人教版八年级上册压轴题强化数学综合检测试卷含答案001

人教版八年级上册压轴题强化数学综合检测试卷含答案1．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值．解：因为所以所以得．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若，求的值；（2）①若,则；②若则；（3）如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．2．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；（2）设，．①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．3．如图，在等边中，，分别为，边上的点，，．(1)如图1，若点在边上，求证：；(2)如图2，连．若，求证：；(3)如图3，是的中点，点在内，，点，分别在，上，，若，直接写出的度数（用含有的式子表示）．4．如图1已知点A，B分别在坐标轴上，点C（3，﹣3），CA⊥BA于点A，且BA＝CA，CA，CB分别交坐标轴于D，E．(1)填空：点B的坐标是；(2)如图2，连接DE，过点C作CH⊥CA于C，交x轴于点H，求证：∠ADB＝∠CDE；(3)如图3，点F（6，0），点P在第一象限，连PF，过P作PM⊥PF交y轴于点M，在PM上截取PN＝PF，连PO，过P作∠OPG＝45°交BN于G．求证：点G是BN中点．5．如图，和中，，，，边与边交于点（不与点，重合），点，在异侧，为与的角平分线的交点．(1)求证：；(2)设，请用含的式子表示，并求的最大值；(3)当时，的取值范围为，求出，的值．6．[背景]角的平分线是常见的几何模型，利用轴对称构造三角形全等可解决有关问题．[问题]在四边形ABDE中，C是BD边的中点．(1)如图1，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）(2)如图2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；(3)如图3，若∠ACE＝120°，AB＝4，DE＝9，BD＝12，则AE的最大值是______．（直接写出答案）7．在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作直线l∥AB，点B与点D关于直线l对称，连接BD交直线于点P，连接CD．点E是AC上一动点，点F是CD上一动点，点E从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C．点F从D点出发，以每秒2cm的速度沿D→C→B→C→D路径运动，终点为D．点E、F同时开始运动，第一个点到达终点时第二个点也停止运动．

(1)当AC＝BC时，试证明A、C、D三点共线；（温馨提示：证明∠ACD是平角）(2)若AC＝10cm，BC＝7cm，设运动时间为t秒，当点F沿D→C方向时，求满足CE＝2CF时t的值；(3)若AC＝10cm，BC＝7cm，过点E、F分别作EM、FN垂直直线l于点M、N，求所有使△CEM≌△CFN成立的t的值．8．已知：为的中线，分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形，且，连接，．(1)如图1，若，求的度数．(2)如图1，求证：．(3)如图2，设交于点，交于点与交于点，若点为中点，且，请探究和的数量关系，并直接写出答案（不需要证明）．【参考答案】2．（1）12；（2）①6；②17；（3）【分析】（1）根据完全平方公式的变形应用，解决问题；（2）①两边平方，再将代入计算；②两边平方，再将代入计算；（3）由题意可得：，，两边平方从而解析：（1）12；（2）①6；②17；（3）【分析】（1）根据完全平方公式的变形应用，解决问题；（2）①两边平方，再将代入计算；②两边平方，再将代入计算；（3）由题意可得：，，两边平方从而得到，即可算出结果．【详解】解：（1）；；；又；，，∴．（2）①，；又，．②由，；又，．（3）由题意可得，，；，；，；图中阴影部分面积为直角三角形面积，，．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的适当变形灵活应用，（1）可直接应用公式变形解决问题．（2）①②小题都需要根据题意得出两个因式和或者差的结果，合并同类项得①，②是解决本题的关键，再根据完全平方公式变形应用得出答案．（3）根据几何图形可知选段，再根据两个正方形面积和为18，利用完全平方公式变形应用得到，再根据直角三角形面积公式得出答案．3．（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β．【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB解析：（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β．【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题；（2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题；②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题．【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：；（2）①．理由：∵，∴．即．又，∴．∴．∴．∴．∵，∴．②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，即：∠BCE+∠BAC=180°，∴α+β=180°，如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，∴∠BAC=∠BCE．∴α=β；综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β．【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．4．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）连接DF，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△DEF是等边三角形，则DF=EF，又△ABC是等边三角形，根据三角形内角和可解析：(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）连接DF，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△DEF是等边三角形，则DF=EF，又△ABC是等边三角形，根据三角形内角和可得出，∠AFD=∠FEC，所以△ADF≌△CFE（AAS），则AD=CF；（2）过点F作JKAC交AB于点J，交BC于点K，过点F作PIAB交AC于P，交BC于点I，连接DF，则△BJK和△CPI是等边三角形，△BDE≌△JFD≌KEF，所以DJ=BE=FK，因为ABPI，FKAC，所以四边形AJFP是平行四边形，则AJ=PF，易得△CPI为等边三角形，由∠FCB=30°可得CF平分∠PCI，则FI=FP，所以FP=AJ，FK=BE=DJ，FI=FK，所以AJ=DJ=BE，即AD=AJ+DJ=2BE；（3）延长MO到点G，使OG=OM，连接NG，BG，NM，作∠ACQ=∠ABN，且使CQ=BN，连接MQ，AQ，先得到△BOG≌△COM（SAS），再得到△ACQ≌△ABN（SAS）和△BNG≌△CQM（SAS），所以∠NAM=∠MAQ=∠CAM+∠CAQ=∠CAM+∠BAN，所以∠CAM+∠BAN=30°，则∠CAM=，所以∠BAN=30°-．(1)证明：如图，连接，，，∵是等边三角形，∴，∵是等边三角形，∴，，，，，，，；(2)证明：如图，过点作交于点，交于点，过点作交于，交于点，连接，，，和是等边三角形，，，是等边三角形，由（1）中结论可知，，，，，四边形是平行四边形，，，，为等边三角形，，，平分，是等边三角形，，，，，，即；(3)如图，延长到点，使，连接，，，作，且使，连接，，，，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，又，，，．【点睛】本题属于三角形的综合题，涉及全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一等知识，类比思想及构造的思想进行分析，仿造（1）中的结论构造出全等三角形是解题关键．5．(1)（0，6）(2)见解析(3)见解析【分析】（1）作CM⊥x轴于M，求出CM=CN=2，证明△BAO≌△ACM，推出AO=CM=2，OB=AM=4，即可得出答案；（2）在解析：(1)（0，6）(2)见解析(3)见解析【分析】（1）作CM⊥x轴于M，求出CM=CN=2，证明△BAO≌△ACM，推出AO=CM=2，OB=AM=4，即可得出答案；（2）在BD上截取BF=AE，连AF，证△BAF≌△CAE，证△AFD≌△CED，即可得出答案；（3）作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，只要证明四边形ENPB是平行四边形就可以了．(1)解：过点C作CG⊥x轴于G，如图所示：∵C（3，﹣3），∴CG＝3，OG＝3，∵∠BOA＝∠CGA＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝∠BAO+∠CAG＝90°，∴∠ABO＝∠CAG，又∵AB＝AC，∴△ABO≌△CAG（AAS），∴AO＝CG＝3，OB＝AG＝AO+OG＝6，∴点B的坐标是（0，6）．(2)证明：如图，过点C作CG⊥x轴于G，CF⊥y轴于F，则CF∥AO．同（1）得：△ABO≌△CAG（AAS），∴AO＝CG＝3，∵CF＝3，∴AO＝CF，∵CF∥AO∴∠DAO＝∠DCF，∠AOD＝∠CFD，∴△AOD≌△CFD（ASA），∴AD＝CD，∵CA⊥BA，CH⊥CA，∴∠BAD＝∠ACH＝90°，又∵∠ABO＝∠CAG，AB＝AC，∴△BAD≌△ACH（ASA），∴AD＝CH，∠ADB＝∠AHC∴CD＝CH，∵BA＝CA，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∴∠HCE＝90°﹣∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠HCE＝45°，又∵CE＝CE，∴△DCE≌△HCE（SAS），∴∠CDE＝∠CHE，∴∠ADB＝∠CDE．(3)证明：过点O作OK⊥OP交PG延长线于K，连接BK、NF，过点P作PL⊥NF于L．则△OPK是等腰直角三角形，∴∠OKP＝∠OPK＝45°，OK＝OP，∵PN＝PF，∴△PNF是等腰直角三角形，∴∠PFN＝∠PNF＝45°，∵PL⊥NF，∴∠FPL＝45°，则∠OPF＝∠OPL+45°，∠GPN＝∠OPL＝45°﹣∠MPO，∵∠KOB+∠BOP＝∠FOP+∠BOP＝90°，∴∠KOB＝∠FOP，又∵OB＝OF＝6，∴△OKB≌△OPF（SAS），∴KB＝PF＝PN，∠OKB＝45°+∠GKB＝∠OPF＝∠OPL+45°，∴∠GKB＝∠OPL＝∠GPN，又∵∠KGB＝∠PGN，∴△KBG≌△PNG（SAS），∴BG＝NG，即点G为BN的中点．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形的性质等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．6．(1)见解析(2)，3(3)m＝105，n＝150【分析】（1）由条件易证，得，即可得证．（2）PD＝AD-AP＝6-x，点P在线段BC上且不与B、C重合时，AP有最小值，即AD⊥解析：(1)见解析(2)，3(3)m＝105，n＝150【分析】（1）由条件易证，得，即可得证．（2）PD＝AD-AP＝6-x，点P在线段BC上且不与B、C重合时，AP有最小值，即AD⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．（3）为与的角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°”及角平分线定义，即可表示出，从而得到m，n的值．(1)解：在和中，如图1即(2)解：当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值(3)解：如图2，设则为与的角平分线的交点即【点睛】本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，角平分线定义等，解题关键是将PD最大值转化为PA的最小值．7．(1)AE=AB+DE(2)AE=AB+DE+BD(3)【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△解析：(1)AE=AB+DE(2)AE=AB+DE+BD(3)【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；（3）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，进而得出结论；（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．根据两点之间线段最短解决问题即可．(1)AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB，∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB＝∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD边的中点．∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE，故答案为：AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD．证明：在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB＝∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC是等边三角形．∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG．∴AE=AB+DE+BD．(3)作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG，如图所示：∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD=，∵△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB=，∴∠BCA=∠FCA，同理可证：CD=CG=，∴∠DCE=∠GCE，∵CB=CD，∴CG=CF，∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°，∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等边三角形，∴FC=CG=FG=，∵AE≤AF+FG+EG，∴当A、F、G、E共线时AE的值最大，最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查了四边形的综合题，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．8．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）先由AC=BC、∠ACB=90°得到∠ABC=45°，进而得到∠CBD=∠CDB=45°，然后得到∠BCD=90°，最后得到∠ACB+∠BCD=18解析：(1)见解析(2)(3)【分析】（1）先由AC=BC、∠ACB=90°得到∠ABC=45°，进而得到∠CBD=∠CDB=45°，然后得到∠BCD=90°，最后得到∠ACB+∠BCD=180°，即A、C、D三点共线；（2）先用含有t的式子表示CE和CF的长，然后根据CE=2CF列出方程求得t的值；（3）先由∠BCP=∠FCN、∠BCP+∠ECM=90°，∠ECM+∠MEC=90°得到∠MEC=∠FCN，然后结合全等三角形的性质列出方程求得t的值．(1)证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∵点B与点D关于直线l对称，∴BD⊥直线l，BC=CD，∵直线l∥AB，∴BD⊥AB，∴∠ABD=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴∠BCD=90°，∴∠ACB+∠BCD=180°，∴A、C、D三点共线；(2)解：∵AC=10cm，BC=7cm，∴当点F沿D→C方向时，0≤t≤3.5，∴CE=10-t，CF=7-2t，∵CE=2CF，∴10-t=2（7-2t），解得：t=．(3)解：∵∠BCP=∠FCN，∠BCP+∠ECM=90°，∠ECM+∠MEC=90°，∴∠MEC=∠FCN，∵△CEM≌△CFN，当CE=CF时，△CEM≌△CFN，当点F沿D→C路径运动时，10-t=7-2t，解得，t=-3，不合题意，当点F沿C→B路径运动时，10-t=2t-7，解得，t=，当点F沿B→C路径运动时，10-t=7-（2t-7×2），解得，t=11，∵第一个点到达终点时第二个点也停止运动．点E从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C．AC=10，∴0≤t≤10，∴t=11时，已停止运动．综上所述，当t=秒时，△CEM≌△CFN．【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．9．(1)∠BAC=50°；(2)见解析；(3)【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAB和∠CAF，再根据构建方程即可解决问题；（2