近五年高考试题汇编推理与证明

10年高考数学推理与证明试题汇编

一、选择题

1.（2010•广东文，10）在集合｛“，b,c,"｝上定义两种运算、⑧如下:

那么d®（ac）=（）

©abed®abed

aabedaaaaa

bbbbbbabed

ccbcbcacca

ddbbddadad

A.a

B.b

C.c

D.d

［答案］A

［解析］根据运算、®的定义可知，ac=c,d®c=a,故选A.

2.（文）（2010•福建莆田质检）如果将1,2,3,…，n重新排列后,得到一个新

系列41，。2,6，…，an,使得左+a*（左=1,2,…，〃）都是完全平方数，则称〃为

“好数”.若〃分别取4,5,6,则这三个数中，“好数”的个数是（）

A.3

B.2

C.1

D.0

［答案］C

［解析］5是好数，4和6都不是，,取勿=3,。2=2,的=1,&=5,a5=4,

则1+0=4=22,2+42=4=22,3+的=4=2?4+44=32,5+45=32.

（理）（2010•寿光现代中学）若定义在区间D上的函数.危），对于D上的任意〃

个值X|,X2，…，X”，总满足/（X1）+/（X2）H卜於,）24"+"2:_则称/（X）

为。上的凹函数，现已知_/（x）=tanx在（0,舒上是凹函数，则在锐角三角形43C

中，tan4+tan5+tanC的最小值是()

A.3

C.3小

D小

［答案］C

［解析］根据/（x）=tanx在（0,舒上是凹函数，再结合凹函数定义得，tarU+

tan5+tanC23tan件土^土^）=3tany=36.故所求的最小值为3小.

3.（文）定义某种新运算“婷'：S=a®6的运算原理为如图的程序框图所示，

则式子5®4—3®6=（）

A.2

B.1

C.3

D.4

［答案］B

［解析］由题意知5®4=5X(4+1)=25,3®6=6X(3+1)=24,所以5®4-3®6

3兀

(理)如图所示的算法中，令41211，，b=sin0,c=cos。，若在集合

中任取。的一个值，输出的结果是sin。的概率是（)

［答案］A

［解析］该程序框图的功能是比较a,b,c的大小并输出最大值，因此要使

输出的结果是sin仇需sinGtan。,且sinGcos。，,当。金（0,舒时，总有tanGsin。,

当06®兀）时,sinft>0,tan兴0,cos8<0,当（兀，幻时，tan分0,sin8<0,

故输出的结果是sin。时，6的范围是住，兀），结合几何概型公式得，输出sin。的

兀

n-21

概率为——=?故选A.

2^-0

4.（2010•曲师大附中）设△/8C的三边长分别为人b、c,△NBC的面积为

7V

S,内切圆半径为r,则『一看「类比这个结论可知：四面体S一/8C的四

a+b+c

个面的面积分别为Si、S2、S3、S,，内切球的半径为r,四面体S-/8C的体积

为V,则尸=（）

A------1—

S+S2+S3+S4

B'Si+S2+S3+S4

——

CS+S2+S3+S4

AV

DS1+S2+S3+S4

［答案］c

O,

［解析］设三棱锥的内切球球心为那么由VS_ABC=VO-ABC+VO-SAB+VO-

sxc+Vo-SBC，

即―聂尸+聂尸+品厂+否”，

3V

/sr=,

可得Si+S2+S3+S4

5.(2010・辽宁锦州)类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的

X——XXI—X

两个函数，S(x)=y—,C(x)=^~Y~,其中a>0,且aWl,下面正确的运算

公式是()

①S(x+_y)=S(x)C(y)+C(x)S(y)；

②S(x—y)=S(x)C(y)—C(x)S(y)；

③。(x+历=C(x)C(y)-S(x)S(y)；

④C(x—y)=C(x)C(y)+S(x)S(y).

A.①③

B.②④

C.①④

D.①②③④

［答案］D

［解析］实际代入逐个验证即可.

如5(x)C(y)+C(x)S(y)

_ax-ax-+亡―+尸——a-

=-2--2~+-2--2-

1ax+y—a~(x+y)

=^(2ax>y-2ax-y)=------j-------=S(x+y),

故①成立.同理可验证②③④均成立.

6.四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在1、2、3、4号位子

上如图所示，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这

样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是()

第一次第二次第三次第四次

A.编号1B.编号2C.编号3D.编号4

［答案］D

［解析］根据动物换座位的规则，可得第四次、第五次、第六次、第七次换

座后的结果如下图所示：

1猫兔2

3猴鼠4

1猴鼠2

32田兔4

第一次第二次第三次第四次

据此可以归纳得到：四个小动物在换座后，每经过四次换座后与原来的座位

一样，即以4为周期，因此在第2011次换座后，四个小动物的位置应该是和第

3次换座后的位置一样，即小兔的座位号是4,故选D.

［点评］因为问题只求小兔座位号，故可只考虑小兔座位号的变化，用1-2

表示小兔从1号位换到2号位，则小兔座位的变化规律是：

3-2f4f3-1-2f4f3…，显见变化周期为4,又2011=4*502+3,故经

过2011次换座后，小兔位于4号座.

7.(2010・山东文)观察(%2)'=2x,(X4),=4x3,(COST)'=—sinx,由归纳推

理可得：若定义在R上的函数人x)满足人一x)=〃)，记g(x)为/)的导函数，则

X-x)=()

A../(%)

B.-J［x}

C.g(x)

D.-g(x)

［答案］D

［解析］观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，，g(—x)=一

g(x),选D.

8.甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数卬，按下列方法操作一次产生

一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两

个反面朝上，则把©乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝

上，则把m除以2后再加上12,这样就可得到一个新的实数02.对实数。2仍按上

述方法进行一次操作，又得到一个新的实数力.当时，甲获胜，否则乙获

胜.若甲获胜的概率为玄则田的取值范围是（）

A.[-12,24]

B.（-12,24）

C.（—8,-12）0（24,+8）

D.（一8,-12]U[24,+8）

[答案]D

[解析]因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：（正,

正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），所以每次操作后，得到两种新数的概率是

一样的.

故由题意得

即4«i+36,m+18,ai+36,；m+18出现的机会是均等的，由于当a^>a\

时，甲胜且甲胜的概率为京故在上面四个表达式中，有3个大于内，•••0+18>幻,

0+36>四，故在其余二数中有且仅有一个大于由4m+36>小得。1>—12,

由/i+18>m得，0<24,故当一12《i<24时，四个数全大于内，当mW—12或

3224时，有且仅有3个大于“1,故选D.

9.（2010・广州市）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们

是由整数的倒数组成的，第〃行有n个数且两端的数均为：（〃22）,每个数是它

下一行左右相邻两数的和，如;=昇白，|=1+7,则第7行第4

个数（从左往右数）为（）

T

22

111

---

363

1111

-

44-

1212

11111

-1

55-

203020

A-140

B・卡

c表

D42

［答案］A

［解析］第6行从左到右各数依次为为1111

第7行从左到

30'60'60'30'

右各数依次为;，/，忐1出1忐表,

故选A.

10.（2010•山东淄博一中）如图，在梯形ABCD中,

AB//DC,AB=a,CD=b(a>h).若EF//AB,EF至I」CD

met+nh

与4的距离之比为〃一，则可推算出：EF=H，

试用类比的方法，推想出下述问题的结果.在上面的梯形

ABCD延长梯形两腰8C相交于。点，设△045、的面积分别

为Si、S2,EF//AB,且E尸到CO与的距离之比为加〃，则△OEE的面积

So与&、S2的关系是（）

mS\+nSz

A-5o=m+n

nS\+mSi

*加+〃

D派」追？曲

vm~vn

［答案］c

［解析］根据面积比等于相似比的平方求解.

二、填空题

11.（2010・盐城调研）请阅读下列材料：

若两个正实数41，6满足4/+。22=1，那么处+做忘啦.

证明：构造函数段）=（》一卬）2+。一念）2=2》2—2（。|+的比+1,因为对一切

实数x,恒有/（x）20,所以AW0,从而得4（ai+a2）2—8W0,所以m+zW啦.

根据上述证明方法，若〃个正实数满足。/+。22+…+。”2=1时，你能得到

的结论为.（不必证明）

［答案］m+a2H---

12.（文）如图甲，在△NBC中，/B_L4C,/O,8C,。是垂足，则AB?=BDBC,

该结论称为射影定理.如图乙，在三棱锥力—8C。中，平面N8C,4。，平

面BCD,O为垂足，且。在△8C。中，类比射影定理，探究SMBC、S&BCO、SABCD

之间满足的关系式是.

［答案］S^ABC=S/\BCO'S^BCD

［解析］根据类比推理，将线段的长推广为三角形的面积，从而得到答案.

（理）（2010•湖南湘潭市）现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平

面内有两个边长都是。的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个

2

正方形重叠部分的面积恒为:，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中

一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为

［答案］9

13.(文)(2010•陕西理)观察下列等式：13+23=3勺3+23+33=6勺3+23+33

+43=102,根据上述规律，第五个等式为.

［答案］13+23+33+43+53+63=212

［解析］观察所给等式可以发现：

13+23=32=(1+2)2

13+23+33=62=(1+2+3)2

13+23+33+43=102=(1+2+3+4)2

推想：r'+23+33+,,,+/73=（l+2+3+…+”）2

.•.第五个等式为：13+23+33+43+53+63=（1+2+-+6）2=212.

（理）（2010•广东省佛山顺德区质检）已知一系列函数有如下性质：

函数歹=x+g在（0,1］上是减函数，在［1,+8）上是增函数；

函数y=x+,在（0,啦］上是减函数，在［啦，+8）上是增函数；

函数y=x+,在（0,小］上是减函数，在［小，+8）上是增函数；

利用上述所提供的信息解决问题：

a川

若函数少=》+《1>>0）的值域是［6,+°°）,则实数用的值是.

［答案］2

［解析］由题目提供信息可知y=x+—（x>0）在（0,次］上是减函数，在［F，

+8）上是增函数，，当》=小^时，ymin=6,.,•加=2.

14.（文）（2010・湖南衡阳八中）如图（1）有关系今宵-=吟篝二，则如图（2）

Vp-A，BC

有关系

Vp-ABC

B,

B

R4'PB'PC'

［答案］-PAPBPC-

ppVp-ABC

［解析］根据类比推理，将平面上三角形的结论，推广到空间,

Vp-ABC

PA'PB'PC1

一—PAPBPC一­简证如下:

设B'、5到平面次的距离分别为6H,略=%

S^PAC_PA'PC

SAPACPA'PC

.Vp-AB'C3S^PA，c"hPA'PCPB'

==

AVp-ABCT__~_PAPCPB-

4c力

(理)(2010•江苏姜堰中学)如图①，数轴上/(Xi)、8(X2)，点尸

分AB成两段长度之比低="则点P的坐标xp=1警成立；

ri>1~TA

Ap

如图②，在梯形ABCD中，EF//AD//BC,且而=九则EF=

£S£)

AD+ABC

1+A-,

根据以上结论作类比推理，如图③，在棱台ABCi-ABC

中，平面。跖与平面/8C平行，且彩=九△48iG、ADEF、△NBC的面积

依次是$,S,S2,则有结论：.

［答案］小=工-!［豆、

［解析］将三棱台补成棱锥P-N8C,不妨令R4i=m,DA=n,则4。=戒,

那么，

,.y［S\m,BIT4S\

由泰=中,阿〃=小一的'

_,yfsm+nX,,

又由低=〃?+〃a+i），付/H加+加=

y[S2—\[S'

.nAy[S\n\[s

・•木-信+〃"=低-V?

,y[s/_y[s由此得#=吗磬.

y[s-yj^\\[S2~yjs

三'解答题

15.（2010・瑞安中学）用分析活证明：小一啦＞^^一W.

［证明］证法1：要证小一啦》\「一5成立，

■:小一小＞0,小一小＞0,

只要证（、后一啦）2＞（小一币）2成立.

即证5—2加＞9—成立.

即证一2加＞4—成立，

只须证#＜—2+4而成立.

'：y/20-2＞0,故只须证6＜24-4亚成立.

即证9＞24为成立，即证81＞80成立.

最后一个不等式显然成立，以上步步可逆，故原不等式成立.

证法2：要证仍一啦＞^白一卡成立，只须证小+5＞\3+也成立，只须证

7+2，五＞7+25成立，即证血＞7诃成立，即证12＞10成立，最后一个不等式

显然成立，故原结论成立.

（\

苏”,〃为偶数

16.（文）设数列｛斯｝的首项ai=ag，且a»+i=＜

It己b〃=

口+,,〃为奇数.

4，"=1,2,3,….

（I）求。2，。3；

（2）判断出”｝是否为等比数列，并证明你的结论.

［解析］（l）a2=ai+|=a+1,

。3=52=5+/

(2)：。4=的+a=2"+8,

.•.恁=%4=%+得

猜想｛勾｝是公比为g的等比数列.

证明如下：

...__1_1a2n_I_K2w-1,n_i

•bn+\—ci2n+1-4—2-4—2\'4J-4

=*2"-i-；)=米(〃eN*).

•••｛与｝是首项为a—公比为3的等比数列.

(理)(2010•湖南文)给出下面的数表序列：

表1表2表3…

113135

448

12

其中表〃(〃=1,2,3,…)有〃行，第1行的〃个数是1,3,5,…，2M-1,从第

2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.

(1)写出表4,验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,

并将结论推广到表〃(〃23)(不要求证明)；

(2)每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列，1,4,12,…，记此数

列为冏•求和:箴+赢+…+脑〃

［解析］⑴表4为

1357

4812

1220

32

它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32,它们构成首项为4,公比

为2的等比数列.

将这一结论推广到表〃(〃23),即

表〃(〃23)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2

的等比数列.

简证如下(对考生不作要求)

首先,表〃(〃23)的第1行1,3,5,…，2/?-1是等差数列，其平均数为

]+3+・・・+(2〃—])

=n；其次，若表〃的第左(11)行内,做，…，册—k+i

是等差数列,则它的第k+1行⑹+的、…，斯-4+1也是等差数列.由

等差数列的性质知，表〃的第4行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数

+%―卜+a

分别是1i+a2+&+

=a\-\~an-k+\-

由此可知，表〃(〃23)各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按

从上到下的顺序构成首项为〃，公比为2的等比数列.

(2)表〃的第1行是1,3,5,…，2n—1,其平均数是

1+3+5+・・・+(2〃-1)

n

由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为〃，公比为

2的等比数列(从而它的第左行中的数的平均数是〃于是，表〃中最后一行

的唯一一个数为为=〃21.

用小一+2(左+2)2人|:+2

因此6也+1-左21)0一碌+

2(1+1)T11〃_、

一.女+1>2/2_72-3—(后+1>2小2(左一1,2,3,…,»)

故念+盒+…+-W7)+团+…+

1_1'

_〃X2"-3—(“+I)X2"-2_

=_1_]]

-2

-1X2(/7+1)X2M~2-(〃+l)X2"

17.(文)已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S“，若4”,斯什2,即+1(加GN*)成等

差数列，试判断必，S,”+2,S“+|是否成等差数列，并证明你的结论.

［解析］设等比数列｛为｝的首项为。I，公比为q(aiWO,qWO),

右Clfn,成等差数列，

贝2am+2。/〃T-。机+1•

・・2。闯—ci\q十.

gWO,/.2q2—q—\=0.

解得<7=1或<1=~2-

1=(21，

当^=1时，,**Sm—ma\,S〃?+m+1)。］,5巾+=(加+2)。

2

••25洲+工5胆+Stn

・••当9=1时，Sm，S/2,必+1不成等差数列.

当(?=一3时，Sm,Sm+2,S”+l成等差数列.

证明如下:

1)—2—1)—a〃?+2)

证法1：•(S〃?+Sm+2S/〃+(S/〃+S〃?+dtn+2(S〃?+。切+1+

=一册+i—2即+2=—a加+1-2夕斯壮1

•・2Sm+2-S/〃+Sm+i.

...当时，Sm,Sm+2,S“+i成等差数列.

2a\

证法2：**2szM+2=

+1・

...当时，S”“S"+2,Sm+I成等差数列.

(理)已知函数次幻对任意的实数x、y都有火x+y)=/(x)+y(y)—l,且当x>0

时，於)>1.

(1)求证：函数人x)在R上是增函数；

(2)若关于x的不等式人刀2—ox+5a)<2的解集为｛x|-3<x<2｝,求人2010)的值;

(3)在(2)的条件下，设处=|/(〃)一14|(〃6N*),若数列｛6｝从第左项开始的连

续20项之和等于102,求人的值.

[解析]⑴证明：设阳>82,则看一M>0,从而兀VLX2)>1,即人阳一^2)—1>0.

./(X1)=/[X2+(X1-X2)]

~AX2)+J｛X\—xi)—1次X2),

故段)在R上是增函数.

(2)设/(b)=2,于是不等式化为/(f—ax+5a)勺仍).

则82—办+5。<6,即/一办+5。-b<0.

•不等式y(x2—ax+5a)<2的解集为｛x|—3<x<2｝.，方程/一℃+5a—b=0

的两根为一3和2,

-3+2=4a=­1

于是《,解得•W)=2.

［—3X2=5。一bb=\

在已知等式中令x=〃，y=1#,/(M+1)—/(M)=1.

所以伏〃)｝是首项为2,公差为1的等差数列.

次〃)=2+(〃一1)X1=〃+1,故人2010)=2011.

(3)四=1/6)一14|=|(左+1)-14|=|^-13|.

设从第4项开始的连续20项之和为丁卜则公=以+仅+|+…+公+回

当％213时，恁=|A—13|=A—13,n^^i3=0+l+2+3H---F19=190>102.

当左<13时，ak=\k-l3\=13-k.

公=(13—左)+(12-A)H---F1+0+1+-+()l+6)=Z：2-7^+112.

令d一7左+112=102,解得％=2或左=5.

20X19

［点评］当左213时，四=|左一13|=左一13,令〃=20(左一13)+―2-Xl=

102,无正整数解，故人213时，A不可能取值为102.

2011年高考数学试题分类汇编—推理与证明创新题

[a,a-b<\,

a®h-<

1.（天津理4）对实数。和6,定义运算“③”：也。一6>1.设函数

7•（x）=（x2-2）⑥（x-x2）,xeR.若函数y=/⑴_c的图像与x轴恰有两个公

共点，则实数。的取值范围是

A.（-巴加卜用

(-oo,-2]u-1,--

B.

-1,---,+°°

c.卜用电什）D.4)4

【答案】B

2.（山东理12）设4,4,4,4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若

————————3=2

44=孙4（九WR）,（MGR）,且丸4，则称4,4调

和分割4,4,已知平面上的点c,D调和分割点A,B则下面说法正确的

是

A.C可能是线段AB的中点

B.D可能是线段AB的中点

C.C,D可能同时在线段AB上

D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上

【答案】D

3.（湖北理9）若实数a,b满足且砧=0,则称a与b互补，记

观a,b）=《『+b2-a-b,,那么。SM=°是a与b互补的

A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件

C.充要条件D.即不充分也不必要的条件

【答案】C

4.（福建理15）设V是全体平面向量构成的集合，若映射&满足：对任

意向量a=(xi，yi)GV,b=(x2,y2)GV,以及任意均有

/(4+a(\-秘)=2/(a)+(l-

则称映射f具有性质Po

现给出如下映射：

①/R,f2（/«）=X,-y,m=（x,y）eV;

2

②人PR,f2(m)=x+y,m=(x,y)eV\

③%：P-^R,f3(m)=x+y+\,m=(x,y)eV.

其中，具有性质P的映射的序号为。(写出所有具有性质P的映射

的序号)

【答案】①③

5.(湖南理16)对于〃eN*,将n表示

kkx2i

n=a0x2+a{x2~'+a2x2-+...+ak_lx2+akx20当j=o时，q=l当

V”时,囚为0或1.记《〃）为上述表示中小为0的个数（例如:

7=1x2°,4=lx22+0x2'+0x2°），故41）=0,1（4）=2），则

〃1

(1)«12)=________________；（2）W=1

【答案】21093

6.（北京理8）设“（°，°）,8（4,0）,C（/+4,4）,D（/,4）（feR）记N。）为平行四边

形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是

整数的点，则函数N"）的值域为

A.{TO，”}B{9,10,12}

C.{9,11,12}D,{10,11,12}

【答案】C

7.（江西理7）观察下列各式：55=3125,56=15625,57=78125,...»则52°"的

末四位数字为

A.3125B.5625C.0625D.8125

【答案】D

8.（广东理8）设S是整数集Z的非空子集，如果W%beS,有abeS,则称S关

于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集，7u0=Z,且

^a,b,c&T,有abceT;\fx,y,ze匕有"zeJ则下列结论恒成立的是

A.T，/中至少有一个关于乘法是封闭的

B.中至多有一个关于乘法是封闭的

C.3中有且只有一个关于乘法是封闭的

D.7,修中每一个关于乘法都是封闭的

【答案】A

9.（江西理10）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针

方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小

圆这样滚过大圆内壁的一周，点M,N在大圆内所绘出的图形大

致是

【答案】A

10.（安徽理15）在平面直角坐标系中，如果x与歹都是整数，就称点（羽团为整

点，

下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果人与b都是无理数，则直线V=依+°不经过任何整点

③直线/经过无穷多个整点，当且仅当/经过两个不同的整点

④直线卜=丘+6经过无穷多个整点的充分必要条件是：人与b都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线

【答案】①，③，⑤

11.（四川理16）函数f（X）的定义域为A,若打x?wA且f（xp=f区）时总有

X1=X2,则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)=2x+l(xeR)是单函数.下

列命题：

①函数f(x)=x2(XGR)是单函数；

②若f(x)为单函数，X|,x?eA且X]WX2,则f(X|)"(X2);

③若f：A->B为单函数，则对于任意beB,它至多有一个原象;

④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数.

其中的真命题是.(写出所有真命题的编号)

答案：②③④

解析：①错，•••再=±%,②③④正确

/(%)=—2—(%>0)

12.(山东理15)设函数x+2，观察:

X

工(x)=/(x)=

x+2

X

力(x)=/(/(x))=

3x+4

Y

f3(x)=f(f2(x))=--,

7x4-8

X

〃x)=/(/；(x))=

15x+16

根据以上事实，由归纳推理可得：

当〃eN+且〃22时，£(x)=/(Z,-iW)=,

X

［答案］(2"T)x+2"

13.(陕西理13)观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

照此规律，第〃个等式为

【答案】〃+(〃+1)+(“+2)-1----F(3n-2)=(2/j—I)2

12年高考推理与证明试题汇编

1.湖南16.设N=2"(〃GN*,〃22),将N个数xi,X2,…，XN依次放入编号为1,2,…，

N的N个位置，得到排列Po=X|X2…XN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数

取出，并按原顺序依次放入对应的前史和后四个位置，得到排列Pl=XiX3…

22

,N

XN.X2X4…XN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段"个数，并对每段作

2

N

C变换，得到小；当2WiWn-2时，将Pi分成2,段，每段捺个数，并对每段C

变换，得到Pi+l，例如，当N=8时,P2=X|X5X3X7X2X6X4X8,此时X7位于P2中的第

4个位置.

(1)当N=16时，X7位于P2中的第一个位置；

(2)当N=2“(n28)时，X173位于P4中的第一个位置.

【答案】(1)6；(2)3X2"-4+11

【解析】(1)当N=16时,

1=%wwx//…%，可设为(1，2,3,4,5,6「-,16),

6=七专X55…X15X2X4X6…再6,即为(1,3,5,7,9,…2,4,6,8,…,16),

P2=%,马石3%3%7孙国5%2年"/6，即(1，5,9,13,3,7,11,15,2,6L・,16),X:位于P2中的第

6个位置,；

(2)方法同(1)，归纳推理知X173位于P4中的第3X2—+11个位置.

【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题

的能力.

需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.

2.江苏20.(2012年江苏省16分)已知各项均为正数的两个数列也｝和也｝满足:

(1)设4M=1+%,〃eN*,求证：数列是等差数列；

叫

(2)设%=亚・%,〃eN*,且｛q｝是等比数列，求%和々的值.

【答案】解：(1)•••”用=1+%,...=一#廿%_=>初一

%旧+»"⑻2

%)

2

(hy

，数列%是以1为公差的等差数列。

\a”)

(2)%>0,…,/"心4%2+“〈(…,)2。

n+Z?n

.,.1<«„+1=/<V2o（*）

设等比数列｛4｝的公比为q,由%>0知4>0,下面用反证法

证明《=1

若q>l,贝!Jax=—v。24及，,当〃>log.—时，〃“+1=>V2，

q可

与（*）矛盾。

n

若0<夕vl,贝>1，・••当〃>logq,时，an+]=a]q<1,

qq

与（*）矛盾。

工综上所述，4=1。玛N*),/.1<tZj<V2o

又•••仇用=&・%="・％(〃eN*),...{b„}是公比是走的等比

%佝q

数列。

若qH>/2,贝!]———>1,于是b、<b2Vb30

q

又由见用=竿"=即可=；也_,得"二心注，:。

向+b：

/.b｝,b2,打中至少有两项相同，与4<与<与矛盾。，q=0。

ax=b2=V2O

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【解析】(1)根据题设_和b向=",求出姐=

M+b：册an+l

(h\2\2

从而证明如一区=1而得证。

⑵根据基本不等式得至打“尸金'用反证法证明等比数

列的公比q=lo

从而得到册=可(〃eN*)的结论，再由bll+l=J2A=—・bn知也｝是公比是它的

等比数列。最后用反证法求出q=与=也。

3.江西6.观察下列各式：a+b—^a'+b1=3,a3+b,—4,a4+b4-7,^+b5=11,---

则小+即=()

A.28B.76C.123D.199

6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法.

观察各等式的右边，它们分别为1,3,4,7,11,…，

发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1,3,4,7,11,

18,29,47,76,123,…，

故建+/=123.

【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要

求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理.

4.全国卷大纲版22(本小题满分12分)(注意：在试卷上作答无效)

函数/(x)=Y-2x-3o定义数列｛%｝如下：x,=2,西山是过两点

P(4,5),0〃))的直线PQ,与x轴交点的横坐标。

(1)证明：2WX,,<X“M<3；

(2)求数列｛x,,｝的通项公式。

解：(1)为〃4)=42-8-3=5,故点尸(4,5)在函数/(x)的图像上,故由所给出

的两点P(4,5),0(x“J(x“))，可知，直线“斜率一定存在。故有

直线PQ的直线方程为k5=/&)-5(》-4),令歹=0,可求得

演一4

xj-2x“-8-54x“+3

-5(x-4)==x-4=x=

七一4居+2x,,+2

=牝+3

所以X.M

当+2

下面用数学归纳法证明2<3

当〃=1时，再=2,满足2WX1<3

假设〃=左时，24/<3成立，贝U当〃=左+1时，/+]=%+3=4---------

/+2%+2

由2</<3=44/+2<5=1<—<-«2<—<4一——<3即

xk+244xk4-2

2W4+I<3也成立

综上可知2Wx“<3对任意正整数恒成立。

下面证明x„<x„+1

4七,+34:4x〃+3-xj-2x“_-(.-if+4

由瑞+|一怎

演+2"x„+2xn+2

由2<x“<3n1<怎一1<2=0<-(x“-I)?+4W3,故有xn+i-xn>0即x“<x„+1

综上可知2Wx„<x„+1<3恒成立o

⑵由加=需得到该数列的一个特征方程A筌即--3=。，解

得x=3或1=一1

_3=生生_3=上1①小小储山卷②

%

x”+2x“+2

两式相除可得至二=上口，而五匚=

x〃+］+15Xn+1玉+12+13

故数列—是以-‘为首项以工为公比的等比数列

［x“+lj35

9x5"~'-l

=3------：—

3x5n-l+l3x5n-l+l

【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运

用。先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法进行

证明，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通基。

【点评】以函数为背景，引出点的坐标，并通过直线与坐标轴的交点得到数列的

递推公式。既考查了直线方程，又考查了函数解析式，以及不等式的证明，试题

比较综合，有一定的难度。做这类试题那就是根据已知条件，一步一步的翻译为

代数式，化简得到要找的关系式即可。

5.陕西11.观察下列不等式

1

+3

一<—

212

+15

+—<-，

21333

+

2

照此规律，第五个不等式为___________________________________________

【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边=l+4+4+L+广二,

2~3（77+1）

右边二2（二丁,所以第五个不等式为I+5+?+（+!+5<11.

6上海23.对于数集—={-1,石,々,…,X”},其中0<玉<马<…〈4，n>2,定

义向量集

Y={a|t7=（5,/）,5GX,t&X}.若对于任意［eY,存在工€丫，使得74=0,则

称X

具有性质P.例如X={-1,1,2）具有性质P.

（1）若x>2,且{一1,1,2,x},求x的值；（4分）

（2）若X具有性质P,求证：MX,且当x”>l时，H=1；（6分）

（3）若X具有性质P,且修=1,X2=q“为常数），求有穷数列王,七,•••,Z

的通

项公式.（8分）—

［解］（1）选取I=（x,2）,丫中与I垂直的元素必有形式（-1涉）.……2

分

所以x=2b,从而x=4.

4分

(2)证明：取q=(X],X])e丫.设的=(s,丫满足其•点=0.

由(s+£)X]=0得s+t=0,所以s、f异号.

因为T是X中唯一的负数，所以s、/中之一为T,另一为1,