2024年中考数学总复习：几何初步及三角形-知识讲解（提高）

2024年中考数学总复习：几何初步及三角形—知识讲解（提高）【考纲要求】1.了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关的实际问题；2.了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及进行角的度量和计算；3.掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；4.了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题；

5.了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线

和高，了解三角形的稳定性.【知识网络】【考点梳理】考点一、直线、射线和线段

1．直线

代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义，便于理解直线的意义).

要点诠释：1）．直线的两种表示方法：

(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线AB，其中A、B是表示直线上两点的字母；

(2)用一个小写字母表示直线，如直线a.

2)．直线和点的两种位置关系

(1)点在直线上(或说直线经过某点)；

(2)点在直线外(或说直线不经过某点).

3).直线的性质：

过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线).2．射线

直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.

要点诠释：(1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A是射线上一点；

(2)用一个小写字母表示射线，如射线a.

3.线段

直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点.要点诠释：

1)．线段的表示方法：

(1)用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母；

(2)用一个小写字母表示，如线段a.

2)．线段的性质：

所有连接两点的线中，线段最短(即两点之间，线段最短).

3)．线段的中点：

线段上一点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.

4)．两点的距离：

连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.考点二、角

1．角的概念：

(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫做角的边.

(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边.

要点诠释：1）．角的表示方法：

(1)用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如∠AOB；

(2)用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如∠A；

(3)用一个数字或希腊字母来表示，如∠1，∠.

2）．角的分类：

(1)按大小分类：

锐角----小于直角的角(0°＜＜90°)；

直角----平角的一半或90°的角(=90°)；

钝角----大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°)．

(2)平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角，平角等于180°.

(3)周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫做周角，周角等于

360°.

(4)互为余角：如果两个角的和是一个直角(90°)，那么这两个角叫做互为余角.

(5)互为补角：如果两个角的和是一个平角(180°)，那么这两个角叫做互为补角.

3）．角的度量：

(1)度量单位：度、分、秒；

(2)角度单位间的换算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；

(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.

4）．角的性质：

同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.

2．角的平分线：

如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.考点三、相交线

1．对顶角

(1)定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.

(2)性质：对顶角相等.

2．邻补角

(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.

(2)性质：邻补角互补.

3．垂线

（1）定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示.

要点诠释：

①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.

(2)点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

4．同位角、内错角、同旁内角

(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.

(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.

考点四、平行线

1．平行线定义：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”来表示，.如直线a与b平行，记作a∥b.在几何证明中，“∥”的左、右两边也可能是射线或线段.

2．平行公理及推论：

(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：

如果b∥a，c∥a，那么b∥c.

3．性质：

(1)平行线永远不相交；

(2)两直线平行，同位角相等；

(3)两直线平行，内错角相等；

(4)两直线平行，同旁内角互补；

(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：

若b∥c，b⊥a，则c⊥a.

4．判定方法：

(1)定义；

(2)平行公理的的推论；(3)同位角相等，两直线平行；

(4)内错角相等，两直线平行；

(5)同旁内角互补，两直线平行；

(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.

考点五、命题、定理、证明

1．命题：

(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.

(2)命题的结构：题设+结论=命题；

(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；

(4)命题的分类：真命题和假命题；(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.

2．公理、定理：

(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.

(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理.

3．证明：

用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明.

考点六、三角形的概念及其性质

1．三角形的概念

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2．三角形的分类

(1)按边分类：

(2)按角分类：

3．三角形的内角和外角

(1)三角形的内角和等于180°.

(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

4．三角形三边之间的关系

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

5．三角形内角与对边对应关系

在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.

6．三角形具有稳定性.考点七、三角形的“四心”和中位线

三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.

1．内心：

三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.

2．外心：

三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等.

3．重心：

三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.

4．垂心：

三角形三条高线的交点.

5．三角形的中位线：

连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.

中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

要点诠释：

(1)三角形的内心、重心都在三角形的内部.

(2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.

(3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点.

(4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部.

【典型例题】类型一、几何初步1．判断下列语句是不是命题

①延长线段AB()．

②两条直线相交，只有一交点()．

③画线段AB的中点()．

④若|x|=2，则x=2()．

⑤角平分线是一条射线()．【思路点拨】判断语句是否是命题有两个关键，首先观察是不是一个完整的句子，再观察是否作出判断.【答案与解析】①③两个语句都没有作出判断，所以①不是②是③不是④是⑤是.【总结升华】本题考查学生对命题概念的理解.举一反三：【变式】命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B.类型二、三角形2．（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交点O．求证：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．证明：在△OAB中有OA+OB＞AB在△OAD中有，在△ODC中有，在△中有，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA即：，即：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）【思路点拨】直接根据三角形的三边关系进行解答即可．【答案与解析】证明：∵在△OAB中OA+OB＞AB在△OAD中有OA+OD＞AD，在△ODC中有OD+OC＞CD，在△OBC中有OB+OC＞BC，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA即2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，即AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．故答案为：OA+OD＞AD；OD﹣OC＞CD；OBC；OB+OC＞BC；2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA．【总结升华】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．举一反三：【变式】【高清课堂：几何初步及三角形专题二8】【答案】50°.3．如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．

【思路点拨】分别写出前三个图形的正三角形的个数，并观察出后一个图形比前一个图形多分割出四个小的正三角形，依此类推即可写出第n个图形的正三角形的个数，进而得出第5个图中正三角形的个数．【答案与解析】图①有１个正三角形；图②有（１＋４）个正三角形；

图③有（１＋４＋４）个正三角形；图④有（１＋４＋４＋４）个正三角形；

图⑤有（１＋４＋４＋４＋４）个正三角形；…．所以共有17个.【总结升华】这是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.举一反三：【变式】一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三角形一定是()．

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【答案】B.4．（2015·陕西校级期末）到三角形三个顶点距离相等的点是三角形()的交点．

A.三个内角平分线B.三边垂直平分线

C.三条中线D.三条高【思路点拨】可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考，首先满足到A点、B点的距离相等，然后思考满足到C点、B点的距离相等，都分别在各自线段的垂直平分线上，于是答案可得．【答案】B.【解析】三角形三边垂直平分线的交点是外心，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等.【总结升华】考点：线段垂直平分线的定理.举一反三：【变式】【高清课堂：几何初步及三角形专题二9】【答案】A.类型三、综合运用5．如图：已知，△ABC中，∠A=50°

(1)如图(1)，点O是∠ABC和∠ACB的平分线交点，则∠BOC=_____；

(2)如图(2)，点P是∠ABC和外角∠ACE的平分线交点，则∠BPC=____；

(3)如图(3)，点M是外角∠BCE和∠CBF的平分线交点，则∠BMC=____.

【思路点拨】本题涉及知识点是三角形内角和定理；三角形的外角性质．【答案与解析】图(1)中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)

图(2)中，∠BPC=∠PCE-∠PBC

图(3)中，∠BMC=180°-(∠MBC+∠MCB)

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【总结升华】本题考查角平分线，三角形内角和，外角和内角关系等多个知识点，常采用建立方程或直接推理的方法.6．探索

在如图-1至图-3中，△ABC的面积为a.

(1)如图-1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA，若△ACD的面积为S1，则S1=____(用含a的代数式表示)；

(2)如图-2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE，若△DEC的面积为S2，则S2=____(用含a的代数式表示)，并写出理由；

(3)在图-2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF(如图-3)，若阴影部分的面积为S3，则S3=____(用含a的代数式表示)；

（4）像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF(如图-3)，此时，我们称△ABC向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的____倍．【思路点拨】灵活运用等底同高的两三角形面积相等来解决问题．【答案与解析】（1）∵BC=CD，∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S1=a；（2）2a；连接AD，

∵CD=BC，AE=CA，

∴S△DAC=S△DAE=S△ABC=a，

∴S2=2a；（3）结合（2）得：S3=2a×3=6a；

（4）扩展一次后得到的△DEF的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的7倍．【总结升华】本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出．从而使考生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程，解题思想方法的感悟，体会得淋漓尽致，是一道新课标理念不可多得的好题．举一反三：【变式】去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉，今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH(如图)，求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少m2？

【答案】第一次扩展后的阴影面积为6a=6×10=60(m2)

第二次扩展后的阴影面积为42a=42×10=420(m2)

两次扩展后阴影部分面积共为480m2.中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数—巩固练习（基础） 【巩固练习】一、选择题

1.下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是()2．（2015•南平）直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（﹣4，0） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，0）3．若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1﹤x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＜O B．m＞0C．m＜ D．m＞4．已知正比例函数与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则它的另一个交点的坐标是（）A.B.C.D.5．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过第（）象限．A.一B.二C.三D.四6．反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是()A．B．C．D．二、填空题7．已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数关系式是.8．从-2，-1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y＝kx+b的系数k，b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过第四象限的概率是________．9．已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是_________．10．过点P（8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________．11．如图，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线上，且，；分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为．

12．（2015•达州）在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2…，A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn，则Sn的值为（用含n的代数式表示，n为正整数）．三、解答题13．已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象经过原点？（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？（4）k为何值时，y随x的增大而减小？14.某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在正比例函数关系：yA＝kx，并且当投资5万元时，可获得利润2万元；信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：yB＝ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数的表达式；(2)如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．15．小张骑车往返于甲、乙两地，距甲地的路程y(km)与时间x(h)的函数图象如图所示．(1)小张在路上停留________h，他从乙地返回时骑车的速度为km/h．(2)小李与小张同时从甲地出发，按相同路线匀速前往乙地，小李到乙地停止，途中小李与小张共同相遇3次．请在图中画出小李距甲地的路程y(km)与时间x(h)的函数的大致图象．(3)小王与小张同时出发，按相同的路线前往乙地，距甲地的路程y(km)与时间x(h)的函数关系为y＝12x+10，小王与小张在途中共相遇几次？请你计算出第一次相遇的时间．16.（2015•湖北）如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A（1，4）和点B（n，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．【答案与解析】一、选择题

1.【答案】C；【解析】考查函数的定义．2.【答案】D；【解析】直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4，当y=0时，x=2，因此与x轴的交点坐标是（2，0），故选：D．3.【答案】D；【解析】本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x1＜x2时，y1＞y2，说明y随x的增大而减小，所以1-2m﹤O,∴m＞，故正确答案为D．4.【答案】A；【解析】通常我们求交点坐标的方法是将两个函数解析式联立方程组，来求交点坐标所以需要先通过待定系数法求出正比例函数与反比例函数的解析式，将代入两个函数解析式求得，解得或，另一交点坐标为5.【答案】B；【解析】∵直线y=kx+b经过一、二、四象限，∴对于直线y=bx+k，∵∴图像不经过第二象限，故应选B．6.【答案】B；【解析】该题有三种解法：解法①，画出的图象，然后在图象上按要求描出三个已知点，便可得到的大小关系;解法②,特殊值法，将三个已知点（自变量x选特殊值）代入解析式，计算后可得到的大小关系；解法③，根据反比例函数的性质，可知y1，y2都小于0，而y3＞0，且在每个象限内，y值随x值的增大而减小，而x1＜x2，∴y2＜y1＜0.故，故选B.二、填空题7．【答案】y=2x+2；【解析】设y关于x的函数关系式为y=k（x+1）.∵当x=5时，y=12，∴12=（5+1）k，∴k=2．∴y关于x的函数关系式为y=2x+2．8．【答案】；【解析】．∴一次函数图象不经过第四象限的概率是．9．【答案】m≥0；【解析】提示：应将y=-2x+m的图像的可能情况考虑周全．10．【答案】y=x-6；【解析】设所求一次函数的解析式为y=kx+b．∵直线y=kx+b与y=x+1平行，∴k=1，∴y=x+b．将P（8，2）代入，得2=8+b，b=-6，∴所求解析式为y=x-6．11．【答案】；【解析】本题考查反比例函数的面积不变性,由12．【答案】22n﹣3；【解析】∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣1，∴OA1=1，OD=1，∴∠ODA1=45°，∴∠A2A1B1=45°，∴A2B1=A1B1=1，∴S1=×1×1=，∵A2B1=A1B1=1，∴A2C1=2=21，∴S2=×（21）2=21同理得：A3C2=4=22，…，S3=×（22）2=23∴Sn=×（2n﹣1）2=22n﹣3故答案为：22n﹣3．三、解答题13.【答案与解析】解：（1）图象经过原点，则它是正比例函数．∴∴k＝-3．∴当k=-3时，它的图象经过原点．（2）该一次函数的图象经过点（0，-2）.∴-2=-2k2+18，且3-k≠0，∴k=±∴当k=±时，它的图象经过点(0，-2)（3）函数图象平行于直线y=-x，∴3-k=-1，∴k＝4．∴当k＝4时，它的图象平行于直线x=-x．（4）∵随x的增大而减小，∴3-k﹤O．∴k＞3．∴当k＞3时，y随x的增大而减小．14.【答案与解析】解：(1)当x＝5时，yA＝2，2＝5k，k＝0.4，∴yA＝0.4x．当x＝2时，yB＝2.4；当x＝4时，yB＝3.2．∴解得∴．(2)设投资B种商品x万元，则投资A种商品(10-x)万元，获得利润W万元，根据题意可得W＝-0.2x2+1.6x+0.4(10-x)＝-0.2x2+1.2x+4，∴W＝-0.2(x-3)2+5.8，当投资B种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元．∴投资A种商品7万元，B种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．15.【答案与解析】(1)1，30(2)所画图象如图所示，要求图象能正确反映起点终点．(3)由函数的图象可知，小王与小张在途中相遇2次，并在出发后2到4小时之间第一次相遇．当2≤x≤4时，y＝20x-20，由得．答：小王与小张在途中第一次相遇的时间为h．16.【答案与解析】解：（1）∵反比例函数的图象过点A（1，4），∴4=，即m=4，∴反比例函数的解析式为：y=．∵反比例函数y=的图象过点B（n，﹣2），∴﹣2=，解得：n=﹣2∴B（﹣2，﹣2）．∵一次函数y=ax+b（k≠0）的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），∴，解得．∴一次函数的解析式为：y=2x+2；（2）由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值．中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题

1.无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．（2015•内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（）A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜163．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）4．如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1=和y2=的图像交于点A和点B.若点C是y轴上任意一点，连结AC、BC，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4第4题图5题图5．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为（）A．12B．9C．6D．46．已知abc≠0，而且=p，那么直线y=px+p一定通过（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限二、填空题7．如图，正比例函数与反比例函数图象相交于、两点，过点做轴的垂线交轴于点，连接，若的面积为，则=.8．如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值是.第7题图第8题图第11题图9．（2014•槐荫区二模）若直线y=kx（k＞0）与双曲线的交点为（x1，y1）、（x2，y2），则2x1y2﹣5x2y1的值为．10．函数y=-3x+2的图像上存在点P，使得P到x轴的距离等于3，则点P的坐标为__________．11．如图，已知函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是．12．已知是正整数，是反比例函数图象上的一列点，其中．记，，若（是非零常数），则A1·A2·…·An的值是________________________（用含和的代数式表示）．三、解答题13．（2015•甘南州）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．14.如图，将直线沿轴向下平移后，得到的直线与x轴交于点A（），与双曲线（）交于点B．（1）求直线AB的解析式；（2）若点B的纵坐标为m，求k的值（用含m的代数式表示）．xyxyOA6246-2-2-62-8-4415．某加油站五月份营销一种油品的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止到15日进油时的销售利润为5.5万元．(销售利润＝(售价-成本价)×销售量))请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：(1)销售量x为多少时，销售利润为4万元?(2)分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O1A，AB，BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大?(直接写出答案)16.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动．(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围；(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．【答案与解析】一、选择题

1.【答案】C；【解析】直线y=-x+4经过第一，二，四象限，一定不经过第三象限，因而直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在第三象限．2.【答案】C；【解析】点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线y=经过点（1，1）时，k=1；当双曲线y=经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选：C．3.【答案】B；【解析】由方程组的解知两直线的交点为（1，a+b），而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于a，小于b的数，不等于a+b，故图D不对；故选B．4.【答案】A；5.【答案】B；【解析】由A（-6,4），可得△ABO的面积为，同时由于D为OA的中点，所以D（-3,2），可得反比例函数解析式为，设C（a，b），则，∴ab=-6，则BO×BC=6，∴△CBO的面积为3，所以△AOC的面积为12-3=9.6.【答案】B；【解析】∵=p，∴①若a+b+c≠0，则p==2；②若a+b+c=0，则p==-1，∴当p=2时，y=px+q过第一、二、三象限；当p=-1时，y=px+p过第二、三、四象限，综上所述，y=px+p一定过第二、三象限．二、填空题7．【答案】1；【解析】∵无法直接求出的面积∴将分割成和由题意，得，解得或∴、∴的面积=8．【答案】；【解析】设B点坐标为（a，b），

∵OD：DB=1：2，∴D点坐标为（，），

∵D在反比例函数的图象上，得，∴--------------①，

∵BC∥AO，AB⊥AO，C在反比例函数的图象上，C点的纵坐标是b，

∴C点坐标为（）

将（）代入得，，，

又因为△OBC的高为AB，所以，-----------②，

把①代入②得，9k-k=6，解得．9．【答案】6；【解析】由题意知，直线y=ax（a＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线y=交于两点，则这两点关于原点对称，∴x1=﹣x2，y1=﹣y2，又∵点A点B在双曲线y=上，∴x1×y1=2，x2×y2=2，∴原式=﹣2x2y2+5x2y2=﹣2×2+5×2=6．故答案为：6．10．【答案】（-，3）或（,-3）；【解析】∵点P到x轴的距离等于3，∴点P的纵坐标为3或-3当y=3时，x=-；当y=-3时，x=；∴点P的坐标为（-，3）或（，-3）．“点P到x轴的距离等于3”就是点P的纵坐标的绝对值为3，故点P的纵坐标应有两种情况．11．【答案】（0，﹣4），（﹣4，﹣4），（4，4）；【解析】先求出B、O、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标：如图，∵△AOE的面积为4，函数的图象过一、三象限，∴k=8.∴反比例函数为∵函数y=2x和函数的图象交于A、B两点，∴A、B两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，∴满足条件的P点有3个，分别为：P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）.12．【答案】；【解析】由题意可知：=，又，即，所以原式=.又，，所以，所以原式.三、解答题13.【答案与解析】解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，∴OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3得：x=2，∴M（2，2），把M的坐标代入y=得：k=4，∴反比例函数的解析式是y=；（2）把x=4代入y=得：y=1，即CN=1，∵S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON=4×2﹣×2×2﹣×4×1=4，由题意得：|OP|×AO=4，∵AO=2，∴|OP|=4，∴点P的坐标是（4，0）或（﹣4，0）．14.【答案与解析】（1）将直线沿轴向下平移后经过x轴上点A（），设直线AB的解析式为．则．解得．∴直线AB的解析式为．xxyOA6246-2-2-62-8-44（2）设点B的坐标为（xB，m），∵直线AB经过点B，∴．∴．∴B点的坐标为（，m），∵点B在双曲线（）上，∴．∴．15.【答案与解析】解法一：(1)由题意知，当销售利润为4万元时，销售量4÷(5-4)＝4万升．答：销售量x为4万升时，销售利润为4万元．(2)点A的坐标为(4，4)，从13日到15日利润为5.5-4＝1.5，所以销售量为1.5÷(5.5-4)-1，所以点B的坐标为(5，5.5)．设线段AB所对应的函数关系式为y＝kx+b，则解得∴线段AB所对应的函数关系式为y＝1.5x-2(4≤x≤5)．从15日到31日共销售5万升，利润为l×1.5+4×1＝5.5(万元)．∴本月销售该油品的利润为5.5+5.5＝11(万元)，则点C的坐标为(10，11)．设线段BC所对应的函数关系式为y＝mx+n，则解得所以线段BC所对应的函数关系式为y＝1.1x(5≤x≤10)．(3)线段AB段的利润率最大．解法二：(1)根据题意，线段OA所对应的函数关系式为y＝(5-4)x，即y＝x(0≤x≤4)．当y＝4时，x＝4，所以销售量为4万升时，销售利润为4万元．答：销售量x为4万升时，销售利润为4万元．(2)根据题意，线段AB对应的函数关系式为y＝1×4+(5.5-4)×(x-4)，即y＝1.5x-2(4≤x≤5)．把y＝5.5代入y＝1.5x-2，得x＝5，所以点B的坐标为(5，5.5)．此时库存量为6-5＝1．当销售量大于5万升时，即线段BC所对应的销售关系中，每升油的成本价（元），所以，线段BC所对应的函数关系式y＝(1.5×5-2)+(5.5-4.4)(x-5)＝1.1x(5≤x≤10)．(3)线段AB段的利润率最大．16.【答案与解析】解：(1)过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P．由已知，AM＝x，AN＝20-x，∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D＝∠C＝30°，∴∠PAN＝∠D＝30°．在Rt△APN中，，即点N到AB的距离为．∵点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，∴x的取值范围是0≤x≤15．(2)根据(1)，．∵，∴当x＝10时，有最大值．又∵，且为定值，当x＝10时，即ND＝AM＝10，AN＝AD-ND＝10，即AM＝AN．则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形．中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数--知识讲解（基础）【考纲要求】⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系

1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点点P(x,y)在第一象限；点P(x,y)在第二象限；点P(x,y)在第三象限；点P(x,y)在第四象限；点P(x,y)在x轴上，x为任意实数；点P(x,y)在y轴上，y为任意实数；点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）.3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数.4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点p′关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数；点P与点p′关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数；点P与点p′关于原点对称横、纵坐标均互为相反数.6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.要点诠释：（1）注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限；（2）平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.考点二、函数1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.要点诠释：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．（2）正比例函数y=kx（k≠0)的图象：过（0，0），（1，K）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小.2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象的性质一次函数y＝kx＋b的图象是经过(0，b)点和点的一条直线．①当k>0时，y随x的增大而增大；

②当k<0时，y随x的增大而减小．

要点诠释：（1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；（2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.3.反比例函数及其图象性质（1）定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.三种形式：(k≠0)或(k≠0)或xy=k(k≠0).（2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1；②比例系数；③自变量的取值为一切非零实数；④函数的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象①图象的画法：描点法列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）；描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）.②反比例函数的图象是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是和）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.④反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意点引轴、轴的垂线，所得矩形面积为.（4）反比例函数性质：反比例函数k的符号k>0k<0图像性质①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y随x的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出）（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系.要点诠释：（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）；（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算 1．已知点A(a，-5)，B(8，b)，根据下列要求确定a，b的值.(1)A，B两点关于y轴对称；(2)A，B两点关于原点对称；(3)AB∥x轴；(4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上．【思路点拨】（1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数；

（2）关于原点对称，x变为相反数，y变为相反数；

（3）AB∥x轴，即两点的纵坐标不变即可；

（4）在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标相等，即可得出a，b．【答案与解析】(1)点A(a，-5)，B(8，b)两点关于y轴对称，则a＝-8且b＝-5．(2)点A(a，-5)，B(8，b)两点关于原点对称，则a＝-8且b＝5．(3)AB∥x轴，则a≠8且b＝-5．(4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上，则a＝-5且b＝8．【总结升华】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．举一反三：【变式】已知点A的坐标为(-2，-1)．(1)如果B为x轴上一点，且，求B点的坐标；(2)如果C为y轴上的一点，并且C到原点的距离为3，求线段AC的长；(3)如果D为函数y＝2x-1图象上一点，，求D点的坐标．【答案】(1)设B(x，0)，由勾股定理得．解得x1＝-5，x2＝1．经检验x1＝-5，x2＝1均为原方程的解．∴B点的坐标为(-5，0)或(1，0)．(2)设C(0，y)，∵OC＝3，∴C点的坐标为(0，3)或(0，-3)．∴由勾股定理得；或．(3)设D(x，2x-1)，AD＝，由勾股定理得．解得，．经检验，，均为原方程的解．∴D点的坐标为(，)或(-1，-3)．2．已知某一函数图象如图所示．(1)求自变量x的取值范围和函数y的取值范围；(2)求当x＝0时，y的对应值；(3)求当y＝0时，x的对应值；(4)当x为何值时，函数值最大；(5)当x为何值时，函数值最小；(6)当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；(7)当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．【思路点拨】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论.【答案与解析】(1)x的取值范围是-4≤x≤4，y的取值范围是-2≤y≤4；(2)当x＝0时，y＝3；(3)当y＝0时，x＝-3或-1或4；(4)当x＝1时，y的最大值为4；(5)当x＝-2时，y的最小值为-2；(6)当-2≤x≤1时，y随x的增大而增大；(7)当-4≤x≤-2或1≤x≤4时，y随x的增大而减小．【总结升华】本题主要是培养学生的识图能力．举一反三：【变式1】下图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是()【答案】理解题意，读图获取信息是关键，由图可知某段时间内韩老师离家距离是常数，联想到韩老师是在家为圆心的弧上散步，分析四个选项知D项符合题意．答案：D【高清课程名称：平面直角坐标系与一次函数高清ID号：\o"查看资源信息"406069关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式2】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是()．【答案】C.类型二、一次函数3．（2015•盘锦）盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．（1）a=，b=；（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？【思路点拨】（1）根据函数图象，用购票款数除以定价的款数，计算即可求出a的值；用第11人到20人的购票款数除以定价的款数，计算即可求出b的值；（2）利用待定系数法求正比例函数解析式求出y1，分x≤10与x＞10，利用待定系数法求一次函数解析式求出y2与x的函数关系式即可；（3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50﹣n），然后分0≤n≤10与n＞10两种情况，根据（2）的函数关系式列出方程求解即可．【答案与解析】解：（1）由y1图象上点（10，480），得到10人的费用为480元，∴a=×10=6；由y2图象上点（10，800）和（20，1440），得到20人中后10人费用为640元，∴b=×10=8；（2）设y1=k1x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，480），∴10k1=480，∴k1=48，∴y1=48x；0≤x≤10时，设y2=k2x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，800），∴10k2=800，∴k2=80，∴y2=80x，x＞10时，设y2=kx+b，∵函数图象经过点（10，800）和（20，1440），∴，∴，∴y2=64x+160；∴y2=；（3）设B团有n人，则A团的人数为（50﹣n），当0≤n≤10时，80n+48×（50﹣n）=3040，解得n=20（不符合题意舍去），当n＞10时，800+64×（n﹣10）+48×（50﹣n）=3040，解得n=30，则50﹣n=50﹣30=20．答：A团有20人，B团有30人．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要的信息并理解打折的意义是解题的关键，（3）要注意分情况讨论．举一反三：【高清课程名称：平面直角坐标系与一次函数高清ID号：\o"查看资源信息"406069关联的位置名称（播放点名称）：例6】【变式1】(1)直线y＝2x+1向下平移2个单位，再向右平移2个单位后的直线的解析式是________.(2)直线y＝2x+1关于x轴对称的直线的解析式是________；直线y＝2x+l关于y轴对称的直线的解析式是_________；直线y＝2x+1关于原点对称的直线的解析式是_________．(3)如图所示，已知点C为直线y＝x上在第一象限内一点，直线y＝2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB平移后经过