论，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵（Sn﹣1）2=anSn（n∈N*），∴n≥2时，（Sn﹣1）2=（Sn﹣Sn﹣1）Sn（n∈N*）．∴n=1时，，解得a1==S1．n=2时，，解得S2=．同理可得：S3=．（2）由（1）可得：n≥2时，（Sn﹣1）2=（Sn﹣Sn﹣1）Sn（n∈N*）．化为：Sn=．（*）猜想Sn=．n≥2时，代入（*），左边=；右边==，∴左边=右边，猜想成立，n=1时也成立．∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=，n=1时也成立．∴Sn=，an=．（3）bn=（﹣1）n﹣1（n+1）2anan+1（n∈N*）=（﹣1）n﹣1=（﹣1）n﹣1，∴n=2k（k∈N*）时，数列{bn}的前n项和为Tn=﹣++…+﹣==﹣．n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{bn}的前n项和为Tn=﹣++…﹣+==+．∴Tn=×．22.设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线与直线在(0，0)点相切。

（1）求的值;

（2）证明：当时，.参考答案：解：（1）由y＝f(x)过(0,0)点，得b＝－1.…………2分由y＝f(x)在(0,0)点的切线斜率为，又，得a＝0.…………5分（2）(证法一)由均值不等式，当x＞0时，2＜x＋1＋1＝x＋2，故＜＋1.……7分

记h(x)＝f(x)－，则h′(x)＝＋－＝－＜－＝.…………9分令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0＜x＜2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216＜0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)＜0，所以h′(x)＜0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)＜0.于是当0＜x＜2时，f(x)<.…………12分

(证法二)由（1）知f(x)＝ln(x＋1)＋