第二章函数概念与基本初等函数

第二章函数概念与基本初等函数

§2.1函数及其表示

1知识梳理要点回顾整体认知

1.函数与映射

函数映射

两集合/、B设8是两个非空_________设48是两个非空—

如果按某一个确定的对应关系

如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合/

f,使对于集合4中的______一

对应关系/：A-*B中的______一个数x,在集合8中都有唯一确

个元素x,在集合B中都有唯一

定的数/U)和它对应

确定的元素y与之对应

称对应fN-8为从集合/到

名称称__________为从集合A到集合B的一个函数

集合8的一个映射

记法>y=/(x)aJ)对应f4-5是一个映射

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y=/(x),xe/中，其中所有x组成的集合/称为函数y=/(x)的:将所有y组成的集合叫

做函数y—fix)的.

(2)函数的三要素：、和.

(3)函数的表示法

表示函数的常用方法有、和.

3.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为

分段函数.

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的,其值域等于各段函数的值域的,分段

函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

4.常见函数定义域的求法

类型X满足的条件

气祠,“GN”兀020

卷与阿]。

lo&/(x)(a>0,。#1)

log/A这(X)

ta吸c)

2考点自测快捷解答游刃有余

1.(2016•宜昌一模)下列四组函数中，表示同一函数的是()

A.yw=(、向2,g(x)=d?

B.左)=脸2,g(x)=21gx

C.fix)-yjx+2--\Jx—2,g(x)=W：2—4

D./(x)=x,g(x)=yfp

解析：/、8、C中两个函数的定义域不同，所以表示的不是同一函数；。中两个函数的定义域相同，表

示的是同一函数，故选D.

答案：D

2.已知函数段)满足*2x)=〃(x),且当lWx<2时，寅x)=f,则犬3)=()

999

-B-C-9

842D.

339

解析：••7(2x)=4(x),且当l<x<2时，危)=/,.•.火3)=”5)=2*卬2=].

答案：C

3.若函数y=/(x)的定义域为A/={x|—2WxW2},值域为N={M0WyW2},则函数y=/(x)的图象可能是

2

)

答案：B

4.(2016•福建上杭一中教学质量调研)函数尸\pog；(2x-l)的定义域是()

A.[1,2JB.[1,2)

C.(1,1]D.1]

'2x-l>0,

解析：由隰21)》。，解得呆口

故选C.

,3

[2x+2,xWO,

5.(2016.黑龙江哈尔滨师大附中等校一模)若函数/U)=L，则川⑴)的值为()

[2—4,x>0

A.-10B.10

C.—2D.2

解析：；/(1)=2'-4=-2,；.加1))=/(-2)=-2.

答案：C

练思维无所不通

题型一函数的概念

例1：有以下判断：

①/a)=号与g(x)=]_]"a:0)表示同一函数；

②函数y=/(x)的图象与直线x=l的交点最多有1个；

③Ax)=f—2%+1与g⑺=f2—2/+1是同一函数；

④若.危)=仅一11—IM，则火/&))=0・

其中正确判断的序号是.

LdU(GO)

[解析]对于①，由于函数/)=3的定义域为{小£R且x#0},而函数g(x)={的定义域

x[—\(x<0)

3

是R,所以二者不是同一函数：

对于②，若尤=1不是y=/Cr)定义域内的值，则直线x=l与》=危)的图象没有交点，如果x=l是y=/3>

定义域内的值，由函数定义可知，直线x=l与y=/(x)的图象只有一个交点，即y=/(x)的图象与直线久=1最

多有一个交点；

对于③，/(x)与的定义域、值域和对应关系均相同，所以/(x)和g")表示同一函数；

对于④，由于a=七一1|一9|=°，所以欢5)=/(。)=1.

综上可知，正确的判断是②③.

［答案I②③

【变式训练1】

(1)下列四组函数中，表示同一函数的是()

x~1

A.y=x-1I)2B.y=W-l与产

y/xT

C.y=41gx与y=21g%2D-尸lgx-2与尸1g前

(2)下列所给图象是函数图象的个数为()

［解析］(1)A中两函数对应关系不同；B、C中的函数定义域不同，答案选D.

(2)①中当£>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x=xo时，V的值有

两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.

［答案J(1)D(2)B

题型二函数的定义域

命题点1求给定函数解析式的定义域

例2：(1)(2015•杭州模拟通数&)=4?=？的定义域为()

A.(一3。B.(-3,0)

C.(-8,-3)U(-3,0]D.(-8,-3)u(-3,l]

(2)函数人工)=至詈y的定义域是()

A.(-1,+8)B.[-1,+8)

4

C.(-1,1)U(1,+oo)D.[-l,l)u(l,+8)

[1-2"，0,

[解析](1)由题意知,解得一3<xW0,所以函数人x)的定义域为(一3,0],故选A.

[x+3>0,

(2)要使函数/(x)=有意义,需满足x+l>0且X-1W0,得x>-l,且xWl,故选C.

[答案](1)A(2)C

命题点2求抽象函数的定义域

例3：(1)若函数y=/(x)的定义域是[1,2016],则函数g(x)一空心的定义域是()

A.[0,2015]B.[0,1)0(1,2015]

C.(1,2016]D.[-1,1)0(1,2015]

(2)若函数/2+1)的定义域为[-1,1],则川gx)的定义域为()

A.[-1,1]B.[1,2)

C.[10,100]D.[0,lg2]

I解析](1)令/=x+l,则由已知函数的定义域为[1,2016],可知1W/W2016.要使函数7(x+l)有意义，则

有1WX+1W2016,解得0WxW2015,故函数_/(x+l)的定义域为[0,2015].

0WxW2015,

所以使函数g(x)有意义的条件是彳解得，OWxVl或1<XW2015.

.x—1¥0,

故函数蛉)的定义域为[0/)U(l,2015].故选B.

(2)因为人？+])的定义域为[一],]],则一i<xWl,故OWfWl,所以1WX?+1W2.因为-2+1)与4gx)

是同一个对应关系，所以lWlgxW2,即IOWXWIOO,所以函数4gx)的定义域为[10,100].故选C.

[答案](1)B(2)C

命题点3已知定义域求参数范围

例4：(2015•合肥模拟)若函数於)=山？+2以一a—1的定义域为R,则a的取值范围为.

[解析]因为函数负x)的定义域为R,所以2?十"一。一1'0对xGR恒成立，即2?+"一a22°,f+

2以一〃20恒成立，因此有/=(2a)2+4a<0,解得一iWaWO.

[答案1[-1,0]

【变式训练2】

(1)已知函数Xx)的定义域是[0,2],则函数g(x)=/(x+g)+y{x—；)的定义域是

(2)函数3=的定义域为.

解析：(1)因为函数的定义域是[0,2],

5

所以皿…中―满/"枭解得:吴v

[oWx—gW2,

13

所以函数g(x)的定义域是历，

x+l>0,

⑵由得一1<xV1.

—2

LX—3x+4>0,

答案：⑴序|](2)(-1,1)

题型三：求函数解析式

2

例5:(1)已知店：+l)=lgr,则./(x)=.

(2)已知/(x)是一次函数，且满足3危+1)—4口一D=2x+17,则/(x)=.

(3)已知函数.危)的定义域为(0,+°°),且./(X)=455-1,则_/(X)=.

22

[解析](1)(换元法)令，=:+1«>1),则x==T，

人I1

22

，大。=1%=7，即加)=1与=7(%>1)

(2)(待定系数法)设火x)="+b3N0),

贝”3f(x+\)—2f(x—\)=3ax+3a+3h—2ax+2a—2h=ax+5a+h,

即ax+5a+b=2x+17不论x为何值都成立，

Q=2,(〃=2,

・・.,解得I.7U)=2x+7.

缶+5〃=17,[h=lf八

(3)(消去法)在./(x)=2/gm-l中，用/弋替x,得/()=2/止-1,

将｛3=蕖^一[代入人x)=4()也一]中，可求得/(工)=粘+；.

I答案I(1)1%=y(x>l)(2)2r+7(3)油+]

【变式训练3】

(1)已知/(正+l)=x+2噌，则/(x)=.

(2)定义在R上的函数./(X)满足>U+1)=Z/U).若当OWxWl时，犬x)=x(l—x),则当一IWxWO时，兀0

(3)定义在(一1,1)内的函数式x)满足2/(x)-/(-x)=lg(x+l),则/(x)=.

解析：⑴设4+1=421),则而=1-1.代入/eG+i)=x+2也，得用)=*一1«力)，

y(x)=x2—i(x^1).

6

(2)当一IWXWO时，OWx+l<l,由已知兀0=3(》+1)=—%(x+l).

(3)当xW(-l,l)时,有〃(x)-/(-x)=lg(x+l).①

以一x代替x得，2/(—%)—/(x)=lg(-x+1).②

_21

由①②消去人一x)得，/(x)=glg(x+l)+glg(l—x),x£(—1,1).

答案：(1)#一1(%21)(2)—5(x+1)(3)|lg(x+1)+1lg(1-x)(—1<x<1)

练方法无所不晓

分类讨论思想在函数中的应用

[例1](2015・山东)设函数,/)=:''则满足/(/3))=2仙)的a的取值范围是()

.2,x31,

A.[1,1]B.[0,1]

2

C.5，+8)D.[1,+8)

[解析]由心解=*得，火a)，L

22

当aVl时，有3。一121,

当时，有2"21,?.a20,；.a2l.

2

综上，故选C.

[例21(2016•江西南昌二中第三次考试)已知函数./(x)=(2x—a+l)ln(x+a+1)的定义域为(一a—1,+

8),若兀v)20恒成立，则a的值是.

a—1

[解析]当0<r+a+lW1,即一a—laW—Q时，有In(X+Q+l)WO「.'/(x)NO,2x—〃+1W0,XW~~-,

a-11

欲使X/x,/(x)20恒成立，则一一2一。，，。，耳.当x+a+1>1,即x>—a时，有ln(x+a+l)>0,

a-1a—111

/.2x—a+1>0,x>2，欲使\/x,/(x)20恒成立，则一^一<一a,/.故〃=1.

I答案段

易错题万无一失

［典例］已知2/+/=6工，则f+丁的取值范围是（）

A.（一8,9］B.[9,+8)

7

C.[0,9]D.（0,9]

[解析I因为2d+y2=6x,所以J=6x—2x2eo,OMxW3.所以乂+9二一工2+64=一（工一3y+9

所以当x=3时，取最大值9.

当x=0时，/+”取最小值o所以/+，的取值范围是[0,9],故选C.

练小题无所不会

练大题无所不能

一'选择题（每小题5分，共60分）

1.（2016.惠州一模）已知函数/（X）的定义域为[0,2],则g（x）=M的定义域为

()

A.[0,l)U(l,2]B.[0,1)U(1,4]

C.[0,1)D.(1,4]

解析：由题意可知，\一解得0Wx<l,故g（x）="J的定义域为[0,1）,选C.

X—IT5O

答案：C

71X

cos、，x30,

则加―2))=()

{-(x+/x<0,

A.-坐B.1

C.D.坐

41

解析：；/(-2)=4,.../(/(-2))=/(4)=cosg7r=-5.故选C.

答案：C

3.(2016.四川成都诊断)已知函数/(x)=x|x|,若/宙))=4,则x0的值为()

A.-2B.2

C.—2或2D.也

解析：当x20时，兀0=X2,./0)=4,即/=4,解得Xo=2;当x<0时，«C)=—x2,

./(xo)=4,即一x,=4,无解.所以xo=2.

答案：B

8

410g2(x—8),x29,

4.（2016・贵州遵义航天高中七模）设函数人x）=«囱一+8,x<9,若朋=4,则，的值

为（）

A.10B.6或10

C.6D.不存在

2

解析：当«9时，X0=2r-/+8=4^2?-r+4=0,无解：当/29时，//)=41og2(Z-8)=

210g2(L8)2=(7—8尸=4,解得/=6(舍去)或t=10.故选A.

答案：A

5.（2016•河北武邑中学月考）已知函数y=/（x+l）的定义域是[-2,3],则y=A2x—l）的定义

域为（)

A.[-3,7]B.[-1,4]

5

C.[-5,5]D.[0,3

解析：由xG[—2,3]得x+lG[—l,4],由2x—lG[—l,4],解得xG[0,1].故选D.

答案：D

1+log2(2—x),x<\,

6.（2015•新课标全国卷II）设函数人x）=2X7,则人_2)+/Uog212)=()

A.3B.6

C.9D.12

解析：V-2<1,1+log2(2+2)=1+log24=1+2=3.

,/log212>l,.\/Uog212)=210g212-1=¥=6.

A/(-2)+/(log212)=3+6=9.故选C.

答案:C

f2x1—2,x<l,

7.(2015•新课标全国卷I)已知函数7(x)=T1且人a)=—3,则人6—a)

Iog2(x+1)»x>\,

=()

75

--

-4-4

A.B.

c31

-D.-

-4-4

解析：由于=-3,

9

①若aWl,则2“T-2=—3,整理得2“T=-1.由于2*>0,所以2"一|=一1无解；

7

②若。>1,则一log2(a+l)=—3,解得a+l=8,a=7,所以负6—。)=火-1)=2-2—2=—7

7

综上所述，/(6—a)=-1.故选A.

答案：A

[1,x>0,

8.(2016.吉安联考)已知符号函数sgnx=<0,x=0,/(x)是R上的增函数，g(x)=/(%)-

I—1,x<0.

刎)3>1),则()

A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=—sgnx

C.sgnfg(x)]=sgn[/(x)]D.sgn[g(x)]=sgn[/(x)]

解析：因为/(x)是R上的增函数，所以令/(x)=x,则g(x)=(l—a)x,

p,x>o,

因为q>l,所以g(x)是R上的减函数，由符号函数sgnx=40,x=0,

l—1,x<0,

(—1,x>0,

知sgn[g(x)]=,0,x=0,=—sgnx,排除A.令人x)=x+l,则g(x)=(l—a)x.

11,x<0

1,x>—1,f—1,x>0,

0,x=-1,sgn「g(x)]=r0,x=0,

{—1,x<—1,11,x<0,

所以sgn/x)]Wsgng)],sgn[g(x)]—sgn[/(x)],排除C,D,选B.

答案：B

9.(2015・武汉调研)若函数人工)=而三在[2,+8)上有意义，则实数a的取值范围为()

A.a=\B.a>\

C.心1D.心0

____2

解析：•.•函数人x)=N«x—2在[2,+8)上有意义，.•.ox-220在[2,+8)上恒成立，即

2

在[2,+8)上恒成立.VO<-^1,

答案：C

10.(改编题)已知外)为二次函数，不等式加)+2<0的解集为(一1,1),且对任意a,夕GR

10

恒有人sina)WO,人2+cos夕)20.则函数加)的解析式为()

33

2,5

?—x+^

X

23

35

-D?

2-25

2'-x~2

解析：依题意，设/(x)+2=a(x+l>(x—g)(a>0),即於)=4，+拳一事一2.令a=g,fi=7t,

则sina=l,cos夕=—1,则_/U)W0,负2—1)20,因此大1)=0,即a+年一1一2=0,得a=],

35

所以函数./(X)的解析式为/(X)=+x—

答案：A

-COSTTX,X>0»44

11.已知./)=<n则义？+/(—多的值等于()

j\X十1)I-1,xW09।，

A.1B.2

C.3D.-2

447r7rl412In15

解析：/q)=_cos^=cosw=]；/(-1)=/(_1)+1=/(1)+2=-cos亍+2=/+2=/.

44

故/(1)+.八_])=3.

答案：C

X2—x,xE(0,1),

12.定义域为R的函数/U)满足/(x+2)="x)—2,当xG(0,2]时,>(x)=h

:，xe[l,2],

I人

若xe(0,4]时，*一£q(x)恒成立，则实数，的取值范围是()

A.[1,2]B.[2,|]

C.[1,1]D.[2,+8)

解析：当xG(2,3)时，x—26(0,1),则兀0="》-2)—2=2(》-2)2—2(》一2)—2,即为解x)

=2X2-10X+10,当xC[3,4]时，x-2G[l,2],

则/(x)=2)_2=告_2.

当x£(0,l)时，当x=g时，/(X)取得最小值，且为一上

11

当xW[l,2]时，当x=2时，於)取得最小值，且为3；

当xG(2,3)时，当x=|时，段)取得最小值，且为一|;

当x£[3,4]时，当x=4时，«v)取得最小值，且为一1.

综上可得，/(X)在(0,4]的最小值为一|.

若xG(0,4]时，『一片心)恒成立，则有‘一六一|,解得gw|.

答案：C

二、填空题(每小题5分，共20分)

13.(2016・合肥模拟)若函数於)=俊2?+2G一4一1的定义域为R,则a的取值范围为

解析：因为函数人x)的定义域为R,所以2x?+2办一4一120对xGR恒成立，2x2+2ax

—Q22°,x2+2ax—恒成立，因此有J=(2tz)2+4(2^0,解得一iWaWO.

答案：LL0)

14.已知函数外)满足对任意的x£R都有/g+x)+/g—x)=2成立，则向+/(])+…+/6)

解析：由./(g+x)+*_x)=2,得上)+心)=2,若)+埠)=2,

3541441

,/(g+/(g)=2,又/(W)=/[/(W)+/g)]=]X2=1,

127

二■1---h/(g)=2X3+l=7.

答案：7

15.(2016.北京二模)已知/是有序数对集合〃={(x,y)|x£N*,yWN*}上的一个映射，正整

数数对(x,y)在映射/下的象为实数z,记作人》，y)=z.对于任意的正整数机，M(W>M),映射/

由下表给出：

（X,y）（〃，n）（m,ri）（〃，m）

Ax>y）nm-nm-\~n

则人3,5)=,使不等式大才，x)W4成立的x的集合是

解析：由表可知/(3,5)=5+3=8.

VVxeN*,都有炉>厂,x)=r-x,

12

则人丁，x)4aeN*)02*Wx+4(xGN*),

当x=l时，2*=2,x+4=5,2*Wx+4成立；

当x=2时，2X=4,x+4=6,2*Wx+4成立；

当x23(xGN*)时，2x>x+4.

故满足条件的x的集合是{1,2}.

答案：8{1,2}

16.(2016•江西南昌二中第三次考试)已知函数人幻=(24-4+1)1!1(4+。+1)的定义域为(一。

-1,+8),若/(x)20恒成立，则a的值是.

解析：当Oa+a+lWl,即一a—l<xW—a时，有ln(x+a+l)W0/</(x)20,；.2x—“+1WO,

a-1a-1I

2，欲使Vx,«v)20恒成立，则-2—a,，。力］.当x+a+121,即x>一。时，有ln(x

ci——1a-1)

+a+1)>0,.•・2x—a+1>0,~，欲使Vx,/(x)20恒成立，则一一W—a,.•.QW］.

故Q=；.

答案：;

易错警示：本题易忽略对对函数分类讨论：当Oa+a+lWl时，有ln(x+a+l)WO,欲使

a—1

V(x),y(x)NO恒成立，则［5—a;当x+a+l>l,即x>—a时，欲使Vx,火x)20恒成立，

,a~1一a~11

则~W—a,2=—%"（于a=T

三、解答题(每小题10分，共20分)

17.甲同学到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是

2km,甲10时出发前往乙家.如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程兴km)与时

间x(min)的关系，试写出y=/(x)的函数解析式.

解：当xW［0,30］时，设歹=左送+济,

Z>i=O,即尸占.

由已知得解得

30抬+d=2,

13

当xG（30,40）时，y=2；

当xS[40,60]时，设尸松+电，

'40左2+人2=2,即尸已-2.

由已知得《

、6042+力2=4,

C1

k，xW[0，30],

综上，加）=12,xe（30,40）,

—2,x£[40,60].

18.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停上，这段距离

叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离M米）与汽车的车速M千米/时）满足下

列关系：夕=血+加工+〃（加，〃是常数）.如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离M米）与汽车

的车速式千米/时）的关系图.

（1）求出y关于X的函数表达式；

（2）如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度.

岗140加+〃=8.4,

解：（1）由题意及函数图象，得《602

[^^+60加+〃=18.6,

1X2X

解得m=]00，〃=0,所以歹=20。+100（*2°）,

x2%

（2）令诉+而工\j\jW25.2,得一72WxW70.

Vx^O,，0WxW70.

故行驶的最大速度是70千米/时.

§2.2函数的单调性与最值

n知识梳理要点向顾整体认知

14

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y=/(x)在区间D上是或,那么就说函数y=/(x)在这一区间具有(严格的)单

调性，叫做y=/U)的单调区间.

2.函数的最值

前提设函数y=/(x)的定义域为1,如果存在实数M满足

(1)对于任意的X©/,都有_____________；(3)对于任意的xG/,都有___________；

条件(2)存在%()£/,(4)存在XoG/,

使得使得___________.

结论"为最大值M为最小值

2考点自测快捷解答游刃有余

1.(2016•珠海摸底)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()

A.y=e~xB.y—x3

C.y=\nxD.y=|x|

答案：B

2,函数y=(24+l)x+b在(-8,+8)上是减函数，则()

A.k>2B.k<2

C.k>~^D.k<~^

答案：D

3.函数次0=k一2|x的单调减区间是()

A.[1,2JB.[-1,0J

C.[0,21D.[2,+0°)

x2—2x,x22,

解析：由于./(x)=|x—2|x=

X2+2X,X<2.

结合图象可知函数的单调减区间是[1,2].

15

答案：A

4.(2016・长春市质量检测)已知函数7(x)=|x+M在(-8,—1)上是单调函数，则a的取值范围是()

A.(―0°,1]B.(—8,—1]

C.[-1,+°°]D.[1,+8)

解析：因为函数«r)在(-8,—a)上是单调函数，所以一ae一1,解得“W1.

答案：A

5.函数外)=占在区间[a,6]上的最大值是1,最小值是g,则。+6=.

解析：易知./)在[a,以上为减函数，

%)=1,

(1=2,

,即VJ吉・・・a+b=6.

1_1b=4.

577T=5

答案：6

练思维无所不通

题型一确定函数的单调性(区间)

命题点1给出具体解析式的函数的单调性

例1：(1)下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的是()

A.y=ln(x+2)B.y=—ylx+\

C.y=(夕D.y=x+^

(2)函数寅x)=logl(x2-4)的单调递增区间是()

2

A.(0,+8)B.(一8,0)

C.(2,+8)D.(-8,-2)

(3)y=~x+2|x|+3的单调增区间为.

[解析](l)y=ln(x+2)的增区间为(-2,+~),

.二在区间(0,+8)上为增函数.

(2)因为y=log)在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数£=?—4的单调递减区

2

间，结合函数的定义域，可知所求区间为(-8,-2).

(3)由题意知，当x20时，y——x2+2r+3=—(X-1)2+4；当x<0时，x2_2x+3="(x+1)2+4,

二次函数的图象如图.

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由图象可知，函数夕=-》2+2国+3在(-8,-1］,［0,1］上是增函数.

答案］(1)A(2)D(3)(-°o,-1］,［0,1］

命题点2解析式含参函数的单调性

例2：试讨论函数"0=目(。20)在(一1,1)上的单调性.

、江X-1+1,1

［解］设一1<为<》2<1，/(X)=4()=。(1+1"［)，

八