2020-2021学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（中考一模） 含详解

2020-2021学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（一模）

一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）

1.如果。是线段A3延长线上一点，且AC：BC=3：1,那么A5：等于（）

A.2：1B.1：2C.4：1D.1：4

2.在中，ZC=90°,AB=5,BC=3,那么sinA的值为（)

ABCD.

-f-i-5S-

3.如图，AB//DE,BC//DF,已知A尸:FB~—tn,那么CE等于（

anC.amD.an

nmmtnm+n

4.已知点M是线段AB的中点，那么下列结论中,正确的是（)

「—►1—*—1—•

A.AM=BMB-那或ABC.D.AM+BM=0

5.将抛物线y=7先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度，再次平移后得到

的抛物线的表达式为（

A.y=(x-1)2-2B.y—(x+1)2-2

C.产(x-1)2+2D.y=(x+1)2+2

6.如图所示是二次函数y=aj?+bx+c（〃W0）图象的一部分,那么下列说法中不正确的是

()

B.抛物线的对称轴为直线尤=1

C.a-b+c=Q

D.点（-2,yi）和（2,"）在抛物线上，则yi>”

二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）

7.如果2x=3y,那么2型=.

y

8.已知线段。=2厘米，c=8厘米，则线段a和c的比例中项6是厘米.

9.如果线段42的长为2,点尸是线段A2的黄金分割点，那么较短的线段4尸=.

10.计算：3（2a-b）-（a+b,）=-

11.已知等腰梯形上底为5,高为4,底角的余弦值为3,那么其周长为.

5

12.某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为无（x>0）,

九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为.（不要求写定义域）

13.如果抛物线y=m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方

向.

14.已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在

y轴右侧的部分，图象下降.试写出一个符合要求的抛物线的表达式：.

15.如图，已知△ABC中，EF//AB,鲤■=■!,如果四边形ABEF的面积为25,那么△ABC

FC2

的面积为

16.在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是RtAABC,ZC=90°,

要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA.CB上，如果AF=4,

GB=9,那么正方形铁皮的边长为.

17.如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75,那么该大坝迎水坡的

长度为米.

18.在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=AB,点E、尸分别是边CA、C2的中点，已知点

P在线段上，联结AP,将线段A尸绕点尸逆时针旋转90°得到线段。P,如果点P、

D、C在同一直线上，那么tan/CAP=.

三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）

19.（10分）计算:1-cos245

cot30°+sin60°*tan300

20.（10分）如图，已知△ABC中，DE//BC,且。E经过△ABC的重心点G,而=Z，BC=b.

（1）试用向量a、b表示向量BE；

（2）求作向量2（3a-b）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）.

3

21.（10分）已知二次函数>=以2一办（a#0）的图象经过点（-1,2）.

（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；

（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线j=?+3x+l?如果能，请说明怎样平

2

移，如果不能，请说明理由.

22.（10分）如图，点。是菱形A8CC的对角线8。上一点，联结A。并延长，交C。于点

E,交BC的延长线于点足

（1）求证：AB1=DE'BF；

（2）如果。E=l,EF=2,求空的长.

BF

23.(12分)某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼(AB)高度的实践活动，三个小组

设计了不同方案，测量数据如表:

课测量教学大楼(AB)的高度

题

测测量角度的仪器，皮尺等

量

工

具

测第一组第二组第三组

量

小

组

方

案

示

,昆、

图

说点C、D在点B的正东方向G8是教学大楼旁的居民跖是教学大楼正南方向的

明住宅楼“校训石”，借助EF进行测

量，使P、E、A三点在一条

直线上，点P、F在点8的正

南方向.

测从点C处测得A点的仰角为从点G处测得A点的仰角跖=9米，从点尸处测得A

量37°,从点。处测得A点的为37°,测得8点的俯角点的仰角为37°,从点尸处

数仰角为45°,CD=12米为45。测得A点的仰角为45。

据

(1)根据测量方案和所得数据，第小组的数据无法算出大楼高度?

(2)请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度.

[参考数据：sin37°«=0.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75]

24.(12分)已知抛物线＞=0?+如QW0)经过A(4,0),B(-1,3)两点，抛物线的

对称轴与x轴交于点C,点。与点8关于抛物线的对称轴对称，联结3C、BD.

(1)求该抛物线的表达式以及对称轴；

(2)点E在线段8C上，当时，求点E的坐标；

(3)点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点。、A、M、N为顶点的四边形是平行

四边形时，求这个平行四边形的面积.

•-

B

25.(14分)如图，已知△ABC中，ZACB=9Q°,AC=8C,点。、E在边A8上，ZDCE

=45°,过点A作的垂线交CE的延长线于点联结MD.

(1)求证：CE2=BE,DE；

(2)当AC=3,时，求。E的长；

(3)过点M作射线C。的垂线，垂足为点R设"=羽tan/FMD=y,求y关于尤的

BC

函数关系式，并写出定义域.

2020-2021学年上海市宝山区九年级（上）期末数学试卷（一模）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）

1.如果。是线段A5延长线上一点，且ACBC=3：1,那么A5：等于（）

A.2：1B.1：2C.4：1D.1：4

【分析】设AC=3x,则8C=x,AB=2x,据此即可求解.

【解答】解：・.・ACBC=3：1,

，设AC=3x,则5C=x,AB=2x,

则AB：BC=2：1.

故选：A.

iii

ABC

2.在中，ZC=90°,AB=5,BC=3,那么sinA的值为（）

A.3B.3c.AD.A

5453

【分析】根据正弦的定义解答即可.

【解答】解：在RtZXABC中，NC=90°,AB=5,BC=3,

则sinA=^C=3,

AB5

故选：A.

3.如图，AB//DE,BC//DF,已知ARFB=m：n,BC=a,那么。E等于（）

A.如B.旭C.2111D.AN

nmm+nm+n

【分析】由平行线分线段成比例可求@=BF=L,通过证明△DECS△ABC,可

ACBF+AFmtn

得出0,即可求解.

CBAC

【解答】解：-：DF//BC,

•.•-B-F-=-C--D=-n,

AFADm

・CD=BF=n

ACBF+AFm+n

9：AB//DE,

.••△DECsAABC,

•・•—CE二CD,

CBAC

.CE二BF

"BC=BF+AF'

.•.CE=..na,,

m+n

故选：D.

4.已知点M是线段AB的中点，那么下列结论中，正确的是（）

—*—•11—*—♦

A.AM=BMB.AM^-ABc-d-AM+BM=O

【分析】根据点M是线段AB的中点，可以判断疝尸诬I，但它们的方向相反，继而即

可得出答案.

【解答】解：如图所示，点M是线段的中点,

A、AM=-BM＞故本选项不符合题意.

B、疝=^■矗，故本选项符合题意.

。、面i=—融，故本选项不符合题意•

D、AM+BH=O，故本选项不符合题意.

故选：B.

:।

AMB

5.将抛物线＞=/先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得到

的抛物线的表达式为（）

A.y=（x-1）2-2B.y=（x+1）2-2

C.y=（x-1）2+2D.尸（尤+1）2+2

【分析】先确定抛物线y=/的顶点坐标为（0,0）,再利用点平移的规律得到点（0,0）

平移所得对应点的坐标为（1,2）,然后根据顶点式写出新抛物线解析式.

【解答】解:抛物线＞=/的顶点坐标为（0,0）,点（0,0）先向右平移1个单位长度,

再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（1,2）,

所以新抛物线的解析式为y=（x-1）2+2,

故选：C.

6.如图所示是二次函数y^a^+bx+cQWO）图象的一部分，那么下列说法中不正确的是

（）

A.«c<0

B.抛物线的对称轴为直线x=l

C.a-Z?+c=O

D.点（-2,yi）和（2,*）在抛物线上，则

【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线上的特殊点利用图象即可判断正误.

【解答】解：4：抛物线开口向上，交y轴的负半轴，

.,.«>0,c<0,

/.ac<0,故A正确；

8、•・,抛物线经过点（-1,0）和点（2,0）,

抛物线的对称轴为直线x=±_=l,故8不正确；

22

C、当％=1时，y=a-b+c=0,故C正确；

。、点（-2,yi）和（2,J2）在抛物线上，

•”>0,丁2=0,

.\yi>y2,故。正确；

故选：B.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）

7.如果2尤=3»那么2型=_a_.

y2

【分析】直接利用已知得出x=3y,进而代入得出答案.

2

【解答】解：：2x=3y,

.".x=—y,

2

..."爱3？

yy2

故答案为：

2

8.已知线段a=2厘米，c=8厘米，则线段。和c的比例中项6是4厘米.

【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b=b：c,可得户=改=16,故。的值可求.

【解答】解：•••线段6是。、c的比例中项，

b2=ac=16,

解得b=±4,

又二线段是正数，

.*.Z?=4.

故答案为4.

9.如果线段AB的长为2,点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段”=3-诉.

【分析】先由黄金分割点的定义求出8尸的长，即可得出4P的长.

【解答】解：：点尸是线段A8的黄金分割点，AB=2,AP<BP,

：.BP=逅工”巡-1,

2

：.AP=AB-BP=2-(立-1)=3-泥，

故答案为：3-、花.

10.计算：3(2a-b)-(a+b)=_5a-4b_.

【分析】实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算.

【解答】解：原式=3X2a-3b-a~b=5a-4b.

故答案是：5a-4b.

11.已知等腰梯形上底为5,高为4,底角的余弦值为国，那么其周长为26.

5

【分析】根据题意作出图形，利用三角函数的知识求出BE、CE的值，然后根据等腰梯

形的性质解答即可.

【解答】解：过点A作于点石，过点。作。尸，8C于点R

由题意得，AE=DF=4,cosZB=~,AD=5f

5

设BE=3x,则可得A8=5x,AE=4x,

・・x~~1,

:・BE=3,AB=5,

...四边形ABC。是等腰梯形，

：.AB=CD=5,BC^BE+EF+FC^3+3+5=11,

梯形ABC。的周长=5+5+5+11=26,

故答案为：26.

12.某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为无（尤>0）,

九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为y=10（l+x）2.（不要求写定

义域）

【分析】利用该厂九月份的产值=该厂七月份的产值X（1+增长率）2,即可得出结论.

【解答】解：...该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均

为X,

该厂八月份的产值是10（1+无）万元，九月份的产值是10（1+x）2万元，

'-y=10（1+x）2.

故答案为:y—10（1+x）.

13.如果抛物线>=机（X+1）2+/77（机是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向

向上.

【分析】根据二次函数性质，通过顶点坐标即可求解.

【解答】解：由抛物线（x+1）2+m（相是常数）可知顶点为（-1,m）,

:顶点坐标在第二象限，

•••抛物线开口向上,

故答案为：向上.

14.已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在

y轴右侧的部分，图象下降.试写出一个符合要求的抛物线的表达式：y=（答案

不唯一）.

【分析】根据条件（1）知c=0,根据特征（2）确定对称轴为y轴，图象开口向下，取

。为负数，b=0.

【解答】解：设二次函数的解析式是y=af+bx+c,

,经过原点，

.,.c=0,

•••在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降，

：.a<0,--L=0,

2a

即：b=0,

只要满足“VO,b=0,c=0就行，如：a=-1,

所以二次函数的解析式是y=

故答案为：y=

15.如图，已知△ABC中，EF//AB,丝_=工，如果四边形ABEF的面积为25,那么aABC

FC2

的面积为45

【分析】通过证明△EFCSZXBAC,可得:AEFC=（里）2=4，即可求解.

ABACAC9

【解答】解：:•空」，

FC2

••F二C—，2

AC3

JEF//AB,

,.△EFCs^BAC,

.SAEFC（FC）2==

^ABACAC9

••设SAEFC=4X,S/^ABC=9X>

：.四边形ABEF的面积5尤=25,

••x-5t

：.△ABC的面积=45,

故答案为：45.

16.在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是RtAABC,ZC=90°,

要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF=4,

GB=9,那么正方形铁皮的边长为6.

【分析】首先根据题意判定然后结合相似三角形的对应边成比例求得

答案.

【解答】解：根据题意知，NAFE=NBDG=NC=90°,

；.NA=BDG（同角的余角相等）.

...△AEFs^DBG,

•AF=EF

"DGBG"

又,：EF=DG,AF=4,GB=9,

._£=EF

"EFV

：.EF=6.

即正方形铁皮的边长为6.

故答案是：6.

17.如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75,那么该大坝迎水坡的

【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，再根据勾股定理即可求出该大坝

迎水坡AB的长度.

【解答】解：如图，过点8作BC垂直于水平面于点C,

.1.12：AC=1：0.75,

：.AC=9（米），

AB=22==15

•■-VBC+ACV12W（米）'

答：该大坝迎水坡48的长度为15米.

故答案为：15.

18.在RtzXABC中，ZACB=90°,AC=AB,点E、尸分别是边CA、的中点，已知点

尸在线段E尸上，联结AP,将线段AP绕点尸逆时针旋转90°得到线段。P,如果点尸、

D、C在同一直线上，那么tan/CAP=--1

【分析】分两种情形：①当点。在线段PC上时，延长交BC的延长线于证明

AD=DC即可解决问题.

②当点P在线段CD上时，同法可证：D4=DC解决问题.

【解答】解：如图1,当点。在线段PC上时，延长AO交8c的延长线于

H

C.EF//AB,

：.ZEFC=ZABC=45°,

VZB4O=45°,

・・・NPAO=/OFH,

9：ZPOA=ZFOH,

：.ZH=NAP。，

VZAPC=90°,EA=EC,

:.PE=EA=EC,

：.ZEPA=NEAP=NBAH,

：.ZH=/BAH,

：.BH=BAf

VZADP=ZBDC=45°,

ZADB=90°,

：.BD±AH,

：.ZDBA=ZDBC=22.5°,

VZADB=ZACB=90°,

・・・A,D,C,5四点共圆，

ZDAC=ZDBC=22.5°,ZDCA=ZABD=22.5

：.ZDAC=ZDCA=22.5°,

：.DA=DC,

设AZ)=a,贝lj£)C=AD=a,PD=^^a=AP—4----，

2亚

2a

如图2中，当点尸在线段CD上时，同法可证：DA=DC,设AD=a,贝!ICO=A£)=a,

尸£)=返。

£

图2

tanNCAP=殳＞

AP

:点尸在线段所上,

，情形1,不满足条件，情形2满足条件，

故答案为：、历-L

三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）

19.（10分）计算：-------LC°S4。----------

cot30+sin60°tan30

【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的混合运算法则计算即可.

yx（V3-y）

（«蒋）（《蒋）

=2/-1

11,

20.（10分）如图，已知△ABC中，DE//BC,且。E经过△A8C的重心点G,丽=W，BC=b-

（1）试用向量a、b表示向量BE;

（2）求作向量2（3a-b）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）.

3

【分析】（1）利用8E,求出贡，再利用三角形法则求解即可.

（2）证明EA=2CA=2（3a-b）,可得结论.

33

【解答】解：（1）连接8E.

：G是△ABC的重心，DE//BC,

AAD=AE=DE=_2,

"AB而而■于

VBC=b-

.••丽=方

3

BE=BD+DE=«+—b.

3

（2）VCA=CB+BA-BA=3a-

CA=3a_b>

.•与％=—，

33

如图诬即为所求作.

21.（10分）已知二次函数>=办2-冰（aWO）的图象经过点（-1,2）.

（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；

（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线j=?+3x+l?如果能，请说明怎样平

移，如果不能，请说明理由.

【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式，然后将解析式转化为顶点式，直接写出

顶点坐标；

（2）根据抛物线间顶点坐标的变化规律解答.

【解答】解：（1）把点（-1,2）代入〉=。/-以（aWO）,得a+a=2.

解得a=L

故该抛物线解析式是：y=/-x.

由丫=--%=（X-―）2-」知，该抛物线的顶点坐标是（_1,-A）;

2424

（2）可以，理由如下：

由y=/+3无+」，得＞=（x+—）2--.

224

则平移后抛物线顶点坐标是（-3,工）.

24

而抛物线y=/-x的顶点坐标是（---i）,

所以将抛物线y=7-尤先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度即可得到抛

2

物线y—x2+3x+—.

2

22.（10分）如图，点。是菱形ABC。的对角线8。上一点，联结A。并延长，交C。于点

E,交2c的延长线于点尸.

（1）求证：AB2=DE^BFi

（2）如果OE=1,EF=2,求空的长.

【分析】（1）通过证明△CEFS/XBARAADE^/\FCE,可得雪坦」可

ABBFCFCE

得结论；

（2）利用相似三角形的性质可得，—及也，可求&。=«,即可求解.

A0+33

【解答】证明：（1）•••四边形A8CD是菱形，

：.AB=AD=BC^CD,AB//CD,AD//BC,

，△CEFsABAF,AADEsAFCE,

.CE_CFjAD_DE；

"AB"BE'CF'CE)

-CE_AB_DE

"CF"BF=AD，

：.AB2=DE'BF；

(2)•:ACEFs^BAF,AADEs^FCE,

.FC=EF=2AD=A0；

"BFAF=A0+3'BF0F，

Al-胆=]-幽，

BFOF

•••CF=--3--AO,

BF3

•2二3-AO

"AO+3=3

••.AO=«，

.FC=2=3-«

"BF77+3-3-

23.(12分)某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼(AB)高度的实践活动，三个小组

设计了不同方案，测量数据如表：

课测量教学大楼CAB)的高度

题

测测量角度的仪器，皮尺等

量

工

具

测第一组第二组第三组

量

小

组

忌

图

说点C、。在点8的正东方向GH是教学大楼旁的居民EF是教学大楼正南方向的

明住宅楼“校训石”，借助EF进行测

量，使尸、E、A三点在一条

直线上，点、P、尸在点B的正

南方向.

测从点C处测得A点的仰角为从点G处测得A点的仰角EF=9米，从点尸处测得A

量37。，从点。处测得A点的为37°,测得B点的俯角点的仰角为37°,从点尸处

数仰角为45°,C0=12米为45°测得A点的仰角为45°

据

（1）根据测量方案和所得数据，第二小组的数据无法算出大楼高度?

（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度.

[参考数据：sin37°^0.60,cos37°^0.80,tan37°七0.75]

【分析】（1）第二小组没有测量有关的线段长度；

（2）先证△ABD是等腰直角三角形，得AB=BD,设AB=尤米，则AB=8Z）=尤米，BC

=（尤+12）米，在RtZ\ABC中，由锐角三角函数定义得出方程，解方程即可.

【解答】解：（1）第二小组的数据无法算出大楼高度，理由如下：

第二小组只测量了有关仰角和俯角的度数，没有测量有关的线段长度，

所以第二小组的数据无法算出大楼高度，

故答案为：二；

（2）选择第一小组的数据测量，理由如下：

由题意得：ZAB£）=90°,/ACB=37°,ZA£）B=45°,

AABD是等腰直角三角形,

：.AB=BD,

设AB=尤米，贝!|AB=BZ)=尤米，BC=BD+CD=(x+12)米，

在RtZXABC中，tanNACB=3^=tan37°20.75,

BC

.­。七w,

x+124

解得：x~36,

即教学大楼AB的高度约为36米.

24.(12分)已知抛物线y=a?+6xQW0)经过A(4,0),8(-1,3)两点,抛物线的

对称轴与x轴交于点C,点。与点8关于抛物线的对称轴对称，联结8C、BD.

(1)求该抛物线的表达式以及对称轴；

(2)点E在线段2C上，当NCED=N02D时，求点E的坐标；

(3)点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点。、4M、N为顶点的四边形是平行

四边形时，求这个平行四边形的面积.

【分析】(1)待定系数法可求解析式;

(2)先求出8c的解析式，通过证明△OBCs/XEDB,可得理型，可求BE的长，由

BC0C

两点距离公式可求解;

(3)分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解.

【解答】解：(1),抛物线》二一+枢(aWO)经过A(4,0),8(-1,3)两点,

.f0=16a+4b

,l3=a-b

3

a至

解得：

“12,

b=T

抛物线的解析式为-丝x,

55

对称轴为直线x=2；

(2)•.•点。与点8关于抛物线的对称轴对称,

.•.点D(5,3),

：.BD=6,

:点C(2,0),点8(-1,3),

:衣=3圾,直线3C解析式为y=-尤+2,

如图，连接8。，

,SBD//OC,

：.ZDBE=ZBCO,

,:NCED=NOBD,/CED=/EBD+NBDE,ZOBD^ZOBC+ZDBE,

：.ZOBC=ZBDE,

:.△OBCs—DB,

•••B-D=--B-E,

BC0C

-6=BE

FF

:.BE=2近,

设点E(x,-x+2),

2a=/(X+1)2+(-X+2-3)2,

；.x=l或x=-2(舍去)，

:.点E(1,1)；

(3)当。4为边时，

..•以点。、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形,

：.OA=MN=4,OA//MN,

.,.点N横坐标为6或-2,

...点N的纵坐标为褪，

5

平行四边形的面积=4义四=必，

55

当为对角线，

..•以点。、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，

:.MN与0A互相平分，

.4+02+Nx

•-----二------,

22

**•Nx=2,

.•.点N（2,-卫），

5

•••平行四边形的面积=4X^2=至，

55

综上所述：平行四边形的面积为壁或m

55

25.（14分）如图，已知△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,点。、E在边A8上，ZDCE

=45°,过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M,联结

（1）求证：CE^=BE・DE；

（2）当AC=3,时，求DE的长；

（3）过点M作射线CD的垂线，垂足为点尸，设m=x,tan/FM£）=y,求y关于x的

BC

函数关系式，并写出定义域.

【分析】（1）证明两个角相等证明列比例式可得结论；

（2）如图