奥数讲义-函数-第4龙班教师版

第四讲函数

本讲纲要

@§1.1平面直角坐标系色§1.4反比例函数及其图像

1.特殊点1.概念

2.对称点及图像旋转变化2.图像

3.最值点3.性质

4.整数点4.解析式

5.2点距离公式5.k的几何意义

@§1.2函数及其图像6.对称图像

7.与一次函数综合题目

1.直观函数图像

@§1.5其他函数

2.判断函数关系

3.定义域1.高斯函数

4.函数值@§1.6函数图像的平移

5.解析式

1.一次函数

6.相同函数

2.反比例函数

7.奇偶性

@§1.7函数的最值

包§1.3一次函数及其图像

1.一次函数

1.一次函数和正比例函数

2.反比例函数

2.一次函数和正比例函数图像和性质

3.绝对值函数

3.直线y=kx+b的位置与k,b的符号关系

4.无理函数（利用距离公式）

4.解析式

5.多元函数

5.对称图像

6.最值应用问题

6.位置关系

@§1.8函数应用问题

7.整数点

8.三点共线1.计算

2.应用题

3.证明

4.函数图像的几何意义

⑥§1.9函数与动态几何问题

§1.1平面直角坐标系

您考试要点剖析

平面直角坐标系及函数的概念

（1）数轴上的点与实数是一一对应的；在平面直角坐标系中，坐标平面内的点与一有序实数对是一一对应

的.

⑵点P（z,y）的坐标的几何意义是表示该点到x轴的距离是N，到y轴的距离是国.

⑶点A（无1,、1）与点B（N2，》2）之间的距离是（工?~工1）2+（＞2-»1）2.

1.特殊点

例L

1）（★★2002年江苏省常州市中考试题）若点+加在第二象限，则下列关系式中正确的是

A.0<m<lB.m<0C.m>0D.m>l

【解】：点P(—I+,”，，")在第二象限，-1+加<0且m>0,0<»j<1故选(A).

2)(★★2002年天津市中考题)已知点P在第二象限，且到x轴的距离是2,到y轴的距离是3,

则点P的坐标为.

【解】：z=-3,y=2,P(-3,2).

3)(★★)点P(a、b)到x轴的距离为-a,则y轴的距离为b,到原点的距离为行，则P点的坐

标为•

【解】：(-1,1)

4)(★★★2003•贵州贵阳)对任意实数x,点P(孙-2/+6%)一定不在

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

当3>0时，-2/+6x=-2x(x-3)

j-2，+6/>0,当0<彳<3时，(点P在第一象限)

t-27+6%<0,当x>3时，(点P在第四象限)

当彳<0时，-2?+6x=-2x(x-3)<0(点P在第三象限).

【解】：B从而推断点P(，，-2—+6x)一定不在第二象限•

5)(★★★)无论实数m为何值时，直线y=m(x-l)+2一定经过一个象限，它是第几象限？

【解】：

解法一因为m为任何值时，直线都经过该象限，而m=l时，y=x+l经过第一、第二、第三象限；

m=-l时，y=-x+3经过第一、第二、第四象限；m=3时，y=3x-l经过第一、第三、第四象限，所以直线y=m(x-l)

一定经过第一象限.

解法二当x=l时，无论m为何值时，y=2,即直线y=m(x-l)恒过定点(1,2),而点(1,2)在第一象限,

故直线y=m(x-l)+2一定经过第一象限.

6)(★★★2004济南)如图，在平面直角坐标系中，0'与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.已

知：A(6,0),B(0,-3),C(-2,0),则点D的坐标是.

A.(0,2)B.(0,3)C.(0,4)D.(0,5)

【解】：C.

7)(★★★)在直角坐标系xoy中，已知点A(-2,0),C(0,-2力)，在坐标平面xOy内是否存在

点M,使AC为等腰三角形ACM的一边，且底角为30；如果存在，请说明理由.

【解】：

Mi(—2,-yV3),M(—2,—46),

M(-6,0),M(4,-273),

K(0,-年闻M(0,273).

8)(★★★中考)图『48是中国象棋的棋盘，请你根据图中建立的直角坐标系，写出图中的棋子

“马”的下一步所有可能走到的位置(“马”在中国象棋中，走"日"字形)：

.y”..--w

此时多发的理拆费(2,2),因此“马”

的下一步可防矢冽的位置为(0,1),(0,3),

(1,0),(3,0),(1,4),(3,4),(4,3),

【解】：(4,1).

2.对称点及图像旋转变化

例2.

1)(★★★)已知点A(a,2),B(-3,b),根据以下要求确定a,b的值:

(1)A,B两点关于y轴对称；

(2)A,B两点关于原点对称；

(3)AB〃y轴；

(4)A,B两点在第二、四象限两条坐标轴夹角的平分线上.

【解】：

［见=一刈，即，二3,

⑴yyA^yB9\b=2.

仔A=一刈，即广:3,

⑵[ju=一\b——2.

(3)“A=RB,所以—3,642.

(刈=一"，即《二—2,

(4)]刈=一独，\b=3.

2)(★★2001年北京大兴中考题)已知P(a,-2)和Q(3,b),如果P,Q关于原点对称,则

A.a=-3,b=2B.a=3,b=-2C.a=3,b=2D.a=-3,b=-2

Ia=-3a=-3

P(a,-2)和Q(3"),尸，Q关于原点对称，.，即八2，故选择(A)・

【解】:I-2=.b

3)(★★★2003.济南)如图，在直角坐标系中，Z^ABC各顶点的坐标分别为A(0,5、B(-1,

0)、c(1,0),若4DEF各顶点的坐标分别为D(g,0)、E(0,1)、F(O,-1),则下列判断正确的是

A.ADEF由4ABC绕0点顺时针旋转90度B.ADEF由4ABC绕0点逆时针旋转90度得

得

C.ADEF由4ABC绕0点顺时针旋转60度D^DEF由4ABC绕0点顺时针旋转120度得

得

4)(★★★2001年全国初中数学竞赛试题)已知点P在直角坐标系中的坐标为(0,1),0为坐标原

点，ZQFO-150°,且P到Q的距离为2,则Q点的坐标为：.

【解】：(±1,1+73)

3.整数点

例3.2002年北京市海淀区中考题)在平面直角坐标系内，已知点(l-2a,a-2)在第三象限，且a

为整数，求a的值.

【解】：4<a<2a为整数，所以a的值为1.

4.2点距离公式

例4.

1)(★★)已知点人(-2,2)](2,-1)4(0”)，44。6=90.当丫<0时，则。+,)2=.

【解】：由2点距离公式又勾股定理得y=-2

2)(★★★)若a、b、c为互不相等的实数，且三点的坐标分别为A(a+b,c),B(b+c,a),C(c+a,

b),则这三点的位置关系是().

A.在同一条直线上B.组成直角三角形

C.组成钝角三角形D.组成等边三角形

【解】：AB=AC+BC选A

3)(★★)一个正方形的对角线长为2a,且两条对角线与坐标轴重合,则原点到这个正方形一边

的距离是.

【解】：1

§1.2函数及其图像

⑧考试要点剖析

1.常量与变量.在某一变化过程中保持不变的量叫做常量，变化的量叫做变量.

2.函数的意义.一般地，设在某一变化过程中有两个变量x、y,对于x的每一个值，y都有唯一的

值和它对应，那么x是自变量，y是x的函数.

3.函数的解析式.用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数的解析式.

4.函数自变量的取值范围.(1)函数自变量的取值必须使函数中含自变量的代数式都有意义；(2)当

函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.

5.函数值.函数值的意义是对于自变量在取值范围内的一个确定值，如x=n时，函数有唯一确定的

对应值，这个对应值就叫做函数当x=n时的函数值.

1.直观函数图像

例5.

1)(★★)有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过

程中的任何时刻，有一个容器的水面高度(如图所示)，图中PQ为一线段，这个容器的形状是图中的

2)(★★2003•河北)甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的

速度匕与%(vi<v2),甲用一半的路程使用速度匕，另一半的路程使用速度匕；乙用一半的时间使用速

度匕，另一半的时间使用速度%。关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图像及关系，有图

2—3中4个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程)，其中正确的图示分析为

A.①B.①与②C.③D.④

【解】：图①、②是正确的，故选(B).

3)(★★2000年全国初中数学竞赛题)某人骑车沿直线旅行，先前进了akm,休息了一段时间，又

原路返回bkm(b<a),再前进ckm,则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是图中的.

【解】：选(C).

2.判断函数关系

例6.

1)(★★)在下列各式中，能表示y是x的函数的有个

①3#-2y=0；(2)y=&；③/+y2=1[④彳=lyI=«;

⑥y=1*1.

【解】：1.2.5.6共4个

2)(★★)如图所示各图像中，能表示y是x函数的有个.

【解】：1.2.4.5.6共5个

3.定义域

明确函数自变量的取值范围的确定方法：首先应考虑自变量的取值使函数解析式有意义.

①整式函数：自变量的取值范围是全体实数；

②分式函数：自变量的取值范围是使分母不为零的实数；

③偶次根式下含有自变量：自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数；

④函数解析式中含有零指数是：自变量的取值范围是使零指数嘉中的底数不为零的实数；

⑤某些函数的自变量的取值范围可以是有限的，甚至是几个数或一个数，如函数y=/*中x的取值范

围只有x=0一个数；

⑥一个函数关系式中，同时含有分式，偶次根式等，则自变量的取值范围应同时使这些式子有意义；

⑦两个函数相同时，其解析式、自变量的取值范围均相同.

⑧其次函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.

例7.

1)(★★★)求下列函数自变量的取值范围：

①y=1z+2;(2)>=-;③》=:一;®y=，①-3+J3二-；

⑤y—3z-3;⑥y='①+2

j：2+2x+3

1

尸------

i+T

(7)y=，％+2+(1一5)0(8)1+7

_一反+4|

y—,---,----

(9)J4+8—，52+20+2

【解】：

①才取任意实数，函数y=z+2都有意义，自变量"的取值范围是全体实数.

②分母z-2#0,工#2,自变量的取值范围是工丰2.

③/E*0,z>2,自变量的取值范围是工>2.

x-2》0

④F3,自变量的取值范围是工=3.

l3-x>0

⑤任何实数都有立方根,工-3为任意实数，自变量的取值范围是全体实数.

⑥/+2工+3=(Z+1)2+2>0,/+2N+3/0,自变量的取值范围是一切实数.

Jz+230,

(7)V-5^0.x2-2且xW5.

(8)%，0且刀/一1且xw——

2

(9)-4<x<-3

2)(★★★)如图所示，在Rt△ABC中,/C=9(r,AC=5,BC=12,设M为

BC边上任意一点,M点不与B,C重合，且=若y=SAABM，

(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求自变量x的取值范围.区“

【解】：j

(1)因S^AHC=~2~ACxBC=x5x12=30,S^,AMC二十ACxCM

=p5x(12-1)=30-芸忑△.=S△诋所以y与z之间的函数关系式是尸•!了.

(2)M与8,C不重合，BC=12,0<z<12.

［注］在实际问题中，函数关系式中的自变量的取值范围，除了要考虑使解析式有意义外，还应使实际

问题有意义.

3)(★★)A,B两地相距120千米，汽车以每时40千米的速度从A地开往B地，求f小时后汽车

距离B地的距离s(千米)与时间t(时)的关系式是.

【解】：s=120-40t(0Wt&3).

［说明］在实际问题中，求函数解析式，即使题目中没有明确提出求自变量的取值范围，我们也应该要

求出该问题中的函数自变量的取值范围.

4)(★★★)设函数f(u)的定义域为求下列函数的定义域：

②「2(彳)-f{x+a)

③=/(亨),这里［x］表示不超过实数x的最大整数.

【解】：

①由0-1<1得1V〈版

当工<0时，［x］忘x<0..•.亨3d,无解.

当*>0时,Ow［x］Wx.所以0W@WL,

一在（或姓

%<-1,1<%<.X

②由得一-a.当且仅当0<«<1或“取自然数时取等号.

③0<区<1,得4#0,即%<0或%>0.F,(x)=/(k1)的定义域是">1且不是自然数的一切实数.

xX

5)(★★★)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=7,P是BC边上与B不重合的动点，过点P的直线

交CD的延长线于R,交AD于Q(Q与D不重合)，且NRPC=45.设BP=x,梯形ABPQ的面积为y,求y与

x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.

【解】：［解析］利用矩形的性质及平行线分线段成比例的性质分别将PC、CR、4?等线

段用含x的代数式表示出来.

［解］在矩形4BCD中*D=BC=7,48=DC=4,4C=90。.

/,RPC=45°,：.乙R=45°=乙RPC.：.PC=RC.

■:AD//BC,.罩嘿

，QD=RD=RC-DC=3f

・・.AQ=AD-QD=1-(3-x)=4+%.

S梯形A""=彳(4。+BP),AB,

y=-i--(4+%+x)•4=4x+8.

当Q与。重合时,PC=DC=4,8P=3.

••・P与B不重合，。与。不重合，

・•・自变量，的取值范围是0<%<3.

点拨求几何量中函数关系式自变量的取值范围时，可以把自变量所代表的

几何量推到两个特殊位置或极端位置，求出相应值，再结合几何量的实际意义加以

确定.

7%+2%+1

6)函数丫="7^厂+丁%中的自变量X的取值范围是x>-2,且x#l,则a等于

A.-1B.1C.-2D.2

【解】：D

4.函数值

理解函数值与函数解析式的关系.

①求代数式的值：当函数是用一个解析式表示时，求函数值，就是求代数式的值；

②解方程：函数值是唯一确定的，但对应的自变量可以是多个.已知函数值求自变量的值也就是解一个

以自变量为未知数的方程；

③解不等式(组)：当给定函数值的一个取值范围，要求相应的自变量的取值范围时，也就是解一个不等

式(组).

例8.

1)(★★)当x取什么值时，下列函数的函数值为0?

(1月=/一4工一21(N>0)；⑵产募

【解】：

(D令y=0,即/—41—21=0,解得乃=7,12=—3.因为函数的自变量工的取

值范围为］>0,所以，=7.所以当工=7时，函数尸/一41一21的函数值为0.

(2)令y=0,即与5=0,所以|7|=3,所以⑥=3,生=-3.又因为函数的自变量

x应满足"六27即z/3,所以工=-3.所以当z=-3时，函数？=早茶的值为0.

X—Z/

_3%

2)(★★)x为何值时，函数y=2^c与函数y=x+2有相同的函数值.

根据题意，得5"-x+2,3*=(2+x)(2-%)

2—x

【解】：x1+3%-4=0.x~-4或x=l.

5.解析式

待定系数法是求函数解析式的最常用方法，对于恒等式而言，用特殊值代入而得方程十分常用.

例9.

1)(★★2004年，南昌)如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已

知该图案的面积为49,小正方形的面积为4,若用x、y表示小矩形的两边长(x>y),请观察图案，指出以

下关系式中不正确的是

*y

A.x+y=7B.x-y=2

C.4xy+4=49

D.x2+y2=25

【解】：D

2)(★★★)已知一次函数f(x)=3x+2,一次函数g(x)=ax+b,且f[g(x)]=12x+ll,求a+b的值.

【解】：12%+11=3(ax+b)+2=3g+3力+2.

从而'解得a+5=7.

11=36+2.

(★★★)已知八十"+"71

3)，求f(x)的解析式.

4)(★★★)若f(x)是一次函数，且力/[/(%)"=8%+7,则函数f(x)的解析式是

【解】：

设所求一次函数为/(x)=©+6,则有

]!=af[f(x)]+b

=a[af(x)+6]+b

=a[a(ax+b)+6]+b[a3=8

即《

=a3x+b(a2+a+1)[6(a2+a+l)=7

解得a=2,b=l.故所求的一次函数是f(x)=2x+l.

5)(★★★1984•上海市青少年数学爱好者协会招生题)

已知函数/(%)=2X•(ax2+bx+c),满足等式/(%+1)-/(x)=2X-x2,求a+b+c之值.

【解】：

【解法一】由条件知/(”+1)=2F[a(,+1)2+6(%+1)+c],从而

2***[a(x+l)2+6(x+l)+c]-2>(ax2+fex+c)=2,*x2,

即2*[2a(%+1/+26(%+1)+2c-(a%2+6%+c)]=2**x,

化简整理得:皿？+(4a+6)«+2a+26+c=x2,

ra=1.a=1

比较对应项系数，得4a+b=0解之得，b=-4

■2a+26+c=0lc=6

于是a+6+c=1-4+6=3.

【解法二】由解法一得

2X•(ax2+bx+c)+2*(4ax+2a+26)=2X•x

令4=0得2Q+26+C=0①

%=1得7a+36+c=l②

4=2得14Q+46+c=4③

联立①、②、③，得a=1,6=-4,c=6,得解.

6)(★★★★美国34届中学生邀请赛题)设f是一个多项式函数，对所有的实数x有

/(X2+1)=X4+5X2+3,求/(九2一1)

【解】：

【解法二】换元法:令x+1=[,则X=t-

【解法一】配凑法：/(，+1)=/+5"2+31.

=(x2+1)2+3(/+1)—1,由/(公+1)=/+5x2+3,有/⑴=(«-

22

/./(x)=x+3x-19I)+5(-1)+1=?+3i-l,

/(X2-1)二(%2-1)2+3(/-1)-1/(x2-l)=(?-1)2+3(^2-1)-1

-x+x2—3.-x4+x2-3.

7)(★★★)已知函数f(x)对一切函数a、b均有f(a•b)=f(a)+f(b),求证:

(l)/(l)=O；⑵，C)=一/(a)；=

【解】：

证明(1)在条件/(a•b)=f(a)+/e)中令a=l,

则/(I•6)=/(l)+/(W,

即/(l)=0.

(2)令&=：.则/(aX=f(a)+/(,),

故/(l)="a)+/(5)，

又/(l)=0,

故

W)=一-

(3)/0=小义!)=/3)+/(5)，故/(')=/⑹+/©)=/“)-f(a).

6.相同函数

判断两个函数是否是同一个函数，应从自变量的取值范围、对应法则和因变量取值范围三方面来判断,

若有一处或一处以上不同的，就可断定这两个函数不是同一个函数.

例10.(★★)判断y=z-1与)=工-工°是否是同一个函数？y=3z-l与x=3y-l是否是同一个函数？

【解】：否；是

下列各组函数中，不是同一函数的是

人・旷="与y=院13/；~7VT

B.y=x-\与，=v(x-l)

D.y=(石＞与，=丘1

=-2gy=-

•rXA

【解】：D

7.奇偶性

例11.(★★★)阅读下面的材料，再回答问题：一般地，如果函数y=f(x)对于自变量取值范围内的任意

x,都有f(-x)=-f(x),那么y=f(x)就叫做奇函数；如果函数y=f(x)对于自变量取值范围内的任意x,都

有f(-x)=f(x),那么y=f(x)就叫做偶函数例如/(x)=，+*当x取任意实数时，

/(T)=(-工尸+(-X)=-X3-X=-(X3+x)=-/(#)所以f(#)=*3+工为奇函数.又如/(■)=|*|,当X取

任意实数时，/(-，)=ITI=I/I=/(£)所以/(*)=Ix是偶奇数.

问题⑴：给出下列函数：黝=炉+1；a=+；黝=心■融=，+5.

其中，所有奇函数是,所有偶函数是(只填序号).

问题(2)：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数.

(1)当X取任意实数时，①..•/(-*)=(-，)"=/=/(«),.••/(«)=/是

偶函数;②・••/(-«)=(-x)2+l=x2+l=/(x),.-./(«)=^2+1是偶函数;③

1

'•,/(-X)=}=-3=-f(x),--•/(*)=4是奇函数;④；/(-X)=

(-X)X4

§1.3一次函数及其图像

⑧考试要点剖析

1.一次函数和正比例函数

例12.

1)(★★★)已知函数y=(202-1)/4-2-5+2)，

(1)当m=,n=时，图象是过原点的直线，

⑵当m=,n=时，直线在y轴上截距为4；

⑶当m=,n=时，图象是直线且y随x增大而减小.

【解】:

f3m2-2=1,

(D图象过原点则其截距b=0,于是有解之得利=土1,〃=一2；

.I—(〃+2)=0,

3/—2=1,

(2)由直线在y轴截距是4,有《2m一1#0,解之得他=土1,〃=一6；

「5+2)=4,

⑶由直线的性质，可知解之得加=—1.

1362—1y

标准答案:(1)切=±1,"=一2；(2)加=士1,〃=一6；(3)帆二一1,〃为任意实数

2)(★★★)已知函数y=(2mT)x+l-3m,m为何值时：

(1)这个函数为正比例函数？

(2)这个函数是一次函数？

(3)函数值y随x的增大而减小？

(4)这个函数的图象与函数y=x+l的图象交点在x轴上(不是原点)?

【解】:

⑴由正比例函数的概念有(I.二0,解得m=A，

I加一iro.J

所以当加=1-时,y=(21)1+1—37n为正比例函数.

⑵由一次函数的定义可得，当2加一1r0即加时,、=(2M-1)N+1-3痴为一

次函数.

⑶由一次函数的性质，当2m—1V0,即相〈~1~时,)=(2/»-1.)=+1—35的函数值

3随力的增大而减小.

(4)因为函数y—(2m—1)1—3m的图象与y=z+l的图象有交点，

于是方程组广无T)-lf，有解,

2切一2'

5加一2

又交点在工轴上，且不是原点，于是有4解之得以;2

所以当亏时，函数y=(2m—l)工+1—3加与'=工+］的交点在工轴上

3)(★★★)已知函数y=(m+3)/^+4«-5(xW0)是一次函数，求m的值及一次函数的解析式.

【解】：

(1)当(m+3)/f是常数项时，则m+3=0或2nl+1=0(x卢0).

当m+3=0时,m=-3,这个函数为y=4x-5；

当2m+1=0时,m=-这个函数为y=4#

(2)当(.+3)*2”+i这一项为一次项时，

则2m+l=1,二m=0.这个一次函数的解析式为y=7x-5.

2.一次函数和正比例函数图像和性质

例13.

1)2000年江苏扬州市中考题同时也是2002江苏中考第4题)已知一次函数y=kx-k,若

y随x的增大而增大，则它的图像经过.

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限

【解】：B

2)(★★★)如果一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2WxW6,相应函数值的范围是

-UWyW9,求此函数的解析式.

【解】：

(1)当4>0时，则y的值随H的增大而增大，故当z=-2时,’=-11;当支=6时,y=9.

故得，解得《2，所以所求函数解析式为y=9z-6.

2

b=64+6U=_6

(2)当为<0时，则y的值随z的增大而减小，故当工=-2时,y=9;当工=6时,y=-11.

10=-7b+hfi=--<

得，解得<2,所以所求函数解析式为y=-告工+今

2

11=6…16=4

综上所述,符合条件的解析式为>>="|~2-6或》=-/z+4.

3.直线y=kx+b的位置与k,b的符号关系

例14.

1)(★★★1998年全国初中数学赛题)已知abcW0,并且

a+6_6+c_c+a一

cab那么直线y=px+p一定通过.

A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限

【解】：

,**a+b=cp,b+c=ap、c+a=bp

三式相加得2(a+办+c)=p(a+6+c)

于是p=2或a+6+c=0

当力=2时，直线通过一、二、三象限.

当a+6+c=0时，即Q+6=-c,则p—-1,此时直线通过

二、三、四象限.

「・应选(B).

,_a-\-b一c_a-b-\-c_—a-\-b-\-c

2）（★★★2002•黄冈•题3）已知=―c=―b=a,且

—5+n2+9=6〃.则关于自变量x的一次函数＞=fcr+m+n

【解】：

若a+6+c#0,由等比定理，知

,_a+b—c_6+c-a_c+a-b_a+♦+c_,

caba-\-bc

—5+n2+9-6〃，即^/m—5+（"-3）2=0.由非负性，知m—5,n=3.故一次函

数为y=z+8.

因此,其图像一定经过第一、二、三象限.

若a+6+c=0时，得氏=-2,故一次函数为y=-2工+8,此直线过第一、二、四象

限,故填一、二.

【评述】：利用非负性及比例性质，分别确定m,n,k的取值.

4.解析式

例15.

J2

一次函数y=我的图像与X轴、y轴分别交于点A和点B,

1)（★★★）在直角坐标系中,

点C的坐标是a,0）,点D在X轴上，且么BCD和么ABD是两个相等的钝角.求图像经过B、D两点的一

次函数的解析式.

【解】：

/.AABDcoABCD.

V一次函数？=孝工十德的图像

...错喑,BD2=AD・CD.

与工轴、y轴分别交于A和8点.

即N2+2=(N+3)(Z—1).

AA点坐标为（-3,0）,B点坐标为

解得J:--|-»D(S'0).

（o,V2）,C点坐标为（1,0）.

又•••点D在工轴上，NBC。为钝角，由D(|,0)可得所求一次函数的解析式为

:.点D在点C的右边，设为。（工，0）.

如图，T.ZABD^^BCD,

NBDA=NADB.

2）（★★★2001年，北京海淀）如图13—2—11,在AABC中，Z.C=90°,P为AB上一点，且点P不

与点A重合，过点P作PE1_AB交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB=10,AC=8,设AP的长为x,四

边形PECB的周长为y,求y与x之间的函数关系式.

【解】：

在△ABC中，ZC=90°,A8=10,4C=8,.BC=/AB2-AC2=/102-82=6.

PELAP,.-.AEPA=Z.ACB.ZA为公共角AAEP^AABC.

・第唠矍管十婴解得叱手

LEC=S--^X,BP=10-X.

：•y=PE+EC+CB+BP-~~x+8-~y-x+6+10-x=——x+24

442

3

・■•y=-yx+24.设点E与点C重合，有CP_L4B,r乙4c8=90。，

CA2=AP-AB,^82=10AP,AP=~.

:点E与点A不重合，点E与点C不重合，故自变量x的取值范围为0<x(竽.

5.对称图像

给定直线丫=1«+1)8力0),(-X,y),(-x,-y),(y,x)分别替代原式中的(x,y),我们将得出原直线

关于x轴、y轴、原点及第1,3像限角平分线对称的直线函数式.

正比例函数y=kx的图象上的点是关于原点0成中心对称.

例16.(★★★)已知：直线39=版+6(兀、0),求与1

(i)关于x轴对称的直线L1的函数式，

(ii)关于y轴对称的直线L2的函数式；

(iii)关于原点对称的直线L3的函数式；

(iv)关于1,3像限角平分线对称的直线L4的函数式.

【解】：

6.位置关系

例17.(★★★)已知两直线方程ax+2y=6,x+by=-3.

(l)a、b为何值时，两直线重合？

(2)两直线相交于点(一4,1),a=?b=?

(3)当两直线方程系数有关系7一石片一t两直线有何关系？

(4)根据两直线的各种可能的位置关系，求这两直线系数之间的关系.

【解】：

(1)两直线重合.

(2)由两直线相交于点(一4,1),则有

J—4a+2X1=6,

•g=2=且1-4+lX6=-3.

,•T-b~-r

得到a=-2,b=­l.a=-1,

得到

即a=-29b=-l时，两直线重合.6=1,

(4)当”=-2,b=-l时，两直线重合.

26当£=§r—2时，两直线平行.

(3)V两直线方程系数的关系为彳=不力二百1b

当辛者时，两直线相交.

两直线平行.

评注对于两直线方程a\x+b\y=c\和a2x+bzy=C2来说，

其位置关系分为⑴端="=六时，两直线重合.⑵当'

2时，两直线平行•⑶当置堞时，两直线相交•

C2a2UZ

7.整数点

595

例18.(★★★2000•全国初中数学竞赛•题4)一个一次函数的图像与直线)=石"+7

平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B,并且过点(-1,-25).则在线段AB上(包括端点A、B),横、纵

坐标都是整数的点有

A.4个B.5个C.6个D.7个

【解】：

依题意，可设这个一次函数为y=工工+人因为直线过点(一1,-25),故有

-25=•1><(-D+&,求得氏=一苧.因此，一次函数为？=%一苧.

4444

从而A(19,0),B(0,一苧).

4

由3，=亮(力-19),知4|(力一19).又％为整数,且。4%419,所以，当力=3,7,11,

15,19时是整数.

因此,在线段AB上(包括端点A、B),纵、横坐标都是整数的点有5个，故选(B).

纵、横坐标都是整数的点，称为整点，又称为格点，计算整点数常用到整除

性质和奇偶性原理.本题另解如下：

在直线AB上，纵、横坐标都是整数的点的坐标为

x=—1+4n9y=—25+5n(n£Z).

在线段AB上，应满足：(一：：?>°>

\—25+5?z&0.

求得5,即n=1,2,3,4,5.共5个.

4

8.三点共线

应考策略：本题的两种解法都依据函数图象上的点与函数解析式之间的关系.除了本题的两种方法外，

还有一种常用的判断三点共线的方法：分别计算三条线段AB,BC,CA的长度，如果最长线段的长度等

于另两条线段的长度之和，则三点共线.

例19.

1)(★★★)判断直角坐标系内的三点A(-6,9),B(-3,7),C(6,1)是否在同一条直线上.

【解】：

解1：设经过A(-6,9)与B(—3,7)的直线是一次函数》