九年级数学上册第一章特殊平行四边形第3节正方形的性质与判定省公开课一等奖新名师获奖课件

北师大版九年级上册

第三节：正方形性质与判定第一章：特殊平行四边形1/52第一课时正方形性质2/52复习回顾:(1)平行四边形对边__________,对角_____,对角线________.(2)菱形四边_______,对边_____,对角______,对角线___________________,且每一组对角线平分一组对角.(3)矩形对边__________,对角_____,对角线_______________.平行且相等相互平分且相等相等相互平分且相互垂直平行且相等相互平分平行相等相等相等3/52问题:

从这个图形中你能得到什么？你是怎样想到？┓90°

当

=90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊菱形是一个内角为直角菱形也是正方形.探究新知4/52探究新知定义1.有一个角是直角菱形叫做正方形。┓90°正方形还能够怎样定义呢？5/52探究新知定义2.邻边相等矩形叫做正方形。边相等有一组邻6/52正方形在生活中随地可见，你能举出一些生活中正方形例子吗？与同伴交流。探究新知怎样在平行四边形基础上定义正方形呢？平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角定义3.有一组邻边相等，而且有一个角是直角平行四边形叫做正方形。7/52正方形含有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案和工艺品设计上.8/52平行四边形、矩形、菱形、正方形关系平行四边形矩形菱形正方形正方形是矩形吗？正方形是菱形吗？正方形既是矩形，也是菱形，它含有矩形和菱形全部性质。想一想9/52OABCD(A)(B)(D)探究新知正方形性质=菱形性质+矩形性质边：对边平行四边相等角：四个角都是直角对角线：相等相互垂直平分每条对角线平分一组对角图形对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形.10/52已知：正方形ABCD，求证:AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D.证实:∵四边形ABCD是正方形∴四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD,∵四边形ABCD是正方形∴四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D.证实定理：正方形四个角都是直角，四条边相等。分析:因为正方形含有矩形和菱形全部性质,所以结论易证.11/52证实定理：正方形对角线相等且相互垂直.证实：∵ABCD是正方形,∴AB=CD,∠ABC=∠DCB,∵BC=BC.∴ΔABC≌ΔDCB,∴AC=BD.∵OB=OD,AB=AD,OA=OA,∴ΔAOB≌ΔAOD,∴∠AOB=∠AOD,又∠AOB+∠AOD=90°,∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD,即对角线相互垂直且相等.已知ABCD是正方形，AC、BD分别是正方形两条对角线，且交于点O，求证：AC=BD，AC⊥BD.12/52例题讲解

例1．正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，则AC=_______.

解析：∵四边形ABCD是正方形

∴BC=AB=2,∠ABC=90°，在Rt△ABC中，13/52例2.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.PABCDEFO分析：由正方形性质可推理出PE=AE，PF=OE，PE＋PF＝OA.解：∵ABCD是正方形

∴AO=AC=5,∠BAC=45°,AC⊥BD又∵PE⊥AC,PF⊥BD∴四边形PEOF为矩形∴PF=OE在△APE中,∠PAE=45°∴AE=PE∴PE+PF=AE+OE=AO=5.514/52例3：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样关系？请说明理由.分析：(1)由正方形性质得到∠BCD=∠DCF=90°，BC=CD，结合CE=CF，可证△BCE≌△DCF，从而有BE=CF;(2)延长BE交DE于点M,由全等可知∠CBE=∠CDF，借助等量代换得到∠BMF=90°，从而有BE⊥CF.15/52（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由以下：16/52(2)如图，延长BE交DE于点M，∵△BCE≌△DCF.∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°.∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.17/52巩固练习1.判断题：（1）四个角都相等四边形是正方形.（）(2)四条边都相等四边形是正方形.（）（3）对角线相等菱形是正方形.()(4)对角线相互垂直矩形是正方形.（）（5）对角线垂直相等四边形是正方形.()(6)四边相等，有一个角是直角四边形是正方形.()××√√×√18/523.正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF=8cm，则AC=________.30°16cm2.以正方形ABCD一边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=_____.EABCDMABCDEFO解∵四边形ABCD是正方形,△CDE是等边三角形∴∠BCE=90+60=150°,CB=CE∴∠CEB=15°同理∠AED=15°∴∠AEB=60-15-15=30°提醒：AC=2OA=2(ME+MF)=16cm.19/521.如图所表示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F。试说明：AP=EFABCDPEF解：连接PC∵PE⊥BC，PF⊥DC而四边形ABCD是正方形∴∠FCE=90°∴四边形PECF是矩形∴PC=EF又∵四边形BAPC是以BD为轴轴对称图形∴AP=PC∴AP=EF巩固提升20/522.正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且CE=AC,AE交DC于点F,试求∠E,∠AFC度数解：∵正方形ABCD四个角均为直角，且对角线平分一组对角∵CE=AC∴∠E=∠CAE∵∠ACB是⊿ACE一个外角∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E∵∠AFC是⊿CEF一个外角∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°∴∠E=22.5°,∠AFC=112.5°jFEABDC21/52平行四边形菱形矩形正方形一组邻边相等有一个角是直角有一个角是直角一组邻边相等正方形既是菱形，又是矩形，所以正方形有以下性质：4.正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组中点直线都是它对称轴.1.正方形四条边都相等，四个角都是直角2.正方形对角线相等，且相互垂直平分；每条对角线平分一组对角．3.正方形是中心对称图形，对角线交点是它对称中心.课堂总结22/52课后作业1.习题1.7：知识技能第2，3两题2.预习第二课时.23/52第二课时正方形判定24/52（1）有一组邻边相等且有一个角是直角平行四边形是正方形；（2）有一个角是直角菱形是正方形；（3）有一组邻边相等矩形是正方形.2.正方形性质1.正方形定义激趣导入复习引入边角对角线正方形对边平行且相等，四条边相等正方形四个角都是直角正方形

两条对角线相互垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角25/52将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？创设情境

满足什么条件矩形是正方形，什么条件菱形是正方形,什么条件平行四边形是正方形?26/52你能从这个改变过程中总结出正方形判定方法吗？有一组邻边相等满足什么条件矩形是正方形？操作1.你能否利用手中矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形关系吗？总结：矩形+（）=正方形1.有一组邻边相等矩形是正方形.2.对角线相互垂直矩形是正方形.探究1

或对角线相互垂直27/52有一组邻边相等矩形是正方形.∵在矩形ABCD中，AB=AD∴矩形四边形ABCD是正方形正方形判定：矩形法几何语言：对角线相互垂直矩形是正方形.几何语言：∵在矩形ABCD中，AC⊥BD∴矩形四边形ABCD是正方形28/523.有一个角是直角菱形是正方形.4.对角线相等菱形是正方形.有一个角是直角操作2.你能否利用手中能够活动菱形模型变成一个正方形吗？怎样变？总结：菱形+（）=正方形你能从这个改变过程中总结出正方形判定方法吗？探究2满足什么条件菱形是正方形？或对角线相等29/52有一个角是直角菱形是正方形.∵在菱形ABCD中，∠BAC=90°∴菱形四边形ABCD是正方形正方形判定：菱形法几何语言：对角线相等菱形是正方形.几何语言：∵在菱形ABCD中，AC=BD∴菱形四边形ABCD是正方形30/52边相等有一组邻是直角有一个角满足什么条件平行四边形是正方形？边相等有一组邻是直角有一个角探究3相等对角线

垂直

对角线垂直对角线相等

对角线31/52（）+（）+平行四边形=正方形。你能从这个改变过程中总结出正方形判定方法吗？5.有一个角是直角一组邻边相等平行四边形叫做正方形.6.对角线相等且相互垂直平行四边形是正方形.32/52

有一个角是直角一组邻边相等平行四边形叫做正方形.∵在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD∴平行四边形ABCD是正方形正方形判定：定义法几何语言：对角线相等且相互垂直平行四边形是正方形.∵在平行四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD∴平行四边形ABCD是正方形几何语言：33/52探究4（1）四条边相等，四个角都是直角（2）对角线相互垂直、平分且相等满足什么条件四边形是正方形？既是菱形又是矩形四边形是正方形.34/52

正方形惯用判定方法：1.有一组邻边相等矩形是正方形.2.对角线相互垂直矩形是正方形.3.有一个角是直角菱形是正方形.4.对角线相等菱形是正方形.5.有一个角是直角一组邻边相等平行四边形叫做正方形.6.对角线相等且相互垂直平行四边形是正方形.7.既是菱形又是矩形四边形是正方形.35/52

例1.在四边形ABCD中，O是对角线交点，能判定这个四边形是正方形是（）

A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD

B．AD∥BC∠A＝∠C

C．AO＝CO

BO＝DO

AB＝BCD．AC＝BD

解析：由正方形判定，对角线相互平分且相等，相互垂直四边形是正方形，故选A.A例题讲解36/5237/52例3.已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF//CE，CF//BE，求证：四边形BECF是正方形.分析：先由BF∥CE，CF∥BE得出四边形BECF是平行四边形，又因为∠BEC=90°得出四边形BECF是矩形，BE=CE邻边相等矩形是正方形．证实：∵BF∥CE，CF∥BE∴四边形BECF是平行四边形，又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB∴∠EBA=∠ECB=45°∴∠BEC=90°，BE=CE∴四边形BECF是正方形．38/52巩固练习1.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，假如添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件能够是（）A.∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD2.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从以下四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有以下四种选法，你认为其中错误是（）A.①②B.②③C.①③D.②④由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，所以再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形，故选D．DB39/523.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件______时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求条件）解：设AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形，∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，DF=AC=CE，，DE=BC=CF，∴DF=CE=DE=CF，∴四边形DECF是正方形，故答案为：AC=BC．AC=BC40/524.如图，在矩形ABCD中，∠ABC角平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F．判定四边形EBFM形状，并证实你结论．

首先证得四边形EBFM为矩形，再深入利用角平分线性质得出ME=MF，证得结论成马上可．此题考查正方形判定，矩形性质以及角平分线性质，结合图形，利用已知条件灵活处理问题．41/52解：四边形EBFM是正方形．理由以下：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∵MF⊥BC，ME⊥AB，∴∠BFM=∠MEB=90°，∵∠ABC=∠BFM=∠MEB=90°，∴四边形EBFM为矩形，∵BM平分∠ABC，∴ME=MF，∴四边形EBFM为正方形42/52拓展提升已知D、E、F、G分别是四边形AB、BC、CD、DA中点，求证：四边形DEFG四平行四边形。证实：如图，连接BD∵D、G分别是AB、AD中点∴DG是△ABD中位线∴DG//BD,∵E、F分别是BC、CD中点∴EF是△BCD中位线∴EF//BD,∴DG=EF,DG//EF∴四边形DEFG是平行四边形.43/52若四边形ABCD变为特殊四边形，中点四边形EFGH会有怎