第二章第一节函数的概念与性质(09年9月更新)

第二章函数与基本初等函数I

第一节函数的概念与性质

第一部分五年高考荟萃

2009年高考题

1.(2009全国卷I理)函数/(x)的定义域为R,若/(x+1)与/(x-l)都是奇函数，则()

Aj(x)是偶函数B.7(x)是奇函数

C./(%)=/(%+2)D./(x+3)是奇函数

答案D

解析•••/(x+1)与/。一1)都是奇函数，

.•./(-x+D=-/(x+l),/(-x-l)=-/(x-l),

函数/(x)关于点(1,0),及点(—1,0)对称，函数/(X)是周期7=2[1-(一1)]=4的周

期函数-x-l+4)=-f(x-l+4),/(-x+3)=-/(%+3),即。(尤+3)是奇函

数。故选D

2.(2009浙江理)对于正实数a,记A/。为满足下述条件的函数/(X)构成的集合：

VX1,4€R且々>X],有一一X)</(々)一/(七)<。(工2一玉).下列结论中正确的

是()

A.若g(x)eMa2,则/(x>g(x)w此必2

B.若g(X)eMa2，且g(X)K。，则华^€加&1

g(x)而

C.若/(x)wMal，g(X)eMa2，则/(X)+g(X)e"al+a2

D.若g(x)e"a2，且%>%，则/(x)-g(x)e此〜2

答案C

解析对于一。(9一玉)</(X2)-/(尤1)<a(》2-玉)，即有一a<­<a,

X2-Xj

令/(々)-/(%)=%,有一a<k<a,不妨设g(x)eMa2,即有

x2-x1

-ax<kf<%,-a2<kK<a2,因此有一名-a2<kf<a,+«2,因此有

/(x)+g(x)eMa\+a2*

cCl

3.(2009浙江文)若函数/(X)=X2+-(Q€R),则下列结论正确的是()

x

A.VawR,/(x)在(0,+00)上是增函数

B.VaeR,/(x)在(0,+8)上是减函数

C3aeR,/(x)是偶函数

D.3ae7?,/(x)是奇函数

答案C

【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查

结合函数的性质进行了交汇设问.

解析对于。=0时有〃x)=x2是一个偶函数

解析函数有意义，需使其定义域为{xlxwO},排除C,D,又因为

y=-——-=f—=I+F—，所以当x>0时函数为减函数，故选A.

'e2x-le2x-l

【命题立意】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难

点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

5.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=42,

[f(x-l)-f(x-2),x>0

则f(2009)的值为()

A.-lB.OC.lD.2

答案C

解析由已知得/(-l)=log22=l,/(0)=0,/(1)=/(0)-/(-1)=-1,

/(2)=/(1)-/(O)=-1,/(3)=/(2)-/(I)=-1-(-1)=0,

/(4)=/(3)-/(2)=0-(-1)=1,/(5)=/(4)-/(3)=1,/(6)=/(5)-/(4)=0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.，所以f(2009)=f(5)=1,故选C.

【命题立意】：本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

6.(2009山东卷文)函数的图像大致为().

e-e

答案A.

解析函数有意义，需使屋一0-**0,其定义域为{xlxwO},排除C,D,又因为

xx2x

e+e-e+12

y=-——-=——=1一，所以当x>0时函数为减函数，故选A.

e—ee—1e—1

【命题立意】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点

在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

7.(2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=J1O§2(4-%)，A-0,

l/(x-l)-/(x-2),x>0

则f(3)的值为()

A.-lB.-2C.lD.2

答案B

解析由已知得/(—l)=log25J(0)=k)g24=2J⑴=/(0)-/(—1)=2-1限25,

/(2)=/(D-y(0)=-log25,/(3)=/(2)-/(l)=-log25-(2-log25)=-2，故选B.

【命题立意】：本题考查对数函数的运算以及推理过程.

8.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数/(%),满足了(》-4)=一/。),且在区间。2]

上是增函数，则).

A./(-25)</(ll)</(80)B./(80)</(11)</(-25)

C./(ll)</(80)</(-25)D./(-25)</(80)</(l1)

答案D

解析因为/(x)满足/。-4)=一/。),所以/。-8)=/(x),所以函数是以8为周期的

周期函数，则/(-25)=/(-1),/(80)=/(0),/(11)=〃3),又因为/(x)在R上是奇函

数，f(0)=0,得/(80)=/(0)=0,/(-25)=/(-1)=一/⑴，而由/(x-4)=-f(x)得

/(11)=/(3)=-/(-3)=一。(1-4)=/(I)，又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数，所以

/(D>f(0)=0,所以一/(I)<0,即/(—25)</(80)</(11),故选D.

【命题立意】：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质，运用化归的数学思想

和数形结合的思想解答问题.

9.(2009全国卷n文)函数y=，7(x<0)的反函数是()

(A)y=f(x>0)(B)y=*(x>0)

(B)y=_?(x<o)(D)y=—f(x<0)

答案B

解析本题考查反函数概念及求法，由原函数xWO可知AC错,原函数yNO可知D错.

10.(2009全国卷H文)函数丫=)，=108,2^的图像()

2+x

(A)关于原点对称(B)关于主线〉=一》对称

(C)关于y轴对称(D)关于直线y=x对称

答案A

解析本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为(-2,2)关于原点对称，又f(-x)=-f(x),

故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。

11.(2009全国卷II文)设。=lge,b=(lge『,c=lg直■则()

(A)a>b>c(B)a>c>b(C)c>a>b(D)c>h>a

答案B

解析本题考查对数函数的增减性，由l>lge>0,知a>b,又c=：Ige,作商比较知c>b,选B。

12.（2009广东卷理）若函数y=/（x）是函数），=优（〃>0,且。01）的反函数，其图像

经过点(、后,。)，则/(%)=()

12

A.log2xB.log,xC.—D.x

X

22

答案B

解析/（x）=log“x，代入解得。=1，所以/（x）=log]x，选B.

22

13.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）

行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为喉和心（如图2所示）.那么对于图中给定的％和4，

下列判断中一定正确的是

A.在4时刻，甲车在乙车前面

B.6时刻后，甲车在乙车后面

C.在％时刻，两车的位置相同

D.4时刻后，乙车在甲车前面

答案A

解析由图像可知，曲线u甲比v乙在0〜%、0〜乙与X轴所围成图形面积大，则在f。、t.

时刻，甲车均在乙车前面，选A.

14.（2009安徽卷理）设a<b,函数y=（x-a）2（x-b）的图像可能是（）

。1

f

解析y=(x-a)(3x-2a-b),由=0得x=a,x=/一-.,.当x=a时,y取极

2a+b

大值0,当犬=时y取极小值且极小值为负。故选C。

3

或当x<8时y<0,当x>6时，y〉0选C

解析可得x=a,x=b为y=(x-a)2(x-b)=0的两个零解.

当x<a时，则x<b：./(x)<0

当a<x<8时，则/(x)<0,当x>b时，则/(x)>0.选C。

J—r~—3Y+4

16.(2009江西卷文)函数y==~士二的定义域为()

x

A.[-4,1]B.[-4,0)C.(0,1]D.[-4,0)U(0,1]

答案D

解析由|得—4Vx<0或0<xKl,故选D.

[-X2-3X+4>0

17.(2009江西卷文)已知函数/(x)是(-8,+8)上的偶函数，若对于xNO,都有

/(x+2)=/(x),且当xe[0,2)时，/(x)=log2(x+l),则/(—2008)+/(2009)的

值为()

A.—2B.-1C.1D.2

答案C

解析/(-2008)+/(2009)=/(0)+/(I)=log；+log；=1,故选C.

18.（2009江西卷文）如图所示，一质点P（x,y）在xOy平面上沿曲线运动,

速度大小不变，其在x轴上的投影点。（x,0）的运动速度丫=丫«）的图象

o\_2U,0)*

大致为（）

解析由图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点。(x,0)的速度先

由正到0、到负数，再到0,到正，故A错误；质点尸(x,y)在终点的速度是由大到小

接近0,故。错误；质点P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点。(x,O)的速度为常

数，因此C是错误的，故选8.

19.(2009江西卷理)函数y=”(x+l)的定义域为()

"V—x2—3x+4

A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]

答案C

x+l>0x>—1

解析由=>-1<x<1.故选C

—x?—3x+4>0-4<x<1

20.(2009江西卷理)设函数f(x)=♦&+—x+c(〃<0)的定义域为。,若所有点

(sJQ))(sjeD)构成一个正方形区域，则a的值为)

A.-2B.-4C.—8D.不能确定

答案B

b2—4ac

，Ia1=2y[-a，a=-4,选B

解析1网一々l=/max(X)，

a2

——4x+6,x"°则不等式/(X)〉/⑴的解集是()

21.(2009天津卷文)设函数/(x)=<

x+6,x<0

A.(—3,1)。(3,+oo)B.(-3,1)52,+8)

C.(-1,1)u(3,+oo)D.(-o),—3)51,3)

答案A

解析由己知，函数先增后减再增

当xNO,/(%)>2/(1)=3-^/(%)=3,

解得x=l,x=3。

当x<0,x+6=3,x=-3

故/(x)>/(l)=3,解得-3<x<l或x>3

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。

22.(2009天津卷文)设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且2f(x)+xf5(x)>x?,x下面的不等式

在R内恒成立的是()

A./(x)>0B./(x)<0C./(x)>xD./(x)<x

答案A

解析由已知，首先令x=0,排除B,Do然后结合已知条件排除C,得到A

【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查

了分析问题和解决问题的能力。

23.(2009湖北卷理)设a为非零实数，函数y=匕竺(xeR,且的反曲激是()

1+QXa

A、y=~——(xG--)B>y=1+*(x./?,且xw-♦)

1+axaI-axa

1i丫1_y

C>y=-----------(xwR,且"1)D、y=---------(XER,且了。-1)

"a(l-x)a(l+x)

答案D

解析由原函数是y=匕竺(xeR,且xw—'),从中解得

l+axa

xwR,且yW-1)即原函数的反函数是x=上上一(yeR,且y关-1),搬

a(l+y)a(l+y)

择D

24..(2009湖北卷理)设球的半径为时间r的函数R(f)。若球的体积以均匀速度c增长，则球

的表面积的增长速度与球半径()

A.成正比，比例系数为CB.成正比，比例系数为2c

C.成反比，比例系数为CD.成反比，比例系数为2c

答案D

解析由题意可知球的体积为则⑺必会("⑺，由此可

4%R(f),而球的表面积为S(f)=4乃R2⑺,

R⑴R'⑴

所以%=S'(f)=4〃/?2(f)=8%RQ)R'(f),

即丫表=腕根中(f)2x4万RQ)R(f)———R⑴工,故选

表R(t)R(r)R(t)

25.(2009四川卷文)已知函数/(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意

实数x都有

va+l)=(l+x)/(x),则的值是)

15

A.0B.—C.1D.一

22

答案A

1.4-r1

解析若xHO,则有〃x+l)=——/(X),取^=一一，则有：

x2

尺)="一1+1)="4-4=-尺)(••〃)是偶函数,则

2

/(-1)=/(1))由此得/(g)=0于是

,3,1

1-1——1H——

/(I)=+1)=jD=学中吗=5/(卞=0

22

b

26.(2009福建卷理)函数/。)=狈+以+。5*0)的图象关于直线》=——对称。据此

2a

可推测，对任意的非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程m+〃")+p=0

的解集都不可能是)

A.{1,2}B{1,4}C{1,2,3,4}D{1,4,16,64)

答案D

解析本题用特例法解决简洁快速，对方程m[f(x)]2+n")+P=0中m,n,p分别

赋值求出/(x)代入/(x)=O求出检验即得.

27.(2009辽宁卷文)已知偶函数/(x)在区间［0,+8)单调增加，则满足/(2x-l)V/(；)

的x取值范围是()

12121212

(A)(---)B.r-)C.-)Dr.-)

33332323

答案A

解析由于f(x)是偶函数，故f(x)=f(lxl)

...得f(l2x-ll)<f(-),再根据f(x)的单调性

3

11?

得解得士<x<一

333

28.(2009宁夏海南卷理)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值()

设f(x)=min{,x+2,10-x)(x>0),则f(x)的最大值为

(A)4(B)5(C)6(D)7

答案C

29.(2009陕西卷文)函数/(x)=J，Z(xN4)的反函数为()

(A)ru)4-+4(^o)B/(x)=9+4心2)

(C)/-'(X)=1X2+2(X>0)(D)f-'(x)=^x2+2(x>2)

答案D

解析令原式y=/(x)=J2x-4(x22)则=2x-4,即x=『+4=乙+2

22

故/T(x)=gx2+2(xZ2)故选D.

30.(2009陕西卷文)定义在R上的偶函数/(x)满足：对任意的玉,工2e[0,+oo)(X1，

有)(々)二/•(%)〈0.则()

々一七

(A)/(3)</(-2</⑴B./C1)</(-2</(3)

C./(-2<加1)<f(3)D./⑶</(I)</(-2

答案A

解析由(x,—%)(/(》2)-/(占))〉0等价，于J(——区>0则/(X)在

x,,x2e(-00,0](玉HX2)上单调递增，又/(x)是偶函数，故/(x)在

司,々e(0,Ko](x产&)单调递减•且满足〃eN*时，/(—2)=/(2),3>2>1>0,得

f(3)<f(-2</(1),故选A.

31.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数/(x)满足：对任意

的和马€(-8,0](%3/),有(》2-石)(/(%2)-/(%))>0.

则当〃eN*时，有)

(A)/(—〃)</(〃-1)</(〃+1)B./(«-1)</(-«)</(«+1)

C.C./(n+1)</(-«)</(«-1)D./(/i+1)</(»-1)</(-«)

答案C

解析:x],x2e(-00,01(%)x2)=>(x2-X1)(/(x2)-/(X]))>0

o々>X|时，底为增酗1)u>/(x)(-oo,0]

/(x)为偶函数卷/为喊豳激8]

而n+l>n>nT>0,;./(〃+1)</(〃)</(〃-1)=>/(«+1)<f(一〃)</(//—1)

32.（2009四川卷文）已知函数/（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意

实数x都有灯'(X+1)=(1+x)/(x),则/(2)的值是()

15

A.0B.-C.1D.-

22

答案A

解析若xWO,则有/(尤+1)=一/(x),取工=—L则有：

x2

1-1

/(1)=/(-1+1)=—=-/(^)(；/(X)是偶函数，则

2

"-；）=/（；））

由此得/（；）=0于是，

"3"1

W）=/D=4M）争|）争—》吗=5吗）=。

22

33.（2。。9湖北卷文）函数户盘八七且"小的反函数是（）

Al+2x._01、Dl-2x.n口1、

A.y=----(xGR,且xw—)B.y=-----(xe.R,且x工—)

1-2x21+2x2

C.y=1+"(xGR,且xw1)D.y=—~~—(xeR,且x。-1)

2(1—x)2(1+x)

答案D

解析可反解得*=」一.故/i(x)且可得原函数中yGR、yW-1所以

2(1+j)2(14-x)

1—x

(X)-----------且x£R、xW-l选D

2(1+x)

X

34.（2009湖南卷理）如图1,当参数丸=4时，连续函数、=-----（%>0）的图像分别对应

1+Ax

曲线G和。2,则)

Ao<4<2Bo</i<4

c4<4<oD4<4<0

答案B

解析解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函

数在（0,+8）是连续的，可知参数4>0,否>0,即排除c,D项，又取x=l,知对应函

数值为由图可知M<%,所以4>4,即选B项。

35.（2009湖南卷理）设函数y=/（x）在（-8,+8）内有定义。对于给定的正数K,定义函

数)

/(%),/(%)</r

£（幻=<

K,f(x)>K

取函数/（x）=2-x-1。若对任意的xe（+8,—8）,恒有A（x）=〃x）,则（）

A.K的最大值为2B.K的最小值为2

C.K的最大值为1D.K的最小值为1

答案D

解析由/'(》)=1一6-*=0,知苫=0,所以xw(-oo,0)时，f'(x)>0,当xw(0,+oo)

时，尸（幻<0,械/。）3=/（0）=1,即/（口的值域是（一叫1],而要使4。）=/（X）

在R上恒成立，结合条件分别取不同的K值，可得D符合，此时A（x）=/（x）。故选D

项。

x2+4%,x>0

36.（2009天津卷理）已知函数/（X）=♦若/(2-a2)>/⑷,则实数a

4x-x2,x<0

的取值范围是)

A(—oo,—1)LJ(2,4-00)B(—1,2)C(-2,1)D(—%—2)51,+8)

【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。

解析：由题知f(x)在K上是增函数，由题得2-。2>a,解得一2<。<1,故选择C。

37.(2009四川卷理)已知函数/(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意

实数x都有#(x+l)=(l+x)/(x),则/(/§))的值是()

15

A.OB.-C.lD.-

22

【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。(同文12)

答案A

/(0)=0

X+1

由4(%+i)=(i+x)/a)得/(x+i)=——/(X),所以

X

53

/(|)=f/(|)===0n/(/(|))=/(0)=0,故选择A。

22

1

38.(2009福建卷文)下列函数中，与函数y忑有相同定义域的是)

Bj(x)W

A./(x)=InxC./(x)=1xID./(x)=ex

答案A

解析解析由可得定义域是x>0J(x)=lnx的定义域x>0；/(刈=工的定

\IXX

义域是X70;/0)=1》1的定义域是工€忙了(%)=6"定义域是犬6/?。故选A.

39.(2009福建卷文)定义在R上的偶函数/(x)的部分图像如右图所示，则在(-2,0)上,

下列函数中与/(x)的单调性不同的是

()

A.y=x2+1

B.y=1x1+1

f2x+l,x>0

c.=i

y］［x3+l,x<0

e\x>o

D.y=<

e'\x<Q

答案c

解析解析根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在(-2,0)上单调

递减，注意到要与/(x)的单调性不同，故所求的函数在(-2,0)上应单调递增。而函数

y=x2+1在(-oo,l］上递减；函数y=+l在(-oo,0］时单调递减；函数

y=\q在(-8,0］上单调递减，理由如下y，=3x2>0(xv0),故函数单调递增，

'/+1,"0

e',x>Q

显然符合题意；而函数y，有y'=-e-x<0(x<0),故其在(-8,0］上单调递减,

elYO

不符合题意，综上选C。

40.(2009重庆卷文)把函数/。)=/一3》的图像G向右平移M个单位长度，再向下平移

v个单位长度后得到图像若对任意的〃>0，曲线G与G至多只有一个交点，则v

的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

答案B

解析根据题意曲线C的解析式为y=(x-“)3—3(x-%则方程

(x—“)3—3(x—w)—v-X’—3x,即(“3—3w+v)<0>即—“，+3M对任意

4

lala

»>»恒成立，于是uN——“3+3〃的最大值，令g(〃)=一一“3+3〃(〃>0),则

44

33

">。g(Q)=—2〃2+3=一己(〃—2)3+2)由此知函数g(〃)在(0,2)上为增函数，

44

在(2,+8)上为减函数，所以当“=2时，函数g(〃)取最大值，即为4,于是丫24。

41.(2009重庆卷理)若/(x)=m，+a是奇函数，贝ija=.

一1

答案一

2

12X

解析解法1/(一口二尸)+“=匚9+见/卜冷=一/5)

Tir_i

=>-----+Q=-(r-----+4)=>2o。=-------------=1故。=—

1-2V2'-l1-2X1-2X2

42(2009上海卷文)函数f(x)=x3+l的反函数f\x)=.

答案y/x-l

解析由y=x3+l,得x=47二将y改成x,x改成y可得答案。

3”x<1

44(2009北京文)已知函数={''若/(x)=2,则1=____________.

-x,x>1,

答案10g32

解析本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求X的值.属于基础知识、基本运算的

考查.

[x<1[x>1_*

由4=>x=log,2,<无解，故应填log?2.

3r=2-x=2=>x=-2

一,x<0

45.(2009北京理)若函数/(x)=\X则不等式I/(x)»j的解集为

(1r,x>o

答案[-3,1]

解析本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算

的考查.

x<0

(1)由I/(x)»1n<1111=>-3<x<0.

3P-3

\>0x>0

(2)由(!丫

2:却

...不等式l/(x)lNg的解集为｛xl—3Sx41｝，，应填

Js-1

46.(2009江苏卷)已知a=+一，函数/(%)=",若实数〃？、〃满足/(加)〉/(〃),

则机、〃的大小关系为.

解析考查指数函数的单调性。

a=旧21e(0,1),函数/(x)=a*在R上递减。由得：m<n

47.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数/(x),满足/(%-4)=一/5),且在区间［0,2］

上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根玉,马，工3，，则

答案-8

解析因为定义在R上的奇函数，满足/。-4)=一/(外,所以70-4)=/(—》),所以,

由/(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x=2对称且/(0)=0,由“X-4)=-/(x)知

/(x-8)=/(x),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为/(x)在区间［0,2］上是增函数,

所以/(x)在区间［-2,0］上也是增函数.如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有

四个不同的根西,工2，工3，工4,不妨设罚<4由对称性知X［+々=-12/+X4=4

所以X］+X2+X3+X4=—12+4=—8

【命题立意】：本题综合考查了函数的奇偶性，单调性,

对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，

运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.

14.(2009四川卷文)设丫是已知平面M上所有向量的集合，对于映射/Wf

记。的象为若映射V满足：对所有a、beV及任意实数都有

f(Aa+〃b)=M(a)+〃f(b),则/称为平面M上的线性变换。现有下列命题：

①设/是平面M上的线性变换，a、beV,则/(a+/?)=/(“)+/3)

②若e是平面M上的单位向量，对awV,设/(a)=a+e,则/是平面M上的线性变

换；

③对匕设7(a)=—a,则/是平面M上的线性变换；

④设了是平面”上的线性变换，aeV,则对任意实数人均有/(妨)=4(。)。

其中的真命题是(写出所有真命题的编号)

答案①③④

解析①：令几=〃=1,则f(a+b)=/(a)+f(b)故①是真命题

同理，④：令/l=A,〃=O,则/(版)=4/'(a)故④是真命题

③：：f(a)=-a,则有f(b)--b

/(/h+/切=-(Aa+^)=A-(-a)+"b)=Af(a)+©(b)是线性变换，故③是

真命题

②：由/(a)=a+e,则有/(b)=b+e

f(Aa+曲)-(Aa+/.ib)+e=4•(a+e)+〃•(8+e)-e="(a)+//(/?)-e

：e是单位向量，e#0,故②是假命题

【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新

颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。

48.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=-l处取

得最小值m-l(mw0).设函数/(x)=丛立

X

(1)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为J5,求m的值

(2)eR)如何取值时，函数y=/(x)-依存在零点，并求出零点.

解(1)设g(x)=ax2+bx+c,贝ijg'(x)=2ax+/?；

又g'(x)的图像与直线y=2x平行2a=2a=l

又g(x)在工=-1取极小值，一3=一1,b=2

:,g(-l)=a-0+c=l-2+c=〃?-l,c=m；

/(x)=^^=x+E+2,设P(x°»)

(V2____

贝=片+(九一2)2=x：+x0+—=2片+4+2227^+2

\xoJ%

/.2d2m2+2=4m—±-^-；

2

(2)由y=/(x)-爪=(1-%)/+—+2=0,

得(l-k)x2+2x+m=0(*)

当左=1时，方程(*)有一解1=一,，函数y=/(x)-履有一零点1二一万；

当女H1时，方程(*)有二解oA=4—4机(1—%)>0,若〃?>0,k>l一一，

m

函数y=/(x)—区有两个零点X=-2±?(；4；：F=)±.苫-“)；了卬

k<「,函数y=/(x)_下有两个零点X=-2±44-刎1/=打1?»(上吆);

m'7