北京北外附属外国语学校高三数学文月考试题含解析

北京北外附属外国语学校高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入，则输出的（

）

A．26

B．48

C．57

D．64参考答案：A考点：算法流程图及识读．2.下列有关命题的说法正确的是（

）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”；B．“”是“”的必要不充分条件；C．命题“存在使得”的否定是：“对任意均有”；D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．参考答案：DA．命题“若，则”的否命题为：“若，则”；B．“”是“”的充分不必要条件；C．命题“存在使得”的否定是：“对任意均有”；D．因为命题“若，则”为真，所以它的的逆否命题为真命题，因此正确的命题只有选项D。3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C4.若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：A【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用二次函数的性质，判断求解即可．【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，所以函数为：f（x）=x2+1，x∈[﹣2，2]，函数的最大值为：5．故选：A．【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．5.2010年，我国南方省市遭遇旱涝灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域内植树，第一棵树在点，第二棵树在点，第三棵树在点，第四棵树在点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一颗树，那么，第2014棵树所在的点的坐标是（

）A.(9,44)

B.(10,44)

C.(10.43)

D.(11,43)参考答案：B6.如右图，三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱底面

，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为

A.

B.

C4

D．

参考答案：B略7.下列命题正确的个数是

①命题“”的否定是“”；

②“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；

③在上恒成立在上恒成立；

④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”.A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B8.“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．即可判断出结论．【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．9.某物体是空心的几体体，其三视图均为右图，则其体积为（

）

A．8

B．

C．

D．参考答案：D该物体是一个正方体挖掉了其内切球，故为D选项。10.已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则=A

B

C

D参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R，则函数f（x）的单调递增区间是．参考答案：[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式，两角和的正弦函数公式化简，然后利用复合函数的单调性可求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x﹣1+cos2x=2（sin2x+cos2x）﹣1=2sin（2x+）﹣1．由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．故答案为：[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．12.已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为．参考答案：【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】半径为2的半圆的弧长是2π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是2π，利用弧长公式计算底面半径后利用勾股定理求圆锥的高即可求解圆锥的体积．【解答】解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=2π，解得：r=1，这个圆锥的底面半径是1，∴圆锥的高为h==．所以圆锥的体积为：V=πr2h=，故答案为：．13.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a=3，∠B=2∠A，cosA=，则sinA=，b=．参考答案：解：∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∵a=3，∠B=2∠A，sinB=2sinAcosA=2××=∴由正弦定理可得：=，可得：b===2．故答案为：，2考点：正弦定理；二倍角的余弦．专题：计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；解三角形．分析：利用同角三角函数基本关系式可求sinA，由二倍角公式可求sinB，利用正弦定理即可求b的值．解答：解：∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∵a=3，∠B=2∠A，sinB=2sinAcosA=2××=∴由正弦定理可得：=，可得：b===2．故答案为：，2．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题．14.函数为偶函数且为减函数在上，则a的范围为___________________参考答案：a且a为偶数为减函数

a 为偶函数

a为偶数类似的，若为奇函数，减函数在上，求范围解析：为减函数

为奇函数

为奇数注意；幂函数的定义性质必须弄懂15.已知某个几何体的三视图如图所示（正视图弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是cm3．参考答案：8+π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原几何体是一个组合体，上部是圆柱的一半，下部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的体积．解答：解：三视图复原几何体是一个组合体，上部是圆柱的一半，底面是一个半圆，半径为1，高为2的半圆柱；下部是正方体，棱长为2，；正方体体积是：8；半圆柱的体积为：π；所以组合体的体积：8+π；故答案为8+π．点评：本题考查由三视图求组合体的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．16.如果：=1+mi（mR，i是虚数单位），那么m=

．参考答案：1略17.已知函数在点处的切线方程为，则

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．（Ⅰ）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望．（附：若随机变量，则，，）参考答案：（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析。【分析】（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间分为和两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为，且，由此可得的分布列和数学期望．【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩，所以．所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，所以，，，．所以的分布列为0123

所以数学期望．【点睛】（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．19.（13分）已知函数f（x）=ex．（Ⅰ）过原点作曲线y=f（x）的切线，求切线的方程；（Ⅱ）当x＞0时，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【分析】（I）先求出其导数，利用导数得出切线的斜率即可；（II）由f（x）=mx2，令h（x）=（x＞0），利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设切线方程为y=kx，切点为（x0，y0），则，∴x0=1，k=e，∴函数y=f（x）的图象过原点的切线方程为y=ex；（Ⅱ）当x＞0，m＞0时，令f（x）=mx2，化为m=，令h（x）=（x＞0），则h′（x）=，则x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．∴当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，h（2）=．∴当m∈（0，）时，曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为0；当m=时，曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为1；当m＞时，曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点个数为2．【点评】本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程的根的个数等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．20.已知椭圆E：+=1（a＞）的离心率e=，右焦点F（c，0），过点A（，0）的直线交椭圆E于P，Q两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点P关于x轴的对称点为M，求证：M，F，Q三点共线；（3）当△FPQ面积最大时，求直线PQ的方程．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率公式，计算可得a与c的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案；（2）根据题意，设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），联立直线与椭圆的方程可得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，设出P、Q的坐标，由根与系数的关系的分析求出、的坐标，由向量平行的坐标表示方法，分析可得证明；（3）设直线PQ的方程为x=my+3，联立直线与椭圆的方程，分析有（m2+3）y2+6my+3=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），结合根与系数的关系分析用y1．y2表示出△FPQ的面积，分析可得答案．【解答】解：（1）由，c=ea=×=2，则b2=a2﹣c2=2，∴椭圆E的方程是．（2）证明：由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），由方程组，得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，依题意△=12（2﹣3k2）＞0，得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，∵，由（2﹣x1）y2﹣（x2﹣2）y1=（2﹣x1）?k（x2﹣3）﹣（x2﹣2）?k（x1﹣3）=，得，∴M，F，Q三点共线．（3）设直线PQ的方程为x=my+3．由方程组，得（m2+3）y2+6my+3=0，依题意△=36m2﹣12（m2+3）＞0，得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则．∴=，令t=m2+3，则，∴，即时，S△FPQ最大，∴S△FPQ最大时直线PQ的方程为．21.已知函数.（1）求的值及f(x)的最小正周期；（2）若函数f(x)在区间上单调递增，求实数m的最大值.参考答案：（1）1；π；（2）.【分析】（1）由函数的解析式求解的值即可，整理函数的解析式为的形式，然后由最小正周期公式确定函数的最小正周期即可；（2）由(1)中函数的解析式可知函数的单调增区间为，．据此结合题意可得实数的最大值.【详解】（1）由已知.因为，所以函数的最小正周期为．（2）由得，.所以，函数的单调增区间为，．当时,函数的单调增区间为，若函数在区间上单调递增，则，所以实数的最大值为.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.已知函数f(x)＝xm+ax的导函数f′(x)＝2x+1，,点An(n,Sn)在函数y=f(x)(n