2017-2018学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)

第1页（共1页）2017-2018学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）下列复数中，与z=1+i的乘积为实数的是（）A．1﹣i B．﹣i C．i D．1+i2．（4分）已知函数f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（）A．f′（x）=exsinx B．f′（x）=ex（sinx+cosx）C．f′（x）=﹣excosx D．f′（x）=ex（sinx﹣cosx）3．（4分）函数f（x）=x，g（x）=x2，h（x）=x3在[0，1]的平均变化率分别记为m1，m2，m3，则下面结论正确的是（）A．m1=m2=m3 B．m1＞m2＞m3 C．m2＞m1＞m3 D．m1＜m2＜m34．（4分）=（）A．1 B．ln10﹣1 C．ln10 D．105．（4分）已知曲线：①y2=x②x2+y2=1③y=x3④x2﹣y2=1．上述四条曲线中，满足：“若曲线与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（4分）数学老师给校名布置了10道数学题，要求校名按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为（）A．55 B．90 C．425 D．5127．（4分）函数的部分图象可能是（）A． B． C． D．8．（4分）函数f（x）=x3+ax2﹣ax，g（x）=f′（x），其中a为常数，则下面结论中错误的是（）A．当函数g（x）只有一个零点时，函数f（x）也只有一个零点B．当函数f（x）有两个不同的极值点时，g（x）一定有两个不同的零点C．∃a∈R，使得函数g（x）的零点也是函数f（x）的零点D．∃a∈R，使得函数f（x）的极值点也是g（x）的极值点二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）复数在复平面上对应的点位于第象限，且|z|=．10．（4分）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与2x﹣y+1=0平行，则f′（1）=．11．（4分）计算sin230°+sin290°+sin2150°=，sin260°+sin2120°+sin2180°=，请你根据上面的计算结果，猜想sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=．12．（4分）函数f（x）=ex（x2+ax+a）在区间（0，1）上存在极值，则a的取值范围是13．（4分）不等式的解集为．14．（4分）已知函数和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则直线MN的斜率等于．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（12分）如图，曲边三角形中，线段OP是直线y=2x的一部分，曲线段PQ是抛物线y=﹣x2+4的一部分．矩形ABCD的顶点分别在线段OP，曲线段PQ和y轴上．设点A（x，y），记矩形ABCD的面积为f（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并指明定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值．16．（10分）在各项均为正数的数列{an}中，a1=a且．（Ⅰ）当a3=2时，求a1的值；（Ⅱ）求证：当n≥2时，an+1≤an．解：（Ⅰ）（Ⅱ）某同学用分析法证明此问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容．证明：要证n≥2时，an+1≤an只需证，只需证≤1只需证只需证，只需证an≥，根据均值定理，所以原命题成立．17．（10分）已知曲线f（x）=x3在点（1，f（1））处的切线为l，其中x0≠0．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求证：直线l和曲线f（x）一定有两个不同的公共点．18．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx﹣x，其中常数a≠0．（Ⅰ）若函数f（x）为单调函数，求实数a的最大值；（Ⅱ）如果函数f（x）只有一个零点，求实数a的取值范围．

2017-2018学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）下列复数中，与z=1+i的乘积为实数的是（）A．1﹣i B．﹣i C．i D．1+i【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：（1﹣i）（1+i）=1+1=2，﹣i（1+i）=1﹣i，i（1+i）=﹣1+i，（1+i）（1+i）=2i，故与z=1+i的乘积为实数的是（1﹣i），故选：A．【点评】本题考查了复数的运算，属于基础题．2．（4分）已知函数f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（）A．f′（x）=exsinx B．f′（x）=ex（sinx+cosx）C．f′（x）=﹣excosx D．f′（x）=ex（sinx﹣cosx）【分析】根据导数的运算法则直接求导即可．【解答】解：f′（x）=（ex）′sinx+ex（sinx）′=exsinx+excosx=ex（sinx+cosx），故选：B．【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．3．（4分）函数f（x）=x，g（x）=x2，h（x）=x3在[0，1]的平均变化率分别记为m1，m2，m3，则下面结论正确的是（）A．m1=m2=m3 B．m1＞m2＞m3 C．m2＞m1＞m3 D．m1＜m2＜m3【分析】直接根据平均变化率的定义求出m1，m2，m3，即可比较【解答】解：m1==f（1）﹣f（0）=1﹣0=1，m2==f（1）﹣f（0）=12﹣0=1，m3==f（1）﹣f（0）=13﹣0=1，故m1=m2=m3，故选：A．【点评】本题考查了平均变化率的定义，属于基础题．4．（4分）=（）A．1 B．ln10﹣1 C．ln10 D．10【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：=lnx|=ln10﹣ln1=ln10，故选：C．【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．5．（4分）已知曲线：①y2=x②x2+y2=1③y=x3④x2﹣y2=1．上述四条曲线中，满足：“若曲线与直线有且仅有一个公共点，则他们必相切”的曲线条数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分别根据直线和抛物线，圆，幂函数，双曲线有一个点的情况，进行讨论即可．【解答】解：①当直线和抛物线y2=x对称轴平行时，曲线与直线有且仅有一个公共点，但此时直线不是切线，故①错误，②当直线和圆x2+y2=1只有一个公共点时，直线与圆相切，故②正确，③当直线和x轴平行时，直线和y=x3只有一个交点，但此时直线和曲线不相切，故③错误，④当直线和双曲线x2﹣y2=1的渐近线平行时，直线和双曲线有一个交点，但此时直线和双曲线不相切，故④错误，故正确的只有②，故选：A．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及直线和曲线相切的位置关系的判断，要求掌握常见曲线和和直线的位置关系．6．（4分）数学老师给校名布置了10道数学题，要求校名按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为（）A．55 B．90 C．425 D．512【分析】根据题意，分析可得小明最少需要1天完成，最多需要10天完成，据此分10种情况讨论：分别求出每一种情况的完成方法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，小明最少需要1天完成，最多需要10天完成，分10种情况讨论：①，小明1天完成，即1天完成10道题目，有1种完成方法，②，小明2天完成，需要将10道题目分成2组，即有C91种完成方法，③，小明3天完成，需要将10道题目分成3组，即有C92种完成方法，④，小明4天完成，需要将10道题目分成4组，即有C93种完成方法，⑤，小明5天完成，需要将10道题目分成5组，即有C94种完成方法，⑥，小明6天完成，需要将10道题目分成6组，即有C95种完成方法⑦，小明7天完成，需要将10道题目分成7组，即有C96种完成方法⑧，小明8天完成，需要将10道题目分成8组，即有C97种完成方法⑨，小明9天完成，需要将10道题目分成9组，即有C98种完成方法⑩，小明10天完成，即1天完成1道题目，有1种完成方法，则一共有1+C92+C93+C94+C95+C96+C97+C98+1=C91+C92+C93+C94+C95+C96+C97+C98+C99=29=512故选：D．【点评】本题考查分类计数原理的应用，注意正确的分类讨论，属于中档题．7．（4分）函数的部分图象可能是（）A． B． C． D．【分析】利用函数的奇偶性，函数值的变化趋势即可判断．【解答】解：∵f（x）=，函数的定义域为{x|x≠0}∴f（﹣x）=﹣）==﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∴f（x）的图象关于原点对称，故排除B，当x→0时，f（x）→+∞，故排除D，当x→+∞时，f（x）→0，故排除A，故选：C．【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性，函数值的变化趋势，属于基础题．8．（4分）函数f（x）=x3+ax2﹣ax，g（x）=f′（x），其中a为常数，则下面结论中错误的是（）A．当函数g（x）只有一个零点时，函数f（x）也只有一个零点B．当函数f（x）有两个不同的极值点时，g（x）一定有两个不同的零点C．∃a∈R，使得函数g（x）的零点也是函数f（x）的零点D．∃a∈R，使得函数f（x）的极值点也是g（x）的极值点【分析】对于A：根据函数零点存在定理即可判断，对于B，根据极值，方程的根，函数零点的关系即可判断，对于C：当a=0时，g（0）=f（0）=0，对于D：根据极值点和方程根的关系即可判断．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2﹣ax，g（x）=f′（x）=3x2+2ax﹣a，若当函数g（x）只有一个零点，则△=4a2+12a=0，解得a=0或a=﹣3，当a=0时，f（x）=x3，易知f（x）只有一个零点，当a=﹣3时，f（x）=x3﹣3x2+3x，f′（x）=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2≥0，函数f（x）单调递增，f（0）=0，此时只有一个零点，故A正确，当函数f（x）有两个不同的极值点时，则g（x）=f′（x）=3x2+2ax﹣a=0有两个不同的实数根，故g（x）一定有两个不同的零点，故B正确，当a=0时，g（0）=f（0）=0，故C正确，当函数f（x）有两个不同的极值点时，则g（x）=f′（x）=3x2+2ax﹣a=0有两个不同的实数根，f（x）的极值点为3x2+2ax﹣a=0的两个根，而g（x）=3x2+2ax﹣a=0的极值点为x=﹣，显然不相同，若函数f（x）只有一个极值点时，则g（x）=f′（x）=3x2+2ax﹣a=0有两个相等的实数根即△=4a2+12a=0，解得a=0或a=﹣3，当a=0或a=﹣3时，函数f（x）为增函数，无极值点，故D不正确故选：D．【点评】本题考查了导数和函数的极值以及函数的零点问题，考查了转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）复数在复平面上对应的点位于第四象限，且|z|=2．【分析】利用复数的几何意义、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数在复平面上对应的点（1，﹣）位于第四象限，且|z|==2．故答案为：四，2．【点评】本题考查了复数的几何意义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（4分）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与2x﹣y+1=0平行，则f′（1）=2．【分析】根据题意，设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为k，由导数的几何意义可得k=f′（1），又由直线平行的性质可得k=2，即可得答案．【解答】解：设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为k，则k=f′（1），又由该切线与2x﹣y+1=0平行，则k=2，则有f′（1）=2；故答案：2．【点评】本题考查导数的几何意义，涉及直线平行的性质以及判定方法，关键是掌握导数的几何意义．11．（4分）计算sin230°+sin290°+sin2150°=，sin260°+sin2120°+sin2180°=，请你根据上面的计算结果，猜想sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=．【分析】由sin230°+sin290°+sin2150°=sin260°+sin2120°+sin2180=猜想sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=【解答】解：由sin230°+sin290°+sin2150°=，sin260°+sin2120°+sin2180=，猜想sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=证明如下：因为sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=sin2α+sin2（α+60•）+sin2（α﹣60•）=++=﹣（cos2αcos120•+sin2αsin120•+cos2α+cos2αcos120•﹣sin2αsin120•）=所以猜想sin2α+sin2（α+60°）+sin2（α+120°）=是成立的．故答案为．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．12．（4分）函数f（x）=ex（x2+ax+a）在区间（0，1）上存在极值，则a的取值范围是（﹣1，0）【分析】f（x）=ex（x2+ax+a）在区间（0，1）上存在极值，等价于f′（x）=ex（x+2）（x+a）=0在区间（0，1）有解，即可求出a的范围【解答】解：∵f（x）=ex（x2+ax+a），∴f′（x）=ex[x2+（a+2）x+2a]=ex（x+2）（x+a），∵f（x）=ex（x2+ax+a）在区间（0，1）上存在极值，∴f′（x）=ex（x+2）（x+a）=0在区间（0，1）有解，即x+a=0在区间（0，1）有解，∴0＜﹣a＜1，解得﹣1＜a＜0，故答案为：（﹣1，0）．【点评】本题主要考查了利用导数和函数极值的关系，以及参数的取值范围，考查运算求解能力、推理论证能力，化归与转化思想．13．（4分）不等式的解集为（1，+∞）．【分析】由原不等式，讨论lnx＞0，或lnx＜0，即x＞1或0＜x＜1，构造函数f（x）=lnx﹣x+1，求得导数，判断单调性，即可得到所求解集．【解答】解：不等式，当x＞1时，原不等式等价为x﹣1＞lnx，由f（x）=lnx﹣x+1的导数为f′（x）=﹣1，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，可得f（x）＜f（1），即为lnx＜x﹣1；这与0＜x＜1时，原不等式等价为x﹣1＜lnx，矛盾，综上可得，原不等式的解集为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，以及构造函数法，运用导数判断单调性，考查运算能力，属于中档题．14．（4分）已知函数和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则直线MN的斜率等于2．【分析】设出M、N两点的横坐标分别为x1、x2，对函数求导得到切线的斜率，写出切线的方程，根据切线过一个点，得到一个方程，分析可得x1、x2是方程x12+2tx1﹣t=0的两个根，由根与系数的关系分析有x1x2=﹣t，由两点间连线的斜率公【解答】解：根据题意，设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，函数f（x）=x+，则f′（x）=1﹣，则切线PM的方程为y﹣（x1+）=（1﹣）（x﹣x1）；点P（1，0）在切线上，则0﹣（x1+）=（1﹣）（1﹣x1），变形可得x12+2tx1﹣t=0；则PN的方程为x22+2tx2﹣t=0；则x1，x2是方程x2+2tx﹣t=0的两根，则x1x2=﹣t；则直线MN的斜率K===1﹣=1﹣=2；直线MN的斜率等于2；故答案为：2．【点评】本题考查利用导数计算函数的切线方程，涉及直线的斜率公式，属于综合题．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（12分）如图，曲边三角形中，线段OP是直线y=2x的一部分，曲线段PQ是抛物线y=﹣x2+4的一部分．矩形ABCD的顶点分别在线段OP，曲线段PQ和y轴上．设点A（x，y），记矩形ABCD的面积为f（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并指明定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值．【分析】（Ⅰ）结合两点距离公式和面积公式写出面积解析式；（Ⅱ）用导数研究函数的单调性，在定义域范围内求得最大值．【解答】解：（I）令﹣x2+4=2x，解得，（舍）…（2分）因为点A（x，2x），B（x，﹣x2+4）所以f（x）=x（﹣x2+4﹣2x）=﹣x3﹣2x2+4x，…（4分）其定义域为…（5分）（II）因为f'（x）=﹣3x2﹣4x+4…（7分）令f'（x0）=0，得，x2=﹣2（舍）…（8分）所以x，f'（x），f（x）的变化情况如下表xf'（x）+0﹣f（x）↗极大↘…（10分）因为是函数f（x）在上的唯一的一个极大值，所以在时，函数f（x）取得最大值．…（12分）【点评】（1）注意函数图象上的点的坐标的表示；（2）用导数研究函数的单调性，在定义域范围内求得最大值．16．（10分）在各项均为正数的数列{an}中，a1=a且．（Ⅰ）当a3=2时，求a1的值；（Ⅱ）求证：当n≥2时，an+1≤an．解：（Ⅰ）（Ⅱ）某同学用分析法证明此问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容．证明：要证n≥2时，an+1≤an只需证≤1，只需证≤1≤1只需证只需证4，只需证an≥2，根据均值定理，所以原命题成立．【分析】（Ⅰ）由a3=2，可得，解得a2，同理解得a1．（Ⅱ）要证n≥2时，an+1≤an，只需证≤1，代入只需证≤1，化简只需证4，只需证an≥2，再利用均值定理即可证明．【解答】证明：（Ⅰ）∵a3=2，∴，∴，解得a2=2，同理解得a1=2．（Ⅱ）证明：要证n≥2时，an+1≤an，只需证≤1，只需证≤1，只需证．只需证4，只需证an≥2，根据均值定理，．所以原命题成立．【点评】本题考查了数列递推关系、分析法、均值不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（10分）已知曲线f（x）=x3在点（1，f（1））处的切线为l，其中x0≠0．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求证：直线l和曲线f（x）一定有两个不同的公共点．【分析】（Ⅰ）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得直线l的斜率，计算可得f（1）的值，由直线的点斜式方程可得直线l的方程，变形即可得答案；（Ⅱ）线和直线l的方程联立得，化简可得x3﹣3x+2=0，令g（x）=x3﹣3x+2，求出g（x）的导数，列表分析g（x）的单调性与极值，分析即可得答案．【解答】解：（I）根据题意，曲线f（x）=x3，则f'（x）=3x2所以直线l的斜率k=f'（1）=3，又由f（1）=1，所以直线l的方程为y﹣1=3（x﹣1），化简得到y=3x﹣2，则直线的方程为y=3x﹣2，（Ⅱ）把曲线和直线l的方程联立得所以x3=3x﹣2，所以x3﹣3x+2=0令g（x）=x3﹣3x+2，所以g'（x）=3x2﹣3，令g'（x）=0，得到得x1=1，x2=﹣1；所以x，g'（x），g（x）的变化情况如下表x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，1）﹣1（1，+∞）g'（x）+0﹣0+g（x）↗极大↘极小↗因为x=﹣1时，g（﹣1）=4＞0，而g（﹣3）=﹣16＜0所以g（x）在（﹣∞，﹣1）上有一个零点，而x=1时，g（1）=0，所以g（x）在[1，+∞）上只有一个零点又g（x）在（﹣1，1）上没有零点，所以g（x）只有两个不同的零点，即直线l和曲线f（x）有两个不同的公共点．【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性以及切线方程，关键是掌握导数的几何意义．18．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx﹣x，其中常数a≠0．（Ⅰ）若函数f（x）为单调函数，求实数a的最大值；（Ⅱ）如果函数