广东省肇庆市马宁中学高三数学理联考试卷含解析

广东省肇庆市马宁中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则下列说法不正确的是A.函数的周期为B.函数的图像关于点对称C.将函数的图像向右平行移动个单位得到函数的图像D.函数的图像关于直线对称参考答案：D2.若直线，则的夹角为

（

）A． B．

C．

D．参考答案：C3.函数的值域为A.[1,] B.[1,2] C.[,2] D.[参考答案：D【分析】因为函数，平方求出的取值范围，再根据函数的性质求出的值域.【详解】函数定义域为：，因为，又，所以的值域为.故选D.【点睛】本题考查函数的值域，此题也可用三角换元求解.求函数值域常用方法：单调性法，换元法，判别式法，反函数法，几何法，平方法等.4.已知则等于 A．7 B． C． D．参考答案：B因为所以，。所以，选B.5.在中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.命题“”的否定是（）参考答案：C7.若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（A）5或8

（B）-1或5（C）-1或-4

（D）-4或8参考答案：D8.经过点且与直线平行的直线为

A．

B．

C．

D．参考答案：B9.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()A．a＜c＜b

B．b＜c＜aC．a＜b＜c

D．b＜a＜c参考答案：D10.若函数f（x）=（k﹣1）ax﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2015?泰州一模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4，则△ABC的面积的最大值为．参考答案：【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4化简，根据余弦定理求出cosC，由平方关系求出sinC，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形ABC面积的最大值．解：由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4得，7a2+2b2=4，即2b2=4﹣7a2，由余弦定理得，cosC==，所以sinC===，则△ABC的面积S===a==×≤××==，当且仅当15a2=8﹣15a2取等号，此时a2=，所以△ABC的面积的最大值为，故答案为：．【点评】：本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力．12.函数的最小正周期为

．参考答案：，其中为参数，所以周期。13.直线l1：（a+3）x+y﹣3=0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4=0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a=．参考答案：﹣2【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】先分别求出两直线的方向向量，然后根据l1的方向向量是l2的法向量，则两直线的方向向量垂直，最后根据互相垂直的向量的数量积为0，从而求出所求．【解答】解：∵直线l1：（a+3）x+y﹣3=0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4=0，∴直线l1的方向向量为=（1，﹣（a+3）），直线l2的方向向量为=（1，），∵l1的方向向量是l2的法向量，∴两直线的方向向量垂直，即?=1×1+（﹣a﹣3）×=0，解得a=﹣2，∴实数a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了直线的方向向量与法向量，以及利用空间向量数量积的运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．14.在中，三边所对的角分别为、、，若，，，则

。参考答案：1根据余弦定理得，所以。15.在二项式（1+x）n的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n（n∈N*）的最小值为．参考答案：11【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理的展开式写出满足题意的表达式，然后求出n的最小值．【解答】解：二项式（1+x）n的展开式中，存在系数之比为5：7的相邻两项，∴=，∴=，∴k=，当k=5时，nmin=11，故答案为：1116.运行右图示的程序框图，当输入时的输出结果为，若变量满足，则目标函数的最大值为

;参考答案：5略17.函数y=lgx+的定义域是．参考答案：{x|x≥1}【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】利用对数的性质和根式的性质，得到y=lgx+的定义域是：{x|}，由此能够求出结果．【解答】解：y=lgx+的定义域是：{x|}，解得{x|x≥1}．故答案为：{x|x≥1}．【点评】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知数列的前项和为且，等比数列的前项和为且（1）求数列和数列的通项公式；（2）若数列中其中求数列的前项和参考答案：（1）由于知为等差数列，且

可知公比

又

…………..……………….6分（2）令又

………………12分19.本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．

（I）设是的中点，证明：平面；

（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．参考答案：证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．20.如图，圆O的直径,为圆周上一点，,过作圆的切线，过A作的垂线AD,AD分段别与直线、圆交于点D、E。求的度数与线段AE的长。参考答案：略21.设g（x）=2x+，x∈[，4]．（1）求g（x）的单调区间；（简单说明理由，不必严格证明）（2）证明g（x）的最小值为g（）；（3）设已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[﹣，]，则f1（x）=﹣1，x∈[﹣，]，f2（x）=sinx，x∈[﹣，]，设φ（x）=+，不等式p≤φ1（x）﹣φ2（x）≤m恒成立，求p、m的取值范围．参考答案：解：（1）∵g（x）=2x+为奇函数．奇函数在对称区间单调性相同，g（x）在x∈[，]上递减，g（x）在x∈[，4]上递增；（2）用最值的定义证明：g（x）在x∈[，]上递减，对任意x∈[，]，都有g（）≥g（x）≥g（）；g（x）在x∈[，4]上递增，对任意x∈[，4]，都有g（4）≥g（x）≥g（）．综上，g（x）的最小值为g（）．（3）先求定义域x∈[，2]．φ（x）=+=，φ1（x）=，）=，φ1（x）﹣φ2（x）=，由题设条件可得φ1（x）﹣φ2（x）的最小值为﹣5.25．φ1（x）﹣φ2（x的最大值为0，∴p≤﹣5.25，m≥0．略22.已知椭圆E的中心在坐标原点O，其焦点与双曲线C：的焦点重合，且椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过双曲线C的右顶点A作直线l与椭圆E交于不同的两点P、Q．①设M（m，0），当为定值时，求m的值；②设点N是椭圆E上的一点，满足ON∥PQ，记△NAP的面积为S1，△OAQ的面积为S2，求S1+S2的取值范围．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设方程为，确定c，利用椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形，可得a=2b，利用a2=b2+c2，求出a，b，即可求椭圆E的方程；（Ⅱ）①分类讨论，设l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，可得结论；②确定S1+S2=S△OPQ，求出|PQ|，可得面积，换元确定面积的范围即可求S1+S2的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意椭圆的焦点在x轴上，设方程为，其左右焦点为F1（﹣，0），F2（，0），∴c=，∵椭圆E的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形，∴a=2b，∵a2=b2+c2，∴a=2，b=1，∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）①双曲线C右顶点为A（1，0），当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，设直线l与椭圆E交点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴?=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2==（4m2﹣8m+1）+，当2m﹣=0，即m=时，?=．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，代入椭圆方程可得x=1，y=±．不妨设P（1，），Q（1，﹣），由M（，0）可得=（，﹣），=（，），∴?=，综上所述