复数与复变函数省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

《复变函数》介绍复变函数：自变量在复数范围内取值函数与高等数学类似，研究微分和积分应用领域：信号与系统，电磁学，光学，控制论，空气动力学，流体力学，弹性力学等等成绩：卷面70%（作业，出勤，课堂表现）30%11/75第1章复数与复变函数1.1复数及其代数运算1.2复数几何表示1.3复数乘幂与方根1.4复数在几何上应用举例1.5复球面与无穷远点第1节复数概念与运算22/751.1复数及其代数运算1.定义：33/752.相等虚部为零复数是实数虚部不为零复数称作虚数虚部不为零，实部为零复数称作纯虚数

44/753.共扼复数4.任意两个复数不能比较大小55/755.代数运算两复数和:两复数积:两复数商:66/75例1解77/75例2

解88/75例3解99/751.2复数几何表示复数可看作平面上点实轴虚轴注：1.复数点表示1010/752.复数模(或绝对值)显然以下各式成立1111/753.复数辐角说明辐角不确定.1212/75辐角主值定义:1313/751414/754.利用平行四边形法求复数和差两个复数加减法运算与对应向量加减法运算一致.1515/75利用直角坐标与极坐标关系复数能够表示成复数三角表示式再利用欧拉公式复数能够表示成复数指数表示式5.复数三角表示和指数表示1616/75复数五种表示(1)代数表示法(2)点表示(几何表示)(3)向量表示(5)指数表示(4)三角表示1717/75例4将以下复数化为三角表示式与指数表示式:解：1818/75例5将以下复数化为三角表示式与指数表示式:解故三角表示式为指数表示式为1919/75故三角表示式为指数表示式为2020/751.复数乘积与商定理一两个复数乘积模等于它们模乘积;两个复数乘积辐角等于它们辐角和.1.3复数乘幂与方根2121/75两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.从几何上看,两复数对应向量分别为2222/752323/75定理二两个复数商模等于它们模商;两个复数商辐角等于被除数与除数辐角之差.2424/75例6解2525/752.乘幂:2626/75棣莫佛公式2.棣莫佛公式2727/75例7解即2828/752929/751.4复数在几何上应用举例

利用复数及其运算几何意义，很多平面图形能用适当复数形式方程（或不等式）来表示，另首先，也能有给定复数形式方程（或不等式）来确定它所表示平面图形。3030/75例8求以下方程所表示曲线:解3131/75化简后得3232/751.5复球面与无穷远点1.南极、北极定义3333/75球面上点,除去北极N外,与复平面内点之间存在着一一对应关系.我们能够用球面上点来表示复数.我们要求:复数中有一个唯一“无穷大”与复平面上无穷远点相对应,记作∞.因而球面上北极N就是复数无穷大∞几何表示.球面上每一个点都有唯一复数与之对应,这么球面称为复球面.2.复球面定义3434/753.扩充复平面定义包含无穷远点在内复平面称为扩充复平面.不包含无穷远点在内复平面称为有限复平面,或简称复平面.对于复数∞来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它模要求为正无穷大.复球面优越处:能将扩充复平面无穷远点显著地表示出来.3535/753636/751.复数定义2.复数五种表示3.复数模、辐角、共轭复数4.棣莫弗公式5.复数幂与方根6.复数形式方程表示平面图形

总结

熟练掌握以下内容：3737/75

作业3838/752.1复平面上区域2.2复变函数概念2.3复变函数极限与连续性第2节复变函数及其极限与连续性3939/751.邻域:2.1复平面上区域4040/752.去心邻域:4141/753.内点:4.开集:假如G内每一点都是它内点,那末G称为开集.4242/755.区域:假如平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)D是一个开集；(2)D是连通,就是说D中任何两点都能够用完全属于D一条折线连结起来.6.边界点、边界:

设D是复平面内一个区域,假如点P不属于D,但在P任意小邻域内总有D中点,这么P点我们称为D边界点.4343/75D全部边界点组成D边界.说明(1)区域边界可能是由几条曲线和一些孤立点所组成.(2)区域D与它边界一起组成闭区域4444/75以上基本概念图示区域邻域边界点边界7.有界区域和无界区域:4545/758.连续曲线:平面曲线复数表示:4646/759.光滑曲线:由几段依次相接光滑曲线所组成曲线称为按段光滑曲线.4747/7510.简单曲线:

没有重点曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).4848/75换句话说,简单曲线本身不相交.简单闭曲线性质:任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交点集.内部外部边界4949/7511.单连通域与多连通域定义:复平面上一个区域B,假如在其中任作一条简单闭曲线,而曲线内部总属于B,就称为单连通域.一个区域假如不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域5050/75例10指明以下不等式所确定区域,是有界还是无界,单连通还是多连通.是角形域,无界单连通域(如图).5151/75无界多连通域.5252/75例11满足以下条件点集是什么,假如是区域,指出是单连通域还是多连通域?是多连通域.5353/75应了解区域相关概念:邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域了解单连通域与多连通域.5454/752.2复变函数概念注意：复变函数与一元实变函数定义完全一样,只要将后者定义中“实数”换为“复数”就行了.5555/751.单(多)值函数定义:2.定义集合和函数值集合:5656/753.复变函数与自变量之间关系:比如,5757/755858/754.映射定义:5959/756060/756161/75为了方便，以后不再区分函数、映射和变换.6262/75例.解：(1)还是线段.6363/75解：(2)6464/75仍是扇形域.解：(3)6565/751.函数极限定义:注意:2.3复变函数极限与连续性6666/75注意:复变函数极限定义与一元实变函数极限定义即使在形式上相同,但在实质上有很大差异,它较之后者要求苛刻得多.6767/752.极限计算定理定理一说明6868/75定理二与实变函数极限运算法则类似.6969/753.复变函数连续性连续定义:7070/75定理三比如,7171/75定理四7272/75特殊:(1)有理整函数(多项式)(2)