河北省2021年中考数学一轮复习训练：第四章-第三节-等腰三角形和直角三角形

第三节等腰三角形和直角三角形基础分点练（建议用时：35分钟）考点1等腰三角形的性质与判定1.[2020福建]如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于 ()A.10 B.5 C.4 D.32.[2020四川自贡]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数为 ()A.50° B.40° C.30° D.20°3.[2020山东济宁]一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上,在海岛B的北偏西84°方向上,则海岛B到灯塔C的距离是 ()A.15海里 B.20海里 C.30海里 D.60海里4.[2020湖北荆门]如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=23,D为BC的中点,AE=14AB,则△EBD的面积为 (A.334 B.338 C.5.[2019黑龙江哈尔滨中考改编]如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,∠A=60°,点E为AD边上一点,连接BD,CE,CE与BD交于点F,且CE∥AB,若AB=8,CE=6,则DE的长为.

6.[2020唐山路南区二模]如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,点E为AB的中点.(1)利用直尺与圆规作∠ACB的平分线,交AD于点F(保留作图痕迹,不要求写作法、证明);(2)连接EF,若AC=8,BC=12,求EF的长.7.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D是AB边上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA的延长线于点F.(1)证明:△ADF是等腰三角形;(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长.8.[2020浙江绍兴]问题:如图,在△ABD中,BA=BD,在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC,若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.答案:∠DAC=45°.思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由.(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.考点2直角三角形的性质与判定9.[2019唐山路北区三模]如图,在△ABC中,点D为AB的中点,点E在AC上,且BE⊥AC.若DE=10,AE=16,则BE的长度为 ()A.10 B.11 C.12 D.1310.[2020湖南岳阳]如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∠A=20°,则∠BCD=°.

11.[2020浙江绍兴]如图(1),直角三角形纸片的一条直角边长为2,剪四块这样的直角三角形纸片,把它们按图(2)的方式放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙),则图(2)中阴影部分面积为.

图(1)图(2)12.[2019北京]如图所示的网格是由相同的正方形组成的,则∠PAB+∠PBA=°.(点A,B,P是网格线交点)

13.[2020贵州黔西南州]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠B=30°,∠ADC=60°,BC=33,则BD的长度为.

14.[2020黑龙江哈尔滨]在△ABC中,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,AD=63,CD=1,则BC的长为.

综合提升练（建议用时：20分钟）1.[2020四川德阳]已知:等腰直角三角形ABC的腰长为4,点M在斜边AB上,点P为该平面内一动点,且满足PC=2,则PM的最小值为 ()A.2 B.22-2C.22+2 D.222.[2020湖南邵阳]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,斜边AB=2,过点C作CF∥AB,以AB为边作菱形ABEF,若∠F=30°,则Rt△ABC的面积为

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3.[2020贵州贵阳]如图,△ABC中,点E在边AC上,EB=EA,∠A=2∠CBE,CD垂直于BE的延长线于点D,BD=8,AC=11,则边BC的长为.

[2019黑龙江齐齐哈尔]在等腰三角形ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD=12AC,则等腰三角形ABC底角的度数为答案第三节等腰三角形和直角三角形基础分点练（建议用时：35分钟）考点1等腰三角形的性质与判定1.[2020福建]如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于 (B)A.10 B.5 C.4 D.32.[2020四川自贡]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数为 (D)A.50° B.40° C.30° D.20°3.[2020山东济宁]一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上,在海岛B的北偏西84°方向上,则海岛B到灯塔C的距离是 (C)A.15海里 B.20海里 C.30海里 D.60海里4.[2020湖北荆门]如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=23,D为BC的中点,AE=14AB,则△EBD的面积为 (BA.334 B.338 C.5.[2019黑龙江哈尔滨中考改编]如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,∠A=60°,点E为AD边上一点,连接BD,CE,CE与BD交于点F,且CE∥AB,若AB=8,CE=6,则DE的长为2.

6.[2020唐山路南区二模]如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,点E为AB的中点.(1)利用直尺与圆规作∠ACB的平分线,交AD于点F(保留作图痕迹,不要求写作法、证明);(2)连接EF,若AC=8,BC=12,求EF的长.解:(1)作图如图所示.(2)∵CF平分∠ACB,DC=AC,∴CF是△ACD中AD边上的中线,∴点F是AD的中点.又∵点E为AB的中点,∴EF是△ABD的中位线.∵DC=AC=8,BC=12,∴BD=BC-DC=4,∴EF=127.如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D是AB边上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA的延长线于点F.(1)证明:△ADF是等腰三角形;(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长.(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵FE⊥BC,∴∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90°,∴∠F=∠BDE.又∠BDE=∠FDA,∴∠F=∠FDA,∴AF=AD,∴△ADF是等腰三角形.(2)解:∵DE⊥BC,∴∠DEB=90°.∵∠B=60°,BD=4,∴BE=12∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴BC=AB=AD+BD=6,∴EC=BC-BE=4.8.[2020浙江绍兴]问题:如图,在△ABD中,BA=BD,在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC,若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.答案:∠DAC=45°.思考:(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由.(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.解:(1)∠DAC的度数不会改变.理由:∵EA=EC,∴∠AED=2∠C,∠EAC=∠C.又∵∠BAE=90°,∴∠BAD=12[180°-(90°-2∠C)]=45°+∠C∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C,∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=∠DAE+∠C=45°.(2)设∠B=m°,则∠BAD=12(180°-m°)=90°-12m°,∠AEB=180°-n°-m∴∠DAE=n°-∠BAD=n°-90°+12m°又∵EA=EC,∴∠CAE=12∠AEB=90°-12n°-12∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90°+12m°+90°-12n°-12m°=1考点2直角三角形的性质与判定9.[2019唐山路北区三模]如图,在△ABC中,点D为AB的中点,点E在AC上,且BE⊥AC.若DE=10,AE=16,则BE的长度为 (C)A.10 B.11 C.12 D.1310.[2020湖南岳阳]如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∠A=20°,则∠BCD=70°.

11.[2020浙江绍兴]如图(1),直角三角形纸片的一条直角边长为2,剪四块这样的直角三角形纸片,把它们按图(2)的方式放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙),则图(2)中阴影部分面积为45.

图(1)图(2)12.[2019北京]如图所示的网格是由相同的正方形组成的,则∠PAB+∠PBA=45°.(点A,B,P是网格线交点)

13.[2020贵州黔西南州]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠B=30°,∠ADC=60°,BC=33,则BD的长度为23.

14.[2020黑龙江哈尔滨]在△ABC中,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,AD=63,CD=1,则BC的长为5或7.

综合提升练（建议用时：20分钟）1.[2020四川德阳]已知:等腰直角三角形ABC的腰长为4,点M在斜边AB上,点P为该平面内一动点,且满足PC=2,则PM的最小值为 (B)A.2 B.22-2C.22+2 D.222.[2020湖南邵阳]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°