高考数学艺体生文化课总复习第十二章概率与统计第2节离散型随机变量的均值与方差点金课件

第十二章概率与统计第2节离散型随机变量的均值与方差知识梳理1.离散型随机变量(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用字母X,Y,ξ,η表示.(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列随机变量X可能取的值为x1,x2,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称X的分布列.其中:①pi≥0(i=1,2,…,n);②pi=p1+p2+…+pn=1.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn3.离散型随机变量的均值与方差(1)均值(数学期望,简称期望)称E(X)=xipi=x1p1+x2p2+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn为随机变量X的方差.它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.其中算术平方根为随机变量X的标准差.(3)性质E(ax+b)=aE(x)+bD(ax+b)=a2D(x)D(x)=E(x2)-(E(x))24.两点分布(1)若随机变量X的分布列为则这样的分布列称为两点分布列.(2)P(X=1)=p为成功概率.(3)E(X)=p.(4)D(X)=p(1-p).X01P1-pp5.超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为:P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,(其中m=min{M,n},n≤N,M≤N),则称分布列为超几何分布列.X01…mP…精选例题【例2】某食品集团生产的火腿按行业生产标准分成8个等级,等级系数X依次为1,2,3,…,8,其中X≥5为标准A,X≥3为标准B.已知甲车间执行标准A,乙车间执行标准B生产该产品,且两个车间的产品都符合相应的执行标准.(1)已知甲车间的等级系数X1的概率分布列如下表,若X1的数学期望E(X1)=6.4,求a,b的值;X15678P0.2ab0.1【解析】(1)E(X1)=5×0.2+6a+7b+8×0.1=6.4,即6a+7b=4.6

①,又0.2+a+b+0.1=1,即a+b=0.7

②,联立①②得

解得(2)为了分析乙车间的等级系数X2,从该车间生产的火腿中随机抽取30根,相应的等级系数组成一个样本如下:3533855634

6347534853

8343447567用该样本的频率分布估计总体,将频率视为概率,求等级系数X2的概率分布列和均值.【解析】(2)由样本的频率分布估计总体分布,可得等级系数X2的分布列如下:E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8,即乙车间的等级系数的均值为4.8.X2345678P0.30.20.20.10.10.1专题训练2.已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为(

)

A.5 B.6 C.7 D.8X4a9P0.50.1b【答案】C

【解析】

由分布列性质知,0.5+0.1+b=1,得b=0.4,∵E(X)=4×0.5+a·0.1+9×0.4=6.3,∴a=7.故选C.3.(2019浙江)设0<a<1,则随机变量X的分布列是则当a在(0,1)内增大时 (

) A.D(X)增大 B.D(X)减小 C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大X0a1P4.(2018江西六校联考)若随机变量ξ的分布列如表所示,E(ξ)=1.6,则a-b= (

) A.0.2 B.-0.2 C.0.8 D.-0.8ξ0123P0.1ab0.1【答案】B

【解析】

已知a,b∈[0,1],由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8,又由E(ξ)=0×0.1+1·a+2·b+3×0.1=1.6,得a+2b=1.3,解得a=0.3,b=0.5,则a-b=-0.2.故选B.5.(多选)设离散型随机变量X的分布列为若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有 (

)

A.q=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.4 C.E(X)=2,D(X)=1.8 D.E(Y)=5,D(Y)=7.2【答案】ACD

【解析】

因为q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正确;又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正确;因为Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正确.故选ACD.X01234Pq0.40.10.20.26.(2020新课标Ⅲ卷)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且

pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是 (

) A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4 B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1 C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3 D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2【答案】B

【解析】对于A选项,该组数据的平均数为=(1+4)×0.1+(2+3)×0.4=2.5,方差为sA2=(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=0.65;对于B选项,该组数据的平均数为=(1+4)×0.4+(2+3)×0.1=2.5,方差为sB2=(1-2.5)2×0.4+(2-2.5)2×0.1+(3-2.5)2×0.1+(4-2.5)2×0.4=1.85;对于C选项,该组数据的平均数为=(1+4)×0.2+(2+3)×0.3=2.5,方差为sC2=(1-2.5)2×0.2+(2-2.5)2×0.3+(3-2.5)2×0.3+(4-2.5)2×0.2=1.05;对于D选项,该组数据的平均数为=(1+4)×0.3+(2+3)×0.2=2.5,方差为sD2=(1-2.5)2×0.3+(2-2.5)2×0.2+(3-2.5)2×0.2+(4-2.5)2×0.3=1.45.因此,B选项这一组的标准差最大.故选B.7.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.X表示在未来3天内日销售量不低于100个的天数,则数学期望E(X)=

,方差D(X)=

.

【答案】

1.8;0.72

【解析】

由题意知,日销售量不低于100个的频率为(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,且X~B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.8.(2020浙江)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=

;E(ξ)=

.

9.甲,乙,丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为,乙,丙做对的概率分别为m,n(m>n),且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:(1)求至少有一位学生做对该题的概率;ξ0123Pab(2)求m,n的值;(3)求ξ的数学期望.10.某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如下表所示:若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元;有雨时,收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元(1)若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;【解析】(1)设下周一无雨的概率为p,由题意,p2=0.36,p=0.6,基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5,则P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16,则基地收益X的分布列为:E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4,所以基地的预期收益为14.4万元.X2015107.5P0.360.240.240.16(2)该基地是否应该外聘工人,请说明理由.【解析】(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元,则其预期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=16-a(万元),E(Y)-E(X)=1.6-a,综上,当额外聘请工人的成本高于1.6万元时,不外聘工人;成本低于1.6万元时,外聘工人;成本恰为1.6万元时,是否外聘工人均可以.11.甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司