2021-2022学年江西省南昌市第十五中学等名校高二3月联考数学（文）试题

20212022学年江西省南昌市第十五中学等名校高二3月联考数学（文）试题一、单选题1．某公司组织结构图如下，不属于职能管理部门的是（

）A．计财部 B．人力企划部 C．监察审计部 D．后勤部【答案】D【分析】根据题图分析【详解】结合结构图可知，后勤部不属于职能管理部门故选：C2．定义集合且.已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题中定义直接求解即可.【详解】因为，，所以，故选：C3．已知命题，则（

）A．p的否定是，且p是真命题B．p的否定是，且p是假命题C．p的否定是，且p是真命题D．p的否定是，且p是假命题【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词判断即可；【详解】解：命题为全称量词命题，其否定是，因为，所以命题是假命题；故选：D4．“球O的直径大于”是“球O的表面积大于”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.【详解】球的表面积公式为，其中r是球的半径，若球O的直径大于，则球O的半径大于，所以球O的表面积大于，若球的表面积大于，则，“球O的直径大于10m”是“球的表面积大于”的充分必要条件；故选：C.5．已知双曲线的渐近线与圆相切，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求得的值，从而可求得答案.【详解】解：C的渐近线方程为，点到直线的距离，解得，故．故选：A.6．某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量yx（单位：万元）和年销售量y（单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为，则下列结论错误的是（

）x4681012y1571418A．x，y之间呈正相关关系B．C．该回归直线一定经过点D．当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件【答案】C【分析】求出，直接判断C，把代入回归方程可得系数值，由的正负判断A，由代入回归方程得估计值，判断D.【详解】因为，，所以该回归直线一定经过点，故，解得，即A，B正确，C不正确.将代入，得，故当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件，D正确.故选：C.7．若数列的前10项和等于数列的前6项和，则常数（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接由等差数列和等比数列的求和公式求解.【详解】的前10项和为，的前6项和为，解得．故选：A.8．若函数的图象与的图象都关于直线对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正弦函数和余弦函数对称轴的性质计算即可.【详解】由题意可得，即，故的最小值为；故选：B.9．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的实数x的取值共有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由程序框图可知，解出x即可.【详解】由框图可知，该循环体需循环2次输出结果，∴输出，则，解得或，故输入的实数x的取值共有3个.故选：C.10．设为椭圆和双曲线的一个公共点，且在第一象限，是的左焦点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆和双曲线方程可知二者共焦点，利用椭圆和双曲线定义可构造方程组求得结果.【详解】由椭圆方程知其焦点为；由双曲线方程知其焦点为；椭圆与双曲线共焦点，设其右焦点为，为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，由椭圆和双曲线定义知：，解得：.故选：A.11．设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】A选项借助中间量比较；B选项直接由对数的运算性质判断；C选项借助基本不等式判断；D选项结合函数的单调性进行判断.【详解】因为，所以，A错误；因为函数为增函数，所以，所以，D错误；因为，所以，B错误；因为，所以，所以，C正确．故选：C.12．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据轴截面求出圆锥底面圆的半径，设出圆柱形冰块的底面半径，用含的式子表达出圆柱形冰块的高，从而得到圆柱形冰块的体积关于x的表达式，用导函数求解最大值.【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆柱形冰块的底面圆半径为，高为，由题意可得，，解得:，，设圆柱形冰块的体积为，则.设，则，当时，；当时，，故在取得极大值，也是最大值，所以，故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为.故选：C二、填空题13．若实数满足，则的最大值为______．【答案】【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距最大的问题，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，由得：，则取最大值时，在轴截距最大；由图形可知：当过点时，在轴截距最大，由得：，即，.故答案为：.14．一个质点作直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为_________．【答案】18【分析】理解某点瞬时速度的定义就是在该点位移对时间求导.【详解】瞬时速度就是位移对时间的导数，，，当时，，即该质点的瞬时速度为；故答案为：.15．已知，则_________．【答案】【分析】由，再两边平方可求解.【详解】因为，所以，则．故答案为：16．的最小值为_________．【答案】【分析】根据表示点到点与点的距离之和，利用抛物线的定义求解.【详解】设，则表示点到点与点的距离之和．因为点在抛物线上，且F为C的焦点，如图所示：设P到准线的距离为d，A到准线的距离为，所以．故答案为：三、解答题17．北京冬奥会的举办，不仅带动了3亿人参与冰雪运动，更是激发了全民健身的热情.冰雪运动的开展，全民健身的顺利推进，为建设体育强国奠定了坚实基础.随着冰雪运动“南展西扩东进”战略的实施，冰雪运动已不再局限于一些传统冰雪省市.某调查中心为了解市民参与冰雪运动的情况，从A城和B城各随机抽取100人，调查这些人是否参与过冰雪运动，得到了如下列联表：参与过冰雪运动没有参与过冰雪运动合计A城60100B城70合计200(1)完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否参与冰雪运动与城市有关；(2)依据统计表，按城市用分层抽样的方法从“参与过冰雪运动”的人中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求A城和B城恰好各1人的概率.附：，.【答案】(1)列联表答案见解析，有99.9%的把握认为是否参与冰雪运动与城市有关；(2).【分析】（1）完善列联表，再利用独立性检验求解；（2）利用古典概型的概率公式求解.【详解】(1)解：列联表如下：参与过冰雪运动没有参与过冰雪运动合计A城6040100B城3070100合计90110200因为，所以有99.9%的把握认为是否参与冰雪运动与城市有关.(2)解：按照分层抽样，从A城抽取4人，记为a，b，c，d，从B城抽取2人，记为e，f.从这6人中抽取2人的所有情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中A城和B城恰好各1人的情况有，，，，，，，，共8种，所以所求概率为.18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求C；(2)若，△ABC的面积为，求a，b【答案】(1)(2)【分析】（1）转化为，结合，求解即可；（2）由，，联立求解即可【详解】(1)因为，所以即解得或（舍去）又，所以(2)由（1）可知，△ABC的面积又C，所以所以，即，即（舍负）故.19．如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点C.(1)若点D是的中点，且，证明：.(2)已知，，求的周长.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意可得平面，则，再由可得，则由线面垂直的判定可得平面，然后由线面垂直的性质可证得结论，（2）（方法一）延长至点E，使，连接，则可得∥且，则，，然后在直角三角形中求解即可求出三角形的周长，（方法二）在直角中，求出，，则可得，然后利用余弦定理可求得，从而可求出的周长，【详解】(1)证明：∵点在底面内的射影是点C，∴平面，∵平面，∴.在中，，∴，∵，∴平面.∵平面，∴.(2)解：（方法一）延长至点E，使，连接，则∥，，四边形为平行四边形，所以∥且.由（1）知平面，∴平面，∵平面，∴，，∵，，，∴，，∴的周长为.（方法二）在直角中，，，则，∴，∵，∴由余弦定理得，∴的周长为.x34567y4550606570(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.参考公式：，，.参考数据：，.(2)【分析】（1）根据相关系数公式直接求解即可，然后再判断（2）根据回归方程公式直接求解即可【详解】(1)因为，，所以，.因为，所以所以，(2)由（1）知，，所以.因为，所以y关于x的线性回归方程为.21．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若对恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为(2)【分析】（1）利用导数得出单调区间即可；（2）将不等式变形为，构造函数，利用导数得出最值，进而得出a的取值范围．【详解】(1)的定义域为，

当时，．

当时，，则的单调递减区间为；

当时，，则的单调递增区间为．(2)由对恒成立，得对恒成立．

设，则．当时，；当时，．

所以，

则，

解得，故a的取值范围是．22．已知为平面内一动点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，P为线段的中点，且．记动点P的轨迹为W．(1)求W的方程．(2)S为W与x轴正半轴的交点，过S引两条斜率之和为的直线与W分别交于A，B两点（这两点均异于点S），证明：直线过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设，则，再求出相