湖南省邵阳市杉木桥中学高三数学理期末试题含解析

湖南省邵阳市杉木桥中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且，连接AC，MN交于P点，若，则λ的值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D试题分析：因为，又，所以，而三点共线，，，，故选D.【方法点睛】本题主要考查平面向量的共线的性质、向量运算的平行四边形法则，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答(这种方法将几何问题转化为代数问题你，更加直观)．本题的解答主要根据向量运算的平行四边形法则解答的.2.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”.其中正确的结论有（）个A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C

本题是一道新定义题，主要考查考生阅读能力以及提取信息转化与化归能力。②错误，因为；①②③正确，故选C3.设是的重心，分别是角的对边，若,则角（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D4.已知集合，则集合A∪B=（

）A.(－2,1) B.(0,1) C.(0,+∞) D.(－2,+∞)参考答案：D【分析】根据并集的定义求解即可.【详解】故选：D【点睛】本题主要考查了求两个集合的并集，属于基础题.5.已知集合，，则A∩B=（

）A． B．{0,1,2} C． D．{1,2}参考答案：A∵集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：A．

6.已知是虚数单位，则（

） A．

B．

C． D．参考答案：B7.已知函数，则的最小值等于A．

B．

C．

D．参考答案：D8.已知，，则tanθ=（）A．﹣2 B． C． D．参考答案：C【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得tanθ的值．【解答】解：∵已知，，∴cosθ=﹣=﹣，则tanθ==﹣，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．9.下列命题中是假命题的是

（

）

A．，使是幂函数，且在上递减

B．

C．;

D．都不是偶函数

参考答案：D10.已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，]C．（，2） D．[，）参考答案：A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】根据若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，得到函数f（x）在区间（0，e]上不单调，从而求得a的取值范围．【解答】解：∵g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．，当时，f′（x）=0，f（x）在处取得最小值，由题意知，f（x）在（0，e]上不单调，所以，解得，所以对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足条件且f（e）≥1因为f（1）=0，所以恒成立，由f（e）≥1解得综上所述，a的取值范围是．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：

现在加密密钥为，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”。若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为

；参考答案：14略12.已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值是

参考答案：13.每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动．活动将个家庭分成两组，组负责种植棵银杏树苗，组负责种植棵紫薇树苗．根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时，种植一棵紫薇树苗用时.假定两组同时开始种植,若使植树活动持续时间最短，则组的家庭数为

，此时活动持续的时间为

．参考答案：【知识点】函数模型及其应用【试题解析】因为由已知得，得

所以，

故答案为：14.已知f（x）=alnx+，若对于?x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2都有＞4，则a的取值范围是

．参考答案：（4，+∞）【考点】导数的几何意义；导数的运算．【专题】函数思想；导数的概念及应用．【分析】解法一，假设x1＜x2，把＞4化为f（x1）﹣f（x2）＜4（x1﹣x2），构造函数g（x）=f（x）﹣4x，利用g（x）的导数g'（x）＞0，求出a的取值范围．解法二：根据题意，得出f（x）的导数f′（x）＞4，求出a的取值范围．【解答】解：解法一，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∵＞4，f（x1）﹣f（x2）＜4（x1﹣x2），构造函数g（x）=f（x）﹣4x，∴g（x）在（0，+∞）是单调递增函数，∴g'（x）=f′（x）﹣4=﹣4＞0；即+x﹣4＞0；∴a＞（4﹣x）x，设函数t=4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+4≤4，∴a＞4；∴a的取值范围是（4，+∞）．解法二：根据题意，f（x）=alnx+，其中x＞0，∴f′（x）=+x=＞4，∴a+x2＞4x，即a＞4x﹣x2=4﹣（x﹣2）2；∵4﹣（x﹣2）2≤4，当且仅当x=2时，取“=”，∴a＞4；∴a的取值范围是（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点评】本题考查了导数的概念以及不等式恒成立问题，解题时应根据导数的概念，化为f′（x）＞4，从而使问题得以解答．15.设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点，则的最大值是_______，的取值范围是___.参考答案：，画出可行域如图所示令，，当直线过点是有最大值，联立，得，代入；第二空：解法一、由图可知，令，则，，当时，有最小值，代入得，故的取值范围为.解法二、

如图当点在与平行的直线：上运动时，为（负）定值，故对每一个，这道当落在与的交点时，与原点的距离最小，从而取得最小值；当变化时，与的交点在上运动，此时，故=，为常数，综上知道，的最小值在线段上取到，最小值为，而最大值在线段上取到，最大值为0，故取值范围为.解法三：注意到所求为一次齐次式，可以考虑分子分母同除以，当时，得到；当时，得到，这里为原点与点的直线的斜率，容易得到，从而上述的取值范围为；当是，得到这里为原点与点的直线的斜率，容易得到，从而上述的取值范围为；综上所述，知道取值范围为.解法四：设，令，，由在可行域内，，故.16.

函数的导数为

。参考答案：答案:

17.若实数x，y满足不等式组目标函数z=2x+y的最大值为

．参考答案：16【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2x+y的位置，求出最大值．【解答】解：作出约束条件不等式组的可行域如图：目标函数z=2x+y在的交点A（5，6）处取最大值为z=2×5+6=16．故答案为：16．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知△ABC的顶点A（1，0），点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上．（Ⅰ）求C点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知过P（0，﹣2）的直线l交轨迹Γ于不同两点M，N，求证：Q（1，2）与M，N两点连线QM，QN的斜率之积为定值．参考答案：【考点】J3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）利用直接法，求C点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx﹣2，与抛物线方程联立，求出斜率，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）设C（x，y）（y≠0），因为B在x轴上且BC中点在y轴上，所以B（﹣x，0），由|AB|=|AC|，得（x+1）2=（x﹣1）2+y2，化简得y2=4x，所以C点的轨迹Γ的方程为y2=4x（y≠0）．（Ⅱ）直线l的斜率显然存在且不为0，设直线l的方程为y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），由得ky2﹣4y﹣8=0，所以，，，同理，，所以Q（1，2）与M，N两点连线的斜率之积为定值4．19.已知二次函数+的图象通过原点，对称轴为，．是的导函数，且．（1）求的表达式（含有字母）；（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；（3）在（2）条件下，若，，是否存在自然数，使得当时恒成立?若存在，求出最小的；若不存在，说明理由．参考答案：试题解析：（1）由已知，可得，，

∴解之得，

4分（2）

=

8分（3）

9分

（1）

（2）（1）—（2）得：

…11分=，即，当时，

…12分，使得当时，恒成立

13分略20.已知不等式|x+|＜的解集为A，关于x的不等式（）2x＞π﹣a﹣x（a∈R）的解集为B，全集U=R，求使?UA∩B=B的实数a的取值范围．参考答案：【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】综合题；集合思想；定义法；集合．【分析】首先根据绝对值不等式，求出集合A；由指数函数的单调性，求出集合B，化简B，根据A∩B=A?A?B，求出a的取值范围【解答】解：由x+|＜解得﹣2＜x＜1，则A=（﹣2，1），∴?UA=（﹣∞．﹣2]∪[1，+∞），由（）2x＞π﹣a﹣x，得2x＜a+x，解得x＜a，∴B=（﹣∞，a），∵?UA∩B=B，∴B??UA，∴a≤2，即a的取值范围为（﹣∞，﹣2]【点评】本题主要考查集合的包含关系及判断，考查绝对值不等式和指数不等式的解法，考查基本的运算能力，是一道中档题．21..如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处。某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A、20s后监测点C相继收到这一信号。在当时的气象条件下，声波在水中传播速度是.（1）设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离。参考答案：（1)PA－PB＝x－PB＝，。同理，

（2）作，垂足为D，在中，答：静止目标P到海防警戒线a的距离为略22.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=DC=DD1，过A1、B、C1三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，E、F分别为A1B、BC1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求平面A1BC1与平面ABCD的夹角θ的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）由三角形中位线定理得EF∥A1C1，由平行公理得EF∥AC，由此能证明EF∥平面ABCD．（Ⅱ）以D为坐标轴原点，以DA、DC、DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABCD的一个法向量和平面A1BC1的一个法向量，由此利用向量法能求出平面A1BC1与平面ABCD的夹角θ的余弦值．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵在△A1BC1中，E、F分别为A1B、BC1的中点，∴EF∥A1C1，∵在ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∥A1C1，∴EF∥AC，∵EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．…（Ⅱ）解：以D为坐