湖南省衡阳市石准中学高三数学文期末试卷含解析

湖南省衡阳市石准中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等边三角形ABC中，AB=2，E，F分别是边AB，AC上运动，若，则EF长度的最小值为（）A． B． C．1 D．参考答案：A【考点】余弦定理．【分析】利用正弦定理、三角形的面积公式求得AE?AF=，再利用余弦定理、基本不等式，求得EF长度的最小值．【解答】解：等边三角形ABC中，若==，∴AE?AF=．由余弦定理可得EF2=AE2+AF2﹣2AE?AF?cos60°=AE2+AF2﹣AE?AF≥2AE?AF﹣AE?AF=AE?AF=，即EF2≥，∴EF≥=，当且仅当AE=AF时，取等号，故EF长度的最小值为．故选：A．2.如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】点到直线的距离公式；平面向量坐标表示的应用．【分析】法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，由M、N分别为OA与OB的中点，可得x+y=，下同法一【解答】解法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，∴=x+y得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，又因为M、N分别为OA与OB的中点，所以=∴x+y=原题转化为：当x时，求x2+y2的最小值问题，∵y=∴x2+y2==结合二次函数的性质可知，当x=时，取得最小值为故选B【点评】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1“的应用4.函数的图像可能是（

）参考答案：B略5.（5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=（）A．B．1C．D．参考答案：D【考点】：正弦定理；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：a，b，c成等比数列可得，b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC=【解答】：解：∵a，b，c成等比数列∴b2=ac由正弦定理可得sin2B=sinAsinC==故选D【点评】：本题主要考查了利用正弦定理进行解三角形，属于基础试题，难度不大．6.在面积为S的三角形ABC内随机取一点M，则三角形MBC的面积的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：D7.过圆的圆心，作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形的面积满足，则直线有（

）A．1条

B．2条

C．3条

D．0条参考答案：A试题分析：由于第二与第四部分面积确定，因此第三部分与第一部分的差也唯一确定，因此满足条件的直线有且仅有一条，选A.考点：直线与圆位置关系8.已知集合A={≤0，x∈N}，B={x|≤2，x∈Z}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：D【考点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法．【分析】通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件A?C?B的集合C的个数即可．【解答】解：∵={1，2}={0，1，2，3，4}，因为A?C?B，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合C的个数为{0，3，4}子集的个数：23=8．故选D．9.已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是（

）A．(1－，2)

B．(0，2)

C．(－1，2)

D．(0，1＋)参考答案：A略10.下面给出的四个点中,位于表示的平面区域内,且到直线的距离为的点是A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设⊙O为不等边△ABC的外接圆，△ABC内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，P是△ABC所在平面内的一点，且满足（P与A不重合）.Q

为△ABC所在平面外一点，QA=QB=QC.有下列命题：①若QA=QP，∠BAC=90°，则点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上；

②若QA=QP，则；

③若QA>QP，；

④若QA>QP,则P在△ABC内部的概率为

的面积）．

其中不正确的命题有＿＿＿＿＿（写出所有不正确命题的序号）．参考答案：略12.设有两个命题：(1)不等式|x|＋|x－1|>m的解集为R；(2)函数f(x)=(7－3m)x在R上是增函数；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则m的取值范围是

.

参考答案：

13.已知实数满足，且恒成立，则实数的最小值是

．参考答案：4

14.已知函数f（x）=Msin（ωx+φ），（M＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=．参考答案：2【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】首先利用函数的图象确定函数的最大值，进一步利用两点间的距离求出函数的周期，进一步利用f（0）=1，求出φ的值最后确定函数的解析式，最后求出结果．【解答】2解：已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，所以：M=2，根据函数的图象，设A（x1，2），B（x2，﹣2），则：所以：|x1﹣x2|=3，所以函数的周期为6，所以：，解得：ω=，由于：f（0）=1，所以：f（0）=2sinφ=1又，所以：φ=，所以：f（x）=2sin，则：f（﹣1）=，故答案为：2．【点评】本题考查的知识要点：利用函数的图象求函数的解析式，及利用函数的解析式求函数的值，主要考查学生的应用能力．15.已知点p（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为

．参考答案：2考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值．解答： 解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，由圆的性质知：S四边形PACB=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值S=1=rd（d是切线长）∴d最小值=2圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2故答案为：2点评：本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．16.已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为

▲

.

参考答案：

17.不等式的解集是

参考答案：原不等式等价为，解得，即原不等式的解集为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知椭圆，过点作圆的切线，直线恰好过椭圆C的右顶点与上顶点.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)若圆上的一点的切线交椭圆C于A,B两点，试确定的大小，并加以证明.参考答案：方法一：解:（Ⅰ）因为点在圆上，

所以直线，

又因为直线的斜率为，…………1分

所以直线的方程为：．

令，可得，所以椭圆的右顶点坐标为；……………3分

再令，可得，所以椭圆的上顶点坐标为.……………4分

所以，因此，椭圆的方程为：．……………6分

（Ⅱ）若直线的方程为：，则．

此时，故；

若直线的方程为：，则，

此时，故.

猜想为定值．

……………7分（写一种情形即可）

证明如下：

若直线的斜率存在，设，

则直线的方程为：整理可得：，………8分

将代入椭圆方程可得，

整理得,

所以.

……………9分

将代入椭圆方程可得：，

整理得，

所以.

……………10分

故．

……………11分

所以为定值．

……………12分方法二：解:（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）若直线的方程为：，则．

此时，故；

若直线的方程为：，则，

此时，故.

猜想为定值．

……………7分（写一种情形即可）

证明如下：

若直线的斜率存在，设直线的方程为：．

联立方程组，可得.

设，则，……………8分

又因为，

则

.……………9分

所以

.

……………10分

因为直线与圆相切，所以，即．……………11分

所以，

故为定值.

……………12分19.（本小题满分10分）如图,AB是⊙O的直径,弦BD、CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证:(1);(2)AB2=BE?BD-AE?AC.参考答案：(1)连结AD因为AB为圆的直径,所以∠ADB=90°,又EF⊥AB,∠EFA=90°则A、D、E、F四点共圆∴∠DEA=∠DFA-------------------------------5分(2)由(1)知,BD?BE=BA?BF又△ABC∽△AEF∴即:AB?AF=AE?AC∴BE?BD-AE?AC=BA?BF-AB?AF=AB(BF-AF)=AB2

20.数列的首项,(1)求数列的通项公式；(2)设的前项和为,若的最小值为，求的取值范围？参考答案：解：（1）

又，

则

即奇数项成等差，偶数项成等差

（或:）（2）当为偶数，即时：

当为奇数，即时：

略21.（本小题满分13分）设数列的前项和为，已知(n∈N*)．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：当x>0时，（III）令，数列的前项和为．利用（2）的结论证明：当n∈N*且n≥2时，.参考答案：（1）由，得（）………2分两式相减，得，即（）于是，所以数列是公差为1的等差数列…………..….3分又，所以.

所以，故.

…….5分（2）令，则，7分∴在时单调递增，，即当时，….9分（3）因为，则当n≥2时，.

…11分下面证令，由（2）可得，所以，，……，以上个式相加，即有∴

…………………13分22.（12分）已知递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=an（1+log2an），求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由已知条件利用等比数列通项公式和等差中项性质，列出方程组，求出首项和公比，再由{an}是递增数列，求出数列{an}的通项公式．（2）由bn=an（1+log2an）==（1+n）?2n，利用错位相减法能求出．解：（1）∵递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项，∴，解得或，∵{an}是递增数列，∴a